第02講空間向量基本定理（人教A版2019選擇性）

第02講空間向量基本定理

【人教A版2019】

模塊導航

?模塊一空間向量基本定理

?模塊二用空間向量基本定理解決相關的幾何問題

?模塊三課后作業(yè)

1.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使得p

—xa+yb-]-zc.

我們把｛。，b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步驟：

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.

(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結合

相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果.

(3)下結論：利用空間的一個基底｛：,b,辦可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結果中只能含

有:，b,c,不能含有其他形式的向量.

3.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常

用｛i,j,A｝表示.

(2)向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對空間任一向量均可以分解為三個向量xi,力，z?使得a=xi+力+z4.像

這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

考點剖析

【考點1用空間基底表示向量】

【例1.1](2023春?高二單元測試)如圖，在空間四邊形OABC中，成=E，麗=1，方=3且。M=2MA,

BN=NC,則說等于()

c

A.-a+-b+-cB.-a+-b--c

332222

c1-2W?1一

C.--a+-b+-cD.-a——b+-c

322232

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算可得結果.

【解答過程】因為BN=NC,即N為BC的中點，所以而=［（亦+擊）,

因為。M=2AM,所以麗=:方，

MN^ON-OM=-（0B+0C）--0A=--a+-b+-c.

21J3322

故選：c.

【例1.2］（2023春?江蘇常州?高二?？茧A段練習）已知空間四邊形。ABC中，OA^a,OB=b,OC^c,

點M在8C上，且MB=2MC,N為。力中點，則而等于（）

A.靛—笆+家B.靛亨一部

C.——1aT——lMb+II-TcDTA.-IaT——b——2cT

232233

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算，用刀、礪和反表示出麗即可.

【解答過程】解：因為點”在BC上，且MB=2MC,所以標=(前，

所以麗=祝+加+加

11—

=-BC-OC+-OA

32

11

=-(OC-OB)-OC+-OX

1__?1_______>]_

=-OC--OB-OC+-OA

332

2一1一1一

=--OC--OB+-OA

332

2Tl"

=——c——r6+—a

332

故選：D.

【變式1.1］（2023?江蘇?高二專題練習）如圖，在平行六面體ABCD-4/1的%中，尸為A%與&D的交

1一11一1

C.-Q.H—bH—cD.u—b—c

2222

【解題思路】利用空間向量線性運算結合平行六面體的結構特征計算作答.

【解答過程】在平行六面體力BCD-4%的。1中，因P為與公。的交點，則點尸是中點，

所以亦=CD+DP=-AB+^（DA+西）=-AB-^AD+［砧=-a-^b+|c.

故選：B.

【變式1.2］（2023秋?河南許昌?高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體/BCD-Z/iCiDi中，AC與BD

的交點為設耳瓦=%41%=瓦匹5=B則下列向量中與2瓦防相等的向量是（）

A.—a+b+2cB.a+b+2cC.CL-bHF2cD.—ci-b+2c

【解題思路】根據(jù)題意用向量去表示互面,再由百瓦=0用瓦=瓦承=a即可得出結果.

【解答過程】

由圖可得瓦麗=氏方+詢=氏方+g前=瓦豆+1（反5+前）=c+1（-a+K）,

所以2瓦羽=2c-a+b.

故選：A.

【考點2由空間向量基本定理求參數(shù)】

【例2.1]（2023春?甘肅蘭州?高二?？计谀┮阎匦瘟CD,P為平面力BCD外一點，P41平面4BCD,

點M,N滿足兩=:而，麗=|麗.若麗=xJ§+y前+zZ?,貝i]x+y+z=（）

11

A.-1B.1C.—D.—

22

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結合平面向量的線性運算，即可得到結果.

【解答過程】BC

因為麗=?而，前=|而，

所以麗=PlV-PM=|PD-ipC=|（AD-X?）-1（ZC-XP）

=|（AD-^4P）-^（AB+AD-AP"）=-^AB+^AD-^AP,

因為?=久荏+y前+zZ?,所以％=—工，y=~>z=-

266

所以x+y+z—g.

故選：C.

【例2.2]（2023?江蘇?高二專題練習）設P—48C是正三棱錐，G是AaBC的重心，。是PG上的一點，

且加=防，若加=xR5+y兩+z無，則（久,y,z）為（）

A.信：，|）B.&祝）C-&輔D.&羽）

【解題思路】G是等邊AABC的重心，可得四=[荏+[*=]（麗一同）+:（定一演），再由仍=加,

可得而=1匹，而匹=同+前，從而可以將師用身,而，西表示出，進而可求出（x,y,z）

【解答過程】因為三棱錐P-力BC是正三棱錐，G是△ABC的重心,

所以前=1而+］而=］（而—同）+：（定—四）

因為。是尸G上的一點，且麗=詼，

所以前=1西，

因為^^PA+AG,

所以而=|PG=jP4+1ZG

=21一PA+21/^1-PB+31一PC-32P_A\）

1111

=:而+yPB+4PC-^PA

2663

=-PA+-PB+-PC,

666

因為麗=XPA+yPB+zPC,

所以第=y=z=3

o

所以（無,y,z）為（，，U，

故選：B.

【變式2.1］（2022?全國?高二假期作業(yè)）如圖，在三棱錐。一力BC中，點G為底面△ABC的重心，點M是

線段。G上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱。4。8,。。于點。,日F,若麗=kOA,OE=mOB,

OF=nOC,貝心+工+!=（）

kmn

【解題思路】由空間向量基本定理，用瓦?，OB,反表示南，由。，E,F,M四點共面，可得存在實數(shù)入出

使麗=XDE+iiDF,再轉化為麗=（1-A-ii）kOA+XmOB+unOC,由空間向量分解的唯一性，分析即

得解.

【解答過程】由題意可知，W=|OG=|(OX+ZG)=|[O3+|X1(XB+XC)]

?r11i?99

=j[ol+j(OB-Ol)+j(OC-OX)j=|ol+|oB+|oC

因為D,E,F,〃四點共面，所以存在實數(shù)人心使麗=入赤+/z而，

所以而一而=\(0E-而)+fi(0F-0D),

所以麗=(1-A-ii)OD+WE+MOF=(1-A-^kOA+XmOB+finOC,

j(l-入-=,

所以]Am=1,

所以1+/+，=5(1_入一0+5入+/=5

故選：D.

【變式2.2](2022秋?河南?高二?？茧A段練習)在棱長為1的正方體/BCD—4/的。1中，M,N,H分

別在棱B%,BC,8A上，且滿足的=：西，BN=^BC,BH=^BA,。是平面/HN,平面4cM與平面

BiBDDi的一個公共點，設前=久麗+y麗+2麗，貝1]%+丫+32=()

【解題思路】根據(jù)條件確定。點位置，再根據(jù)向量表示確定%,y,z的值，即得結果.

AD

【解答過程】

如圖，Q為AC與BD交點,P為BQ中點，。為MQ與B/P作PT平行MQ交BBi于T.

如圖，貝(IT為BM中點，所以M7=±BM=±X±B81^-x-x4MB

2242412

所以瓦方=,前，

因止匕前=(西++d(而+期)=^BM+^BH+^BN,

因為前=x而+yBN+zBM,所以z==1,y=%+y+3z=y.

故選：C.

【考點3正交分解】

【例3.1](2023春?高二課時練習)已知伍/?是空間的一個單位正交基底，向量方=3+21+3*｛a+b^.-

瓦不是空間的另一個基底，向量萬在基底｛方+石/-京｝下的坐標為()

A?(1,+)B.(-|)|,3)C.1，3)D.(-1)|)3)

【解題思路】設p=x0+3)+y0-W+z3根據(jù)空間向量基本定理建立關于x,y,z的方程，解之即可得

解.

【解答過程】解：設p=x(a+石)+y(a-b)+zc

=(%+y)a+(%—y)b+zc=a+2b+3c,

%+y=1(x=2

所以％—y=2,解得，v=_1，

z=3(2

Vz=3

所以向量力在基底總+b,a-衣｝下的坐標為g-1<3).

故選：A.

【例3.2】(2023?全國?高二專題練習)設｛用曲是單位正交基底，已知豆=t+j石=j+=E+若向量力

在基底僅五哥下的坐標為(8,6,4),則向量/在基底｛用曲下的坐標是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【解題思路】根據(jù)向量萬在基底值區(qū)可下的坐標為(8,6,4)得到萬=12：+14；+10k,即可得到向量方在基底

｛U，%｝下的坐標.

【解答過程】因為向量方在基底值，右｝下的坐標為(8,6,4),所以萬=83+6石+乖=81+丹+60+%)+

4(fc+T)=12；+14：+10%,所以向量力在基底(U，舟下的坐標為(12,14,10).

故選：C.

【變式3.1](2023?高二課時練習)在棱長為1的正方體48czM祖GD中40/的中點為瓦0/的中點

為N,若以｛用，反，西｝為單位正交基底，則標的坐標為()

【解題思路】根據(jù)正方體的性質，應用空間向量加減的幾何表示可得麗=0?而+；?反+；?西，即得

MA/的坐標.

【解答過程】

由MN=DN-DM=DDi+D】N-DDX-DXM=%N-DXM=一;。遇=；(%&+%的)一

+D7D)^^DA+^DC-^DA-^^DD[=o-D1+|-PC+|-FD^,故麗=(0、,白.

故選：c.

【變式3.2](2023秋嘿龍江大慶?高二統(tǒng)考期末)值，右｝是空間的一個單位正交基底，萬在基底但工?下的

坐標為(2,1,5),則萬在基底值+石3+靖+可下的坐標為()

A.(一1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-3,2,1)

【解題思路】設向量方在基底｛方+H+E/+4下的坐標為(x,y,z),根據(jù)空間向量基本定理得到方程組，解

得即可.

【解答過程】解：由題意向量方=2五+石+5落設向量力在基底但+瓦石+謂+可下的坐標為(x,y,z),

...p=x(a+b)+y(b+工)+z(a+c),

???2a+6+5c=x(a+b)+y(b+c)+z(a+c)

(x+z=2

%4-y=1,解得Jy=2,

、y+z=5(.z=3

所以向量力在基底｛方+b^b+cfa+可下的坐標為(一123),

故選：A.

模塊二

1.證明平行、共線、共面問題

(1)對于空間任意兩個向量。，b(件Q),“〃分的充要條件是存在實數(shù)3使。=勸.

(2)如果兩個向量a,6不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),

使p=xa+yb.

2.求夾角、證明垂直問題

(1)6為a,8的夾角，貝ijcos。=3.

(2)若a,)是非零向量，貝！J力=0.

3.求距離(長度)問題

I?I=A/^?(1^1=y]^-AB).

4.利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路：

(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；

(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；

(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得.

【注】用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始點指向末尾向量的終點的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

考點剖析

【考點4證明平行、共線、共面問題】

【例4.1](2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，正方體ABCD—&B1C1D1中，。為&C上一點，且巾=|中,

AD與/C交于點求證：g,0,M三點共線.

DiG

【解題思路】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求MC1〃。的關系，即可推理作答.

【解答過程】在正方體ABCD-A/iCiDi中，令荏=近而=另,麗*=3

布=|用］，BD與4c交于點M,即點M是4C的中點，

于是麗=MC+CO=-AC+工兩=-AC+-（AA［-AC）=-AC+-AA^

232363

=-（AB+AD）+-AAi--a+-b+-c,

6、731663

MC\=MC+CC\=+AA^=^（AB+AD）+AAi=^a+^b+c,

因此西=3麗，即百〃而，而直線MCi與直線M。有公共點M,

所以Ci，O,M三點共線.

【例4.2］（2023?江蘇?高二專題練習）如圖，正方體4B（D-A'B'C力'的棱長為1,E,F,G分別為C'D'，A'D',

。力的中點.求證：EF//AC.

［解題思路】利用空間向量基本定理和空間向量共線定理證明.

【解答過程】證明：設西=7,DC^j,加=］，

則｛1,J,k｝構成空間的一個單位正交基底.

所以前二亦一府二家一/=］?！?，），CA^DA-DC^i-j.

所以前=grx

所以EF〃4C.

【變式4.1](2023秋?高二課時練習)已知/,B,C三點不共線，對平面4BC外的任一點。，若點M滿

足的="就+而+而).

(1)判斷而瓦祝三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面ABC內.

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量的線性運算，結合平面向量基本定理證明即可；

(2)根據(jù)(1)結合平面向量的基本定理判斷即可.

【解答過程】(1)由題知瓦5+萌+玩=3的，

：.OA-OM=OM-OB+OM-OC,

即=BM+CM=-MB-MC,

.?.“X用瓦祝共面.

(2)由(1)知，阮&麗，砒共面且基線過同一點

：.M,A,B,C四點共面，從而點Af在平面/8C內.

【變式4.2】(2022秋?湖北武漢?高二?？茧A段練習)在正四棱錐P-4BCD中，點M,N,S分別是棱R4,PB,PC

上的點，且麗=xPA^PN=yPB^PS=zPC,其中x,y,z6(0,1].

(1)若x=l,y=5且PD〃平面MNS,求z的值；

(2)若久=|,y=g,且點DC平面MNS,求z的值.

【解題思路】(1)由PD〃平面MNS利用共面定理可得而=入麗+〃而再將麗、市轉化為用兩、PB.~PC

來表示，再利用空間向量的基本定理即可求解.

(3)由點DC平面MNS,可知。、M、N、S四點共面，再利用共面定理的推論即可求解.

【解答過程】(1)???西=%可，麗=、麗，閑=z玩且x=Ly=g,

?-,PM=PA,PN=^PB,

在正四棱錐P-ABCD中麗^BA+~BC,

可得而-~PB=TA-PB+~PC-PB,

即方=向一麗+玩

又PD〃平面MNS所以存在實數(shù)入、〃使得而=入麗+iiMS,

即方=X(PN-PM)+u腳-PM)=(-A-/2)R4++nzPC,

又麗=刀—麗+而且港、PB,無不共面，

_入一〃=1

3=-1解的Z-1.

"Z=1

(2)由(2)可知麗=同一麗+玩

又兩=xRA^PN=yPB^PS=z玩且x=|,y=

可得而=-PM-2PN+-PS

2z

又點De平面MNS,即D、M、N、S四點共面

所以：—2+工=1解得z=；.

【考點5幾何中的求夾角、證明垂直問題】

【例5.1】(2023?江蘇?高二專題練習)如圖，在平行六面體ZBCD-Z/iCiDi中，以頂點Z為端點的三條

棱長都為1,且兩兩夾角為60。，求BD1與47的夾角的余弦值.

【解題思路】設出基向量，然后根據(jù)圖形，結合幾何關系用基向量表示出時=-3+1+3AC=a+b.

進而根據(jù)數(shù)量積的運算律求出向量的模以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的定義公式得出西以及北夾角的余

弦值，即可得出答案.

【解答過程】設48=a,AD=b,AA1=c,

由已知可得N-b=a'C=b-C=lxlxcos60°=

因為=BA+BC+BB]=—AB+AD+AA1=-3+Z)-Fc,

AC=AB+AD=a+h,

所以,BD]=(—方+b+=五之+抉+矛—22,b+2b,c—22,c=1+1+1—2x[+2x；-2x[=

2,

~AC2=(a+fe)=a2+b2+2a-b=l+l+2x|=3,

BD],AC—(一3+b+,(方+b)=一方？—五,/7+方?b+Z72+Q,c+/7,c=-1—1-+—+1=1，

所以|西|=VL|前|=V3,

所以，cos（BDi/C）=靛而=正石=T-

故直線BO1與AC的夾角的余弦值為￡

O

【例5.2]（2023?江蘇?高二專題練習）已知空間四邊形。/3C中，4AOB=4BOC=/.AOC,且OA=OB=OC,

M,N分別是。1,2C的中點，G是的中點，求證：OG_L2C.

【解題思路】取定基底向量DX礪，比，并分別記為乙瓦乙再用基底表示出詬和品，然后借助數(shù)量積即可計

算作答.

【解答過程】在空間四邊形OABC^P，令瓦5=a^OB=K,OC=B則@=\b\=|c|,

令乙AOB=LBOC=LAOC=8,G是MV的中點，如圖，

B

則赤(曲+麗)=3E9+[(屈+覺)]=;(a+fe+c),BC=OC-OB=c-b,

于是得樂?BC--(a+b+c)-(c—b')--(a-c—a-b+b-c—b2+c2—b-c)

44

=|(|a|2cos0—|a|2cos0—|a|2+|a|2)=0,

因此，OGIBC,

所以OGLBC.

【變式5.1](2023?全國?校聯(lián)考一模)如圖所示，已知空間四邊形N2CD的每條邊和對角線長都等于1,點

E,F,G分別是/瓦AD,CD的中點.設麗=4，AC^b,AD^c.

（1）求證￡6，/2；

(2)求異面直線/G和CE所成角的余弦值.

【解題思路】(1)作出輔助線，利用三線合一證明出從而得到線面垂直，進而證明線

線垂直；

(2)用乙方片表達就與前，利用空間向量夾角公式求解異面直線NG和C￡所成角的余弦值.

【解答過程】(1)證明：連接

因為空間四邊形/BCD的每條邊和對角線長都等于1,且E,G分別是Z8,CD的中點，

所以AC==AD,

故CE1AB,DE1AB,

又因為CECDE=E,CE,DEciF?CDE,

所以4B1平面CDE,

因為EGu平面CDE,

所以AB1EG.

(2)由題意得：ACD,AABD均為等邊三角形且邊長為1,

所以4G=EC=f

AG=|(h+c),EC=^(BC+AC)=^(AC-AB+AC')=b-^a,

所以前.就=+司.江.B+忑V

11一1一1

=———|a|-|b|cos60°+—|c|-|b|cos60°——|a|-|c|cos60°

2424

-2-8+4—8-

設異面直線AG和CE所成角為仇

則cose=|cos(Mrc)|=a

22

【變式5.2】(2022秋?天津濱海新?高二?？茧A段練習)已知平行六面體ABCD-48也15的底面是邊長為

1的菱形，且NCiCB=HCD=乙BCD=pDD1=2.

(1)證明：DDX1BD；

(2)求異面直線C&與AB夾角的余弦值.

【解題思路】(1)由題，選定空間中三個不共面的向量為基向量，只需證明西?麗=0即可;

(2)用基向量求解向量C&HB的夾角即可，先計算向量的數(shù)量積，再求模長，代值計算即可.

【解答過程】設方=五，CB^b,CC^^c

由題可知：方,右兩兩之間的夾角均為多且同=1=的，同=2

(1)由西?麗=瓦丁麗一函

=c-(a—b^=c-a—c-b=l-1=0

所以DD11BD即證.

(2)由CA-1—CD+DA+AA^=a+6+c,又力B=—a

所以|西^=]0+3+3[荏[=]

又C41,AB——a■(a+b+c)———

則cos<CA^AB>=靛贏=_帚=_繆

又異面直線夾角范圍為(0,歲

所以異面直線夾角的余弦值為袈.

【考點6幾何中的求距離(長度)問題】

【例6.1](2023秋?高二課時練習)如圖所示，在平行六面體ABCD-4/1的小中，底面ABCD是邊長為

1的正方形，A4i=2,44148=441AD=120°,求西的長.

【解題思路】設荏=a,AD=bAA[=c,計算|西|=|a-b+c|=J|a-fo+c|2可得答案.

【解答過程】設荏=a^D=3,雙=c,

則同=|同=1,?=2,a-b=O,c-a=c-b=2xlxcosl20°=-1,

因為OB】=DA+AA^+—3—/?+c,

所以|西|-|a-h+c|=J|a-h+c|2-y/a2+b2+c2-2a-b+2a-c-2b-c=瓜

【例6.2](2023秋?高二課時練習)如圖所示，在平行六面體ABCD-48停1。1中，底面4BCD是邊長為

1的正方形，44=2,AATAB=^AD=120°.求線段2的的長.

【解題思路】設通=五，AD=b,AA1=c,由=W+3+引=J@+B+司2計算可得答案.

【解答過程】設荏=N，AD^b,旃*=3

貝IJ同=同=1,?=2,a-b=0,

c-a=c-b=2x1xcosl20°=-1,

;宿^AC+~CC[^AB+AD+題^a+b+c,

\AC^\=\a+b+c\=J(a+b+c)2

=J同2+同2+同2+2(a-b+b-c+c-a)

=Vl2+l2+22+2(0-l-l)=V2.

，線段4的的長為

【變式6.1]（2023?高二課時練習）如圖所示，在平行四邊形力BCD中，ABAC1,=90。，沿它

的對角線力C將AACD折起，使力B與CD成60。角，求此時B刀兩點間的距離.

【解題思路】利用空間向量線性運算可得前=明+*+前，結合數(shù)量積的運算律可求得|前「，進而得

到所求結果.

【解答過程】???四邊形力BCD為平行四邊形，：.AB//CD,又“CD=90°,二“48=90°,

■.AC-CD^O,AC-BA^O,

???在空間四邊形4BCD中，AB與CD成60°角，二<BA,CD>=60?；?20。，

又前=BA+AC+CD,|BO|2=|網(wǎng)之+囤2+?西2+2麗.而+2而.CD+2AC-CD=3+2xlx

1Xcos<麗，前>,

當〈瓦5,前>=60。時，|前『=4,前|=2,即此時兩點間的距離為2；

當〈瓦?，前>=120。時，|前|=2,\BD\=V2,即此時B,D兩點間的距離為加；

綜上所述：8刀兩點間的距離為2或VI

【變式6.2]（2022秋?河南洛陽?高二?？茧A段練習）如圖，在平行六面體/8QX4//GD中，48=/。=44尸1,

ZBAD=ZBAAi=60°,/。44/=120°.求:

B

（1）荏?沏的值.

（2）線段的長

【解題思路】（1）直接套用向量的內積公式即可;

（2）選?。?，AC,而;｝作為一組基底，宿用基底表示

=J（而+西+瓦初尸代入求解即可得出答案.

【解答過程】（1）而?而=|而|?|加|cos＜麗，而〉

=1xlcos60°

=1

2,

(2)選?。?，AC,麗｝作為一組基底，

則4cl=/8+BBi+9

則|宿卜

=J(而+西+甌)2

=J(AB)2+(西尸+(F^C\)2+2-AB-BB[+2-AB-~B^C[+2■西?~B^C1

=J|AB|2+|西,+|B^Q|2+2-AB-~BB[+2-AB-+2■兩-

=V12+l2+l2+2xlxlcos600+2x1xlcos600+2x1xlcosl20°

模塊三N課后作業(yè)。|

1.（2023春?甘肅天水?高二?？计谥校┮阎臻g向量下列命題正確的是（）

A.若有與石共線，3與?共線，貝呢與2共線

B.若乙另/非零且共面，則它們所在的直線共面

C.若五方/不共面，那么對任意一個空間向量力，存在唯一有序實數(shù)組（x,y,z）,使得p=xZ+y1+z及

D.若乙后不共線，向量^=而+〃3（人,“eR且入〃40）,則何區(qū)可可以構成空間的一個基底

【解題思路】根據(jù)共線向量、共面向量、空間向量的基本定理、基底等知識對選項進行分析，由此確定正

確答案.

【解答過程】A選項，若元與石共線，石與1共線，當石為零向量時，

N與工不一定共線，所以A選項錯誤.

B選項，若五非零且共面，則它們所在的直線不一定共面，

比如正方體上底面的兩條對角線，和下底面的一條對角線，

對應的向量共面，但直線不共面，所以B選項錯誤.

C選項，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項正確.

D選項，若不方不共線，向量工=立+〃］（入,〃eR且"70）,

則方5下共面，所以云石/不能構成基底，D選項錯誤.

故選：C.

2.（2023秋?高二課時練習）已知五，石，工是不共面的三個向量，則能構成空間的一個基底的一組向量是（）

A.3a,a—b,a+2bB.2b,b—2a,b+2a

C.a,2b,b-cD.c,a+c,a—c

【解題思路】利用空間向量的基底的定義，逐項判斷作答.

【解答過程】向量滴了1是不共面的三個向量，

對于A,32=2（3—3）+0+2石），則向量3五萬一M五+2石共面，A不能構成空間基底；

對于B,2b=（b-2a）+（b+2a）,則向量2另工-23石+2五共面，B不能構成空間基底；

對于D,2寸=（五+4一（五—3，則向量工，方+己方一力共面，D不能構成空間基底；

對于C,假定向量乙2H共面，則存在不全為0的實數(shù)入1入2，使得五=2入-+入2@-研，

（1=0

整理得,一（2入1+入2）石+入2工=6，而向量方而不共面，則有12入1+入2=0，顯然不成立，

（入2=。

所以向量五,2石,3-2不共面，能構成空間的一個基底，C能構成空間基底.

故選：C.

3.（2023春?高二課時練習）若優(yōu)衣｝構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

A.2a—b,a+h—c,7a+5h+3c

B.2a+/?,a+h+c,7a+5b+3c

C.2a+b,a+b+c,6a+2b+4c

D.2方一b,方+b—c,6方+4b+2c

【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理以及空間基底逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.

【解答過程】解：對于A,設7a+5b+3c=入（2a—b）+〃（a+b—c）=（2入+〃）a+（〃—入）b—,

2入+〃=7

所以，〃—入=5,此方程組無解，所以2五—b,ab—c973+5b+32不共面；

、一〃=3

對于B,因為2（2a+b）+3（a+b+c）=7N+Sb+3c,所以2五+b,蒼+b+乙73+Sb+3工共面；

對于C,設6,+2b+或=A（2a+&）+/i（a+&+c）=（2入+〃）五+（〃+入）b+〃高

2入+〃=6

所以〃+入=2,此方程組無解，所以2五+反a+fe+c,63+2另+4工不共面；

.〃二4

對于D,設6。+46+2。=入（2（1—b）+〃（a+b—c）=（2入+〃）a+（〃—入）b—

2入+〃=6

所以，〃—入=4,此方程組無解，所以2五—匕，方+b—工，6五+4b+2m不共面；

、—[1=2

故選：B.

4.（2023春?高二課時練習）在三棱錐。一ABC中，G是^ABC的重心,M是線段OG的中點，若前=xOA+

yOB+zOC,貝！J%+y+z=（）

113

A.--B.-C.--D.1

244

【解題思路】根據(jù)空間向量的運算，用基底表示出相關向量，根據(jù)空間向量基本定理，即可求得答案.

【解答過程】如圖在三棱錐0-4BC中，連接4G并延長交BC于。，

則。為BC的中點，

B

M是線段。G的中點，G是AABC的重心，

貝麗=[(一m+福=-|0X+lx|^4D=-1o2+|AD

1—>11―>—>1—,1—>—>

^--OA+-x-(AB+AC)^--OA+-(AB+AC)

11

=--OA+-(OB-OA+OC-OA)

26

^--OA+-OB+-OC,

666'

故％=_3y=[z=J,故x+y+z=_"

oooZ

故選：A.

5.（2023秋?高二課時練習）在四面體OABC中，點M在。A上，且。M=2MA,N為BC的中點，若說=+

^OB+yOC,則使G與M、N共線的久的值為（）

44

A.1B.2C.2￡D.-4

33

【解題思路】根據(jù)G,M,N三點共線，進行求解即可.

【解答過程】兩=*屈+而），OM

假設G,M,N三點共線，則存在實數(shù)人使得

OG=WN+（1-X）OM

入__?__,2（1-入）__

=2（OB+OC）+^y^（M

2（1—入）一A_.入一

=---------OA+-OB+-0C

322

^-OA+-OB+-0C,

344

「2（1—入）1

3

得，解得％=1,入=

故選：A.

6.（2023春?江西南昌?高二校聯(lián)考階段練習）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的

正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，

得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點、P,A,B,C,D為該半正多面體的頂點，若肉=N,PB=b,

PC=c,則而=（）

D1TMlT

A.-1a+b+^cB.-a—b——c

22

C.—bH—cD.—Q+b—c

2222

【解題思路】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.

【解答過程】如下圖所示而=PA+AC=PA+,2BD=PA+2PD-2彘,

所以麗=-IpX+PB+=-1a+fo+|c.

7.(2023春?高二單元測試)已知/,B,C三點不共線，。是平面/8C外一點，下列條件中能確定點M

與點/,B,C一定共面的是()

A.OM=OA+OB+OCB.OM=OA+2OB+3OC

C.OM=-OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

222333

【解題思路】首先利用坐標法，排除錯誤選項，然后對符合的選項驗證存在入分使得砧=詼+〃*，由此

得出正確選項.

【解答過程】不妨設。(0,0,0),4(1,0,1),B(OOl),C(0,1,1).

對于A選項，OM=OA+OB+OC=(1,1,3),由于M的豎坐標3>1,故M不在平面4BC上，故A選項

錯誤.

對于B選項，OM^OA+2OB+3OC=(1,3,6),由于M的豎坐標6>1,故“不在平面4BC上，故B選

項錯誤.

對于C選項，OM=|OA+|OB+|OC-由于M的豎坐標|>1,故M不在平面4BC上，故C

選項錯誤.

對于D選項,DM=^OA+^OB+^OC=&jl)，由于M的豎坐標為1,故M在平面ABC上,也即A,B,C,M

四點共面.下面證明結論一定成立：

由西=(礪+(■+(祀，得DM—礪=((加—成)+((歷_旗)，

即而？=（而+］猊，故存在入=〃=/使得/前=兀通+生化成立，也即4B,C,M四點共面.

故選：D.

8.（2023春?江西撫州?高一統(tǒng)考期末）把邊長為2企的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD與

平面CBD所成二面角的大小為60。，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（）

A.-B.--C.--D.-

4433

【解題思路】畫出圖形，利用空間向量基本定理轉化求解即可

【解答過程】如圖，取的中點，連接，

因為AB=BC=CD=AD=2&，4BAD=乙BCD=90°,

所以。力=。8=OC=。。=2,OC1BD,OA1BD,

所以乙4OC為平面ABD與平面CBD所成二面角的平面角，即N71OC=60°,

所以AAOC為等邊三角形，所以2C=2,

因為尼=而+麗+方，

2

所以正2=（AD+DB+JC},

所以4=而2+而2+阮2+2而?DB+2AD-BC+2DB-BC,

所以4=8+16+8+2x2魚x4cos乎+2x2魚x2V2cos（AD,BC）+2x4x2&cos今，

即16cos（而函=4,得cos（前，園=%

所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為:，

4

故選：A.

9.（2023春?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體48CD-中，E,尸分別在棱和

上，且。尸=工。。1.記前=x四+y而+z標，若x+y+z=±則空=（）

24BBi

【解題思路】設第=入，由空間向量的線性運算可得前=一荏+亦+（;-人）瓦匕，由空間向量基本定理

DD1\2/

即可求解.

【解答過程】設城=人，因為27=前+麗+而+罰=一入西-而+沏+工西