必修二課件第一章立體幾何初步1.2.4第3課時

第3課時兩平面垂直的性質第1章

平面與平面的位置關系學習目標1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理.2.能運用性質定理解決一些簡單的問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯系.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學知識點平面與平面垂直的性質定理思考

黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫的直線必與地面垂直.答案梳理文字語言

如果兩個平面互相垂直，那么在

垂直于它

們

的直線

于另一個平面符號語言α⊥β，α∩β＝l，

，

?a⊥β圖形語言一個平面內交線垂直a?αa⊥l題型探究例1

如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；類型一平面與平面垂直的性質定理證明證明由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.證明當題目條件中有面面垂直的條件時，往往要由面面垂直的性質定理推導出線面垂直的條件，進而得到線線垂直的關系.因此見到面面垂直條件時要找準兩平面的交線，有目的地在平面內找交線的垂線.反思與感悟跟蹤訓練1

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明證明如圖，在平面PAB內，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.例2

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點.將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D—ABCE.類型二立體幾何中的折疊問題證明求證：BE⊥平面ADE.證明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.(1)抓住折疊前后的不變量與變化量，同在半平面內的兩個元素之間的關系保持不變，而位于兩個半平面內的兩個元素之間關系改變.(2)特別要有意識地注意折疊前后不變的垂直性和平行性.反思與感悟跟蹤訓練2

如圖①所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿對角線AC將四邊形折成直二面角，如圖②所示.證明求證：平面ABD⊥平面BCD.證明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，過B作BO⊥AC，垂足為O，由AB＝BC知，O為AC的中點，作OE⊥AC交AD于E，則∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD?平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.證明因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.例3

如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點.求證：(1)PA⊥底面ABCD；類型三線線、線面、面面垂直的綜合應用證明(2)BE∥平面PAD；證明證明因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.證明(1)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化：反思與感悟(2)在運用面面垂直的性質定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直.跟蹤訓練3

如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，點E為AB的中點，點F為SC的中點.求證：(1)EF⊥CD；證明證明連結AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴SA⊥AC.又∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A.∴CB⊥平面SAB.∵SB?平面SAB，∴CB⊥SB，∴△AFB為等腰三角形，∵E為AB的中點，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)平面SCD⊥平面SCE.證明證明由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又EF?平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.當堂訓練1.給出下列四個說法：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中正確的是________.(填序號)答案2341②④5解析解析①中若兩直線平行，則結論錯誤；②正確；在空間中③錯誤；④正確.234152.已知平面α⊥平面β，直線a∥α，則直線a與β的位置關系可能是________.(填序號)①a⊥β；②a∥β；③a與β相交.答案23415①②③3.若將邊長為2的正方形ABCD沿AC折疊成直二面角，則B，D兩點間的距離為______.答案2341254.如圖，在三棱錐P—ABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝___.2341答案解析5解析∵側面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，5.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝

a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角.2341證明5

求證：(1)AB⊥平面BCD；23415∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)平面ACD⊥平面ABD.23