高考總復習理數（北師大版）課時作業(yè)提升65古典概型

課時作業(yè)提升(六十五)古典概型A組夯實基礎1．4張卡上分別寫有數字1、2、3、4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為偶數的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：選B因為從四張卡片中任取出兩張的情況為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種．其中兩張卡片上數字和為偶數的情況為(1,3)、(2,4)共2種，所以兩張卡片上的數字之和為偶數的概率為eq\f(1,3).2．(2018·武漢調研)同時拋擲兩個骰子，則向上的點數之差的絕對值為4的概率是()A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,6)解析：選C同時拋擲兩個骰子，基本事件總數為36，記“向上的點數之差的絕對值為4”為事件A，則事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4個，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).3．(2018·合肥模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,12)解析：選A設2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12種情況，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故選A．4．(2018·威海一模)從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)解析：選A由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因為m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個，故所求的概率為eq\f(1,6).5．(2018·亳州質檢)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)解析：選C易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，由所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).6．(2018·浙江模擬)從2男3女共5名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均等)，這2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：設2名男生為A、B,3名女生為a、b、c，則從5名同學中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，而這2名同學剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共6種，故所求的概率P＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2018·綿陽診斷)如圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績，其中一個數字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為________.甲乙98853129●5解析：依題意，記題中的被污損數字為x，若甲的平均成績不超過乙的平均成績，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此時x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.答案：0.38．(2018·宣武模擬)曲線C的方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數，事件A＝“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝________.解析：試驗中所含基本事件個數為36；若想表示橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)9．(2015·天津卷)設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9,18.現采用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽．(1)求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數；(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6.現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．①用所給編號列出所有可能的結果；②設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率．解：(1)應從甲、乙、丙三個協會中抽取的運動員人數分別為3,1,2.(2)①從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種．因此，事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).B組能力提升1．(2018·衡水調研)現采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.852 B．0.8192C．0.8 D．0.75解析：選D本題主要考查隨機模擬法，考查學生的邏輯思維能力．因為射擊4次至多擊中2次對應的隨機數組為7140,1417,0371,6011,7610，共5組，所以射擊4次至少擊中3次的概率為1－eq\f(5,20)＝0.75.2．在平面直角坐標系xOy中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為W，從W中隨機取點M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，則點M位于第二象限的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．1－eq\f(π,12) D．1－eq\f(π,6)解析：選A畫出平面區(qū)域，列出平面區(qū)域內的整數點有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12個，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2個，所以所求概率P＝eq\f(1,6).3．(2018·昆明模擬)投擲兩顆相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點數之積等于12的概率為________．解析：投擲兩顆相同的正方體骰子共有36種等可能的結果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．點數積等于12的結果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4種，故所求事件的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)4．設集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，則點(x，y)在圓x2＋y2＝4內部的概率為________．解析：以(x，y)為基本事件，可知滿足x∈P且y∈P的基本事件有25個．若點(x，y)在圓x2＋y2＝4內部，則x，y∈{－1,0,1}，用列表法或坐標法可知滿足x∈{－1,0,1}且y∈{－1,0,1}的基本事件有9個．所以點(x，y)在圓x2＋y2＝4內部的概率為eq\f(9,25).答案：eq\f(9,25)5．一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，現從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后再從袋中任意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為________．解析：設3個白球分別為a1、a2、a3,2個黑球分別為b1、b2，則先后從中取出2個球的所有可能結果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種．其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b3)，共6種，故所求概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)6．(2015·安徽卷)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工．根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．解：(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).7．一汽車廠生產A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(1)求z的值；(2)按型號用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．解：(1)設該廠這個月共生產轎車n輛，由題意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，則z＝2000－100－300－150－450－600＝400.(2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，則a＝2.因此在抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1、A2表示2輛舒適型轎車，用B1、B2、B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B2，B3)，共10個．事件E包含的基本事