北師大版九年級上冊數學期中考試試卷帶答案

北師大版九年級上冊數學期中考試試題一、單選題1．若用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的為（

）A．B．C．D．2．如果點C是線段AB延長線上的—點，且，那么等于（

）A．5：2B．1：2C．3：2D．2：33．已知關于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根D．實數根的個數與實數b的取值有關4．下列各選項：①兩個邊長不等的等邊三角形；②兩個邊長不等的正方形；③兩個邊長不等的菱形；④兩個斜邊不等的等腰直角三角形，其中的兩個圖形一定相似的有（

）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．小明與小剛一起玩拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲規(guī)則：拋出兩個正面--小明贏1分；拋出其他結果--小剛贏1分；誰先到10分，誰就獲勝．這是個不公平的游戲規(guī)則，要把它修改成公平的游戲，下列做法中錯誤的是（）A．把“拋出兩個正面”改為“拋出兩個同面”B．把“拋出其他結果”改為“拋出兩個反面”C．把“小明贏1分”改為“小明贏3分”D．把“小剛贏1分”改為“小剛贏3分”6．如圖，點在的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內將縮小到原來的，得到，則點P在上的對應點的坐標為（

）A．B．C．D．7．如圖，直線，直線c與直線a、b都相交，從，，，這四個角中任意選取2個角，則所選取的2個角互為補角的概率是（

）A．B．C．D．8．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．無實數根D．無法確定9．如圖，矩形中，對角線，交于點.若，，則的長為（

）A．4B．C．3D．510．如圖，菱形ABCD的面積為120cm，正方形AECF的面積為50cm，則AB的長為（）A．9cmB．12cmC．13cmD．15cm二、填空題11．已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，則m的取值范圍是______．12．已知，則的值為______．13．在一個不透明的口袋中裝有8個紅球，若干個白球，這些球除顏色不同外其它都相同，若從中隨機摸出一個球，它是紅球的概率為，則白球的個數為______．14．四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數發(fā)生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內角度數，正方形ABCD變?yōu)榱庑危?，且菱形的面積為16，則正方形ABCD的面積為______．15．如圖，是兩個可以自由轉動的轉盤，轉盤各被等分為三個扇形，并分別標有2、3、4和6、7、8這6個數字，如果同時轉動這兩個轉盤各一次（指針落在等分線上重轉），轉盤停止后，則指針指向的數字之和為奇數的概率為______．16．如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點E，，，垂足為F，將繞著點F順時針旋轉，使得點A的對應點M落在EF上，點E恰好落在點B處，連接BE．下列結論：①；②四邊形EFBC是正方形；③；④，其中結論正確的為______．（填寫序號即可）三、解答題17．用適當的方法解方程：18．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值．19．一枚質地均勻的正方體骰子，六個面上分別標有數字-3，-1，0，1，2，4這六個數，若將第一次擲出的骰子正面朝上的數記為m，第二次擲出的骰子正面朝上的數記為n，則點P記作．請用畫樹狀圖或列表法求點恰好落在第二象限的概率．20．在四邊形ABCD中，，，，，的平分線分別交AD、AC于點E、F，求的值．21．某商店將進價為每件10元的商品以每件14元的價格售出，平均每天能售出220件．經市場調查發(fā)現：這種商品每件的售價每上漲1元，其銷售量就將減少20件，該商店計劃通過提高售價減少銷售量的辦法來增加利潤．若物價部門規(guī)定此種商品每件利潤不能超過進價的80%，且商店想要獲得平均每天1080元的利潤，則這種商品的售價應定為多少元？22．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，以AC為斜邊的等腰直角三角形AEC的邊CE與AD交于點F，連接OE，使得．在AD上截取，連接EH、ED．（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（2）若，，求EH的長．23．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作且，連接AE交OD于點F，連接OE．（1）求證：；（2）若菱形ABCD的邊長為4，，求AE的長．24．已知四邊形ABCD是正方形，點P在線段BC上，點G在線段AD上（P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側），，于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接EF．（1）求證：；（2）求證：四邊形PEFD是菱形；（3）若，．求四邊形PEFD的面積．25．如圖，在和中，，，且，線段AC與DE交于點G，連接BD，CE．（1）如圖1，當B，D，E三點共線時，求證：；（2）如圖2，當B，D，E三點不共線時，延長ED交BC于點F，求證：．參考答案1．D【解析】【分析】先將常數項移到等號的右邊，根據等式的性質將二次項的系數化為1，在方程兩邊加上一次項系數一半平方，將方程左邊配成一個完全平方式即可．【詳解】解：原方程變形為：，，配方為：，．故選：D．【點睛】本題考查了運用配方法解一元二次方程的運用，配方法的解法的運用，解題的關鍵是熟練配方法的步驟．2．C【解析】【分析】先畫出圖形，設為，然后用表示出，最后求出即可．【詳解】根據題意可畫出下圖：，設，則，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了成比例線段，正確設出線段的長度是解題的關鍵．3．A【解析】【分析】先計算出判別式的值，再根據非負數的性質判斷△＞0，然后利用判別式的意義對各選項進行判斷．【詳解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．4．C【解析】【分析】利用相似圖形的判定方法：形狀相同的圖形稱為相似形，進而分別判斷得出即可．【詳解】解：①兩個邊長不等的等邊三角形一定相似，符合題意；②兩個邊長不等的正方形一定相似，符合題意；③兩個邊長不等的菱形的對應角不一定相等，故兩個菱形不一定相似，不符合題意；④兩個斜邊不等的等腰直角三角形一定相似，符合題意；故選：C．【點睛】考查了相似圖形的定義，解題的關鍵是了解對應角相等，對應邊成比例的圖形相似，難度不大．5．D【解析】【詳解】解：如圖，因為p（正，正）=，則出現其他結果的概率為：．A．根據出現拋出兩個相同面的概率為：，則把“拋出兩個正面”改為“拋出兩個同面”正確，故此選項正確不符合題意；B．把“拋出其他結果”改為“拋出兩個反面”時，兩人獲勝概率都為：，故此時公平，故此選項正確不符合題意；C．∵小明獲勝概率為：，小剛獲勝概率為：，故把“小明贏1分”改為“小明贏3分”，故此時公平，故此選項正確不符合題意；D．把“小剛贏1分”改為“小剛贏3分，此時不公平，故此選項錯誤符合題意；故選D．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．6．C【解析】【分析】直接利用在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，進而結合已知得出答案．【詳解】解：∵點在△ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內將△ABC縮小到原來的，得到△A′B′C′，∴點P在A′C′上的對應點P′的的坐標為：（3，2）．故答案選C【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關鍵．7．B【解析】【分析】用列表法列出所有結果數，再求出所選取的2個角互為補角結果數，即可求解．【詳解】解：從，，，這四個角中任意選取2個角，列表可得：，，，，，，，，，，，，共有12種結果，其中所選取的2個角互為補角有6種結果（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）所選取的2個角互為補角的概率為故選B【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖求概率，涉及了平行線的性質以及補角的定義，解題的關鍵是掌握列表法或樹狀圖求概率的方法．8．B【解析】【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判別式△=b2-4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有兩個相等的實數根．故選：B．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0，方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0，方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0，方程沒有實數根．9．A【解析】【分析】根據矩形的對角線的性質可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出AB的值．【詳解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握矩形的性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．10．C【解析】【分析】根據正方形的面積求出AC的長，根據菱形的面積求出BD的長,再利用菱形的對角線互相垂直平分計算菱形的邊長．【詳解】解：因為正方形AECF的面積為50cm2，所以AC=因為菱形ABCD的面積為120cm2，所以BD=所以菱形的邊長=故選C．【點睛】此題考查正方形和菱形的性質，關鍵是根據正方形和菱形的面積進行解答．11．且【解析】【分析】由于關于的一元二次方程有實數根，計算根的判別式，得關于的不等式，由于一元二次方程二次項系數不為0得出，，求解即可．【詳解】關于的一元二次方程有實數根，，且．解得：且．故答案為：且．【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式的應用，掌握“方程有兩個實數根，則”是解題的關鍵.12．【解析】【分析】設=k，用k表示出a、b、c，代入求值即可.【詳解】解：設=k，∴a=2k，b=3k，c=4k，∴==.故答案是：.【點睛】本題考查了比例的性質，涉及到連比時一般假設比值為k，這是常用的方法.13．12【解析】【分析】設該盒中白球的個數為個，根據意得，解此方程即可求得答案．【詳解】解：設該盒中白球的個數為個，根據題意得：，解得：，經檢驗：是分式方程的解，所以該盒中白球的個數為12個，故答案為：12．【點睛】本題考查了概率公式的應用，解題的關鍵是掌握：概率所求情況數與總情況數之比．14．32【解析】【分析】根據菱形，AB邊上的高等于邊的一半，得到，求出AB邊的長，從而得到正方形ABCD的面積．【詳解】∵，即∴∴．故填32．【點睛】本題考查了特殊三角形的性質，菱形和正方形面積公式，利用30°所對直角邊等于斜邊的一半求出菱形的高是解決本題的關鍵．15．【解析】【分析】首先畫樹狀圖，根據樹狀圖求得所有的等可能的結果與指針指向的數字和為奇數的情況，然后根據概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：∴一共有9種等可能的結果，指針指向的數字和為奇數的有4種情況，∴指針指向的數字和為奇數的概率是：．故答案為：．【點睛】本題考查用列舉法求概率，畫出滿足題意的樹狀圖，并靈活運用概率公式求解是解題的關鍵．16．①②④【解析】【分析】延長BM交AE于N，連接AM，由垂直的定義可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根據直角三角形的兩個銳角互余得∠EAF＝67.5°，從而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正確；根據三個角是直角可判斷四邊形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正確，計算出∠EBM＝22.5°得③錯誤；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正確．【詳解】解：如圖，延長BM交AE于N，連接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵將△AEF繞著點F順時針旋轉得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四邊形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正確；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③錯誤；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，∴∠BEF=45°，∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB，∴AB=BE，故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了矩形的性質、旋轉的性質、勾股定理和正方形的判定與性質，掌握常用輔助線的添加方法，靈活運用相關知識是解題的關鍵．17．【解析】【分析】先將方程轉化為，再利用因式分解法，即可求解．【詳解】解：變形為，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并根據方程的特征靈活選用合適的方法是解題的關鍵．18．4【解析】【分析】先根據一元二次方程根的判別式可得，從而可得，再代入計算即可得．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴此方程根的判別式，即，則，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、代數式求值，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．19．【解析】【分析】根據題意通過列表法求得所有可能，再根據在第二象限的點的特點即可求得恰好落在第二象限的概率．【詳解】列表如下，（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共有36中等可能結果，點恰好落在第二象限的有：（，）（，）（，）（，）（，）（，）共6種情形點恰好落在第二象限的概率為．【點睛】本題考查了第二象限點的坐標特征，列表法求概率，掌握以上知識是解題的關鍵．20．【解析】【分析】過點F作FG⊥AB于點G，由EA∥FG，得出=，又BE是∠ABC的平分線，結合AC=BC，∠ACB=90°，得到AB=BC，即可求解本題．【詳解】解：作FG⊥AB于點G，∵∠DAB=90°，∴EA∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又BE是∠ABC的平分線，∴FG=FC，在中，，，∴CB=GB，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB=BC，∴===(－1)．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，角平分線上的點到角兩邊的距離相等及等腰直角三角形的斜邊長是直角邊的倍，熟練掌握這幾個知識點是解題的關鍵．21．16元【解析】【分析】設這種商品的售價應定為元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，根據日銷售總利潤每件的銷售利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合此種商品的每件利潤不能超過進價的，即可確定的值．【詳解】解：設這種商品的售價應定為元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，．（元，，．答：這種商品的售價應定為16元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出一元二次方程．22．（1）矩形，理由見解析；（2）【解析】（1）先根據平行四邊形的性質得到OA=OC=AC，OB=OD=BD，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OE=AC=OA，則OA=OD，即AC=BD，由此即可證明四邊形ABCD是矩形；（2）先根據平行四邊形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，則DH=AD－AH=4，然后證明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，則EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE=AC=OA，∵OE=OD，∴OA=OD，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）∵平行四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，∵AH=CD，∴AH=2，∴DH=AD－AH=4，∵∠AEC=∠ADC=90°，∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°∵∠AFE=∠DFC，∴∠DCF=∠EAF，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，∴EH2＋ED2=DH2，∴2EH2=DH2，∴EH=DH=×4=2．【點睛】本題主要考查了矩形的性質與判定，平行四邊形的性質，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的性質與判定，勾股定理等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握矩形的性質與判定條件．23．（1）見解析；（2）【解析】(1)連接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易證得四邊形OADE是平行四邊形，繼而可得OE=AB即可；(2)由菱形的對角線互相垂直，可證得四邊形OCED是矩形，根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可.【詳解】（1）連接EC，∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC=AC，AD=AB.∵DE//AC且DE=AC∴DE=OA=OC∴四邊形OADE、四邊形OCED都是平形四邊形，∴OE=AD，∴OE=AB；(2)∵AC⊥BD，∴平行四邊形OCED是矩形，∴∠OCE=90°.∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2，∴在矩形OCED中，CE=OD==2∴在Rt△ACE中，AE==2【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用．注意證得四邊形OADE是平行四邊形，四邊形OCED是矩形是關鍵;24．（1）見解析；（2）見解析；（3）8【解析】【分析】（1）根據四邊形ABCD為正方形得AD＝AB，由四邊形ABPM為矩形得AB＝PM，則AD＝PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH＝∠MPG，于是可根據“ASA”證明△ADF≌△MPG，得到DF＝PG；（2）如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PD，再證明DF∥PE，推出四邊形PEFD是平行四邊形，由PD＝PE，即可證明四邊形PEFD是菱形．（3）利用旋轉的性質得∠EPG＝90°，PE＝PG，所以PE＝PD＝DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形，根據勾股定理得到PD＝＝，DF＝PG＝PD＝，根據相似三角形的性質得到GH＝，于是得到結論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠HGD+∠ADF＝90°，∠CDP+∠PDG＝90°，∵PD＝PG，∴∠PGD＝∠PDG，∴∠ADF＝∠CDP，∴△ADF≌