1.1.1空間向量及其線性運算-數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（人教A版2019）

第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運算·選擇性必修第一冊·123學(xué)習(xí)目標(biāo)通過類比平面向量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)（重點）。通過類比平面向量的線性運算法則與運算律推出空間向量的線性運算法則和運算律并掌握，培養(yǎng)學(xué)生的類比意識（重點、難點）。通過合作探究，歸納得出共線向量定理與共面向量定理并理解，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和歸納總結(jié)能力，提升直觀想象素養(yǎng)（重點、難點）。引入新知在滑翔的過程中，飛行員會受到來自不同方向、不同大小的力，如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等，這些力在同一平面內(nèi)嗎？引入新知國慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(O)游纜結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠(B)游玩，如圖(1)，游客的實際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來表示這個過程？OABOABD如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖(2),那他實際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢?新課探究問題1

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運算嗎？平面向量的概念

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.空間向量的概念

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作

或|a|.新課探究平面向量的表示法空間向量的表示法(1)有向線段

A(起點)B(終點)a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)acb印刷體：a手寫體：(1)有向線段(2)字母

a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)新課探究平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作

a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作

a＝－b；零

向

量：單位向量：相等向量：相反向量：新課探究平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。新課探究問題2

在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運算，你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？

平面向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘運算。先研究它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律。新課探究轉(zhuǎn)化平面向量的線性運算空間向量的線性運算abO.α新課探究平面向量的線性運算空間向量的線性運算(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則(1)加、減運算：求兩個空間向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則b新課探究平面向量的線性運算空間向量的線性運算(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；若λ<0，λa與a的方向相反；若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與空間向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；若λ<0，λa與a的方向相反；若λ＝0，λa＝0.新課探究問題3

平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間向量線性運算的運算律嗎？平面向量的線性運算空間向量的線性運算(3)運算律：(3)運算律：①交換律：

a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.新課探究思考：

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，記則a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c

＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.新課探究證明空間向量的加法結(jié)合律acb

一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體對角線所表示的向量。學(xué)習(xí)新知問題4

平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運算是否可以解決空間中的相關(guān)問題呢？平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實數(shù)λ，使a＝λb.對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實數(shù)λ，使a＝λb.學(xué)習(xí)新知直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。

如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量

，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)

,使得直線

可以由其上一點和它的方向向量確定。學(xué)習(xí)新知共面向量OAl學(xué)習(xí)新知思考：

空間中的任意三個向量是否共面，什么條件下三個空間向量共面？若p在α內(nèi)，則有

p＝xa

+yb；若p＝xa

+yb，則p在α內(nèi)。aObpαp.學(xué)習(xí)新知三個不共線的空間向量共面的充要條件應(yīng)用新知OABCDEFGH圖1.1-9應(yīng)用新知OABCDEFGH圖1.1-9應(yīng)用新知規(guī)律方法應(yīng)用新知變式訓(xùn)練：

能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

例題能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

（要求寫出所有適合條件的向量）例題能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

解析能力提升方法總結(jié)解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點及注意點

(1)關(guān)鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向．(2)注意點：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?能力提升題型二空間向量的線性表示

例題能力提升題型二空間向量的線性表示

解析能力提升方法總結(jié)空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．能力提升方法總結(jié)利用數(shù)乘運算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)