高中數(shù)學 2.3 解三角形的實際應(yīng)用舉例（第2課時）練習 北師大版必修5

第二章§3第2課時一、選擇題1．甲船在B島的正南A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，當甲、乙兩船相距最近時，它們航行的時間是()A．eq\f(150,7)min B．eq\f(15,7)hC．21.5min D．2.15h[答案]A[解析]如圖，設(shè)經(jīng)過x小時時距離為s，則在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－eq\f(1,2))＝28x2－20x＋100.當x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(5,14)時，s2最小，此時x＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.2．如圖所示，B、C、D三點在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別為β、α(α＜β)，則A點離地面的高AB等于()A．eq\f(asinαsinβ,sinβ－α) B．eq\f(asinαsinβ,cosβ－α)C．eq\f(asinαcosβ,sinβ－α) D．eq\f(acosαcosβ,cosβ－α)[答案]A[解析]由tanα＝eq\f(AB,a＋CB)，tanβ＝eq\f(AB,CB)，聯(lián)立解得AB＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).3．一質(zhì)點受到平面上的三個力eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))、eq\o(F3,\s\up6(→))(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))成60°角，且eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))的大小分別為2和4，則eq\o(F3,\s\up6(→))的大小為()A．6 B．2C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)[答案]D[解析]由題意，得eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＋eq\o(F3,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＝－eq\o(F3,\s\up6(→))，∴(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))2＝eq\o(F3,\s\up6(→))2，∴eq\o(F1,\s\up6(→))2＋eq\o(F2,\s\up6(→))2＋2eq\o(F1,\s\up6(→))·eq\o(F2,\s\up6(→))＝eq\o(F3,\s\up6(→))2，∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝eq\o(F3,\s\up6(→))2，∴eq\o(F3,\s\up6(→))2＝28，∴|eq\o(F3,\s\up6(→))|＝2eq\r(7).故選D．4．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里[答案]C[解析]如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴這艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小時)．5．江岸邊有一炮臺高30米，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距()A．10eq\r(3)米 B．100eq\r(3)米C．20eq\r(3)米 D．30米[答案]D[解析]設(shè)炮臺頂部為A，兩條船分別為B，C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6.如圖，在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，底部的俯角為45°，那么這座塔吊的高是()A．20(1＋eq\f(\r(3),3))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m[答案]B[解析]由仰角與俯角的意義可知，∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m，∴BC＝AE＝20m，在△AED中，DE＝AEtan60°＝20eq\∴塔吊的高度是20(1＋eq\r(3))m.二、填空題7．一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，則DE＝________.[答案]210[解析]由題意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×(－eq\f(1,2))＝44100.∴AB＝210，DE＝210.8．在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達對岸，那么船前進的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為________．[答案]30°[解析]水流速度與船速的合速度為v，方向指向河岸，如圖由題意可知sinα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)∴α＝30°.三、解答題9．如圖所示，海中一小島周圍3.8nmile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見此島在北75°東．船行8nmile后，望見此島在北60°東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險．[解析]在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.∴△ABC為等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故該船沒有觸礁危險．10．海島O上有一座海拔1km的山，山頂設(shè)有一觀察站A，上午11時測得一輪船在島的北偏東60°的C處，俯角為30°，11時10分，又測得該船在島的北偏西60°的B處，俯角為60°.(1)求該船的速度；(2)若此船以不變的船速繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？此時輪船所在點E離海島O的距離是多少千米？[解析](1)如圖，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAcot60°＝eq\f(\r(3),3)，OC＝OAcot30°＝eq\r(3)，在△BOC中，由余弦定理得BC＝eq\r(OB2＋OC2－2OB·OCcos∠BOC)＝eq\f(\r(39),3).∵由C到B用的時間為eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(小時)，∴該船的速度為eq\f(\f(\r(39),3),\f(1,6))＝2eq\r(39)(千米/小時)．(2)在△OBC中，由余弦定理，得cos∠OBC＝eq\f(BC2＋OB2－OC2,2BC·OB)＝eq\f(5\r(13),26)，∴sin∠OBC＝eq\r(1－cos2∠OBC)＝eq\f(3\r(39),26).∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝eq\f(\r(13),13).在△BEO中，由正弦定理得OE＝eq\f(OBsin∠OBE,sin∠OEB)＝eq\f(3,2)，BE＝eq\f(OBsin∠BOE,sin∠OEB)＝eq\f(\r(39),6).∴從B到E所需時間為：eq\f(\r(39),6)÷2eq\r(39)＝eq\f(1,12)(小時)＝5(分鐘)．故船速為2eq\r(29)千米一、選擇題1．如下圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為()A．eq\f(17\r(6),2)海里/小時 B．34eq\r(6)海里/小時C．eq\f(17\r(2),2)海里/小時 D．34eq\r(2)海里/小時[答案]A[解析]由題意知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，由正弦定理知eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)?MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6)，∴速度為eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/小時)．2．如圖所示，有一廣告氣球，直徑為6m，放在公司大樓上空，當行人仰望氣球中心時，測得仰角∠BAC＝30°時，氣球的視角β＝1°，若θ很小時可取sinθ≈θ，試估算該氣球的高BC的值約為()A．72m B．86mC．102m D．118m[答案]B[解析]過C作CD⊥AD于D，在Rt△ADC中，先求AC的長，∵sinβ＝eq\f(CD,AC)，∴AC＝eq\f(CD,sinβ)＝eq\f(3,sin\f(π,180))≈eq\f(3,\f(π,180))＝eq\f(180×3,π)，再在Rt△ABC中求BC，BC＝ACsin30°＝eq\f(90×3,π)≈86(m)．3．飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C的俯角為30°，向前飛行10000m到達B處，此時測得正前下方目標C的俯角為75°，這時飛機與地面目標的水平距離為()A．2500(eq\r(3)－1)m B．5000eq\r(2)mC．4000m D．4000eq\r(2)m[答案]A[解析]示意圖如圖，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10000.由正弦定理，得eq\f(10000,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，又cos75°＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝eq\f(10000·sin30°,sin45°)·cos75°＝2500(eq\r(3)－1)(m)．4．渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實際航行的速度為(精確到0.1km/h)()A．14.5km/h B．15.6km/hC．13.5km/h D．11.3km/h[答案]C[解析]由物理學知識，畫出示意圖，如圖．AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在?ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理，得AC＝eq\r(AD2＋CD2－2AD×CD×cosD)＝eq\r(16＋225－4×15)＝eq\r(181)≈13.5(km/h)．故選C．二、填空題5．有一長為100米的斜坡，它的傾斜角為45°，現(xiàn)在要把傾斜角改成30°，則坡底要伸長________米．[答案]50(eq\r(6)－eq\r(2))[解析]如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，AB＝100，∴AC＝50eq\r(2).又在△ACD中，∠ADC＝30°，∴∠DAB＝45°－30°＝15°.sin15°＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴BD＝eq\f(100×sin15°,sin30°)＝eq\f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝50(eq\r(6)－eq\r(2))(米)．6．在燈塔上面相距50米的兩點A、B，測得海內(nèi)一出事漁船的俯角分別為45°和60°，試計算該漁船離燈塔的距離________．[答案]25(eq\r(3)＋1)(米)[解析]由題意，作出圖形如圖所示，設(shè)出事漁船在C處，根據(jù)在A處和B處測得的俯角分別為45°和60°，可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝eq\f(AB×sin30°,sin15°)＝eq\f(50×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝25(eq\r(6)＋eq\r(2))(米)．∴出事漁船離燈塔的距離CD＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(25\r(6)＋\r(2)·\r(2),2)＝25(eq\r(3)＋1)(米)．三、解答題7．A、B是海平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D是點C到水平面的垂足，求山高CD．[解析]如圖，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(eq