必修二課件第一章立體幾何初步1.2.4第1課時(shí)

第1課時(shí)兩平面平行第1章

平面與平面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面與平面的位置關(guān)系，掌握面面平行的判定定理、性質(zhì)定理.2.會(huì)進(jìn)行“線線平行”、“線面平行”及“面面平行”相互之間的轉(zhuǎn)化，來(lái)證明“線線平行”、“線面平行”及“面面平行”等問(wèn)題.3.了解兩個(gè)平面間的距離的概念.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)平面α與平面β平行_____沒(méi)有公共點(diǎn)平面α與平面β相交________有一條公共直線α∥βα∩β＝l思考1

知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理三角板的一條邊所在的直線與平面α平行，這個(gè)三角板所在的平面與平面α平行嗎？答案不一定.答案思考2

三角板的兩條邊所在的直線分別與平面α平行，這個(gè)三角板所在的平面與平面α平行嗎？答案平行.答案梳理表示定理圖形文字符號(hào)

兩個(gè)平面

平行的判

定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條

直線都平行于另一

個(gè)平面，那么這兩個(gè)平

面平行?α∥βa?αb?α________a∥βb∥βa∩b＝A相交知識(shí)點(diǎn)三平面與平面平行的性質(zhì)定理觀察長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中的兩個(gè)平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案思考1

平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？答案是的.思考2

若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？答案不一定，也可能異面.答案思考3

過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？答案平行.答案梳理

表示定理圖形文字符號(hào)

兩個(gè)平面

平行的性

質(zhì)定理

如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相交，

那么所得的兩條交線_____α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b?_______平行a∥b題型探究例1

已知在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.類型一兩平面平行的判定證明證明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.判定平面與平面平行的常用方法(1)利用定義，證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，常用反證法.(2)利用判定定理.要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面.應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線.(3)利用平行平面的傳遞性，即α∥β，β∥γ，則α∥γ.(客觀題用)反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?解答解當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，易證四邊形PQBA是平行四邊形，∴QB∥PA.又∵AP?平面APO，QB?平面APO，∴QB∥平面APO.∵P、O分別為DD1、DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.命題角度1由面面平行的性質(zhì)定理求線段長(zhǎng)例2

如圖，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求SC的長(zhǎng).類型二面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用解答解設(shè)AB，CD確定平面γ，因?yàn)棣谩搔粒紸C，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SC＝272.引申探究若將本例改為：點(diǎn)S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長(zhǎng).解答解設(shè)AB，CD確定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因?yàn)棣痢桅?，所以AC∥BD，即CS＝16.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為_(kāi)_____.答案解析解析AA′，BB′相交于點(diǎn)O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α，平面β的交線分別為AB，A′B′，所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，命題角度2利用面面平行證明線線平行例3

如圖所示，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明證明∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D，平面BB′C′C的交線，∴AD∥BC.同理可證AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.本類題的解題思路一般為先得出線面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性質(zhì)定理得線線平行.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BED1F是平行四邊形.證明證明如圖，連結(jié)AC，BD，交點(diǎn)為O，連結(jié)A1C1，B1D1，交點(diǎn)為O1，連結(jié)BD1，EF，OO1，設(shè)OO1的中點(diǎn)為M，由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1A1為矩形.又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以EF過(guò)OO1的中點(diǎn)M，同理四邊形BDD1B1為矩形，BD1過(guò)OO1的中點(diǎn)M，所以EF與BD1相交于點(diǎn)M，所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面.又因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理可證EB∥D1F.所以四邊形BED1F是平行四邊形.例4設(shè)AB，CD為夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點(diǎn).求證：MP∥平面β.類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用證明證明如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD確定一個(gè)平面，設(shè)為γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性質(zhì)定理)，取AE的中點(diǎn)N，連結(jié)NP，MN，∴M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP?β，DE?β，MN?β，BE?β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵M(jìn)P?平面MNP，MP?β，∴MP∥β.線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點(diǎn).(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；證明證明方法一如圖，連結(jié)AC、CD1.∵P、Q分別是AD1、AC的中點(diǎn)，∴PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.方法二取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、GQ，則有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ?平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的長(zhǎng)；解答(3)求證：EF∥平面BB1D1D.證明證明方法一取B1D1的中點(diǎn)O1，∴四邊形BEFO1為平行四邊形，∴EF∥BO1.又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.方法二取B1C1的中點(diǎn)E1，連結(jié)EE1、FE1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列條件中，可以用來(lái)判定平面α與平面β平行的是_____.(填序號(hào))①α內(nèi)有無(wú)窮多條直線與β平行；②直線a∥α，a∥β；③直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥α；④α內(nèi)的任何直線都與β平行.答案2341④52.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，若α∥β，且a?α，b?β，則直線a，b的位置關(guān)系是___________.答案23415解析利用正方體模型及兩個(gè)平面的位置關(guān)系的定義，可得直線a，b的位置關(guān)系是平行或異面.解析平行或異面3.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，下列四對(duì)截面中彼此平行的是____.(填序號(hào))①截面A1BC1和截面ACD1；

②截面BDC1和截面B1D1C；③截面B1D1D和截面BDA1；

④截面ADC1和截面AD1C.答案解析2341①解析易證A1B∥CD1，BC1∥AD1，由面面平行的判定定理，可得截面A1BC1∥截面ACD1，所以①符合條件；因?yàn)榻孛鍮DC1和截面B1D1C相交，截面B1D1D和截面BDA1相交，截面ADC1和截面AD1C相交，所以②③④不符合條件.故填①.54.若一平面截平行六面體，與兩組相對(duì)的面相交，則截面四邊形的形狀一定是____________.2341答案解析解析