13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì) 人教版數(shù)學八年級上冊課件

第

十

三

章

軸

對

稱13.1.2

線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問該購物中心應

建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等?情境引入BC探

線段垂直平分線的性質(zhì)索如圖，直線l垂直平分線段AB,P,P,P,…

新知一量線段P?A,P?B,P?A,P?B,P?A,P?B請猜想點P,P,P,

…P?A

=

P?BP?A=P?BP?A=

P?B是l上的點，請你量的長，你能發(fā)現(xiàn)什么?到點A與點B

的距離之間的數(shù)量關系.命題：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等猜想：

點P,P?,P?,…到點A與點B的距離分別相等.怎么證明這一結論呢?探索新知結求證：PA=PB.論

證明：∵L⊥AB·

∠PCA=∠PCB在△PCA和△PCB中，PC=PC∠PCA=∠PCBAC=CB·APCA2A

PCR(SAS)∴PA=PB已知：如圖，直線l⊥AB,垂足為C,AC=CB,

點P在l

上

.驗

證解析：

∵DE垂直平分AB∴AD=BD∵△DBC的周長為BC+BD+CD=35cm∴BC+AD+CD=35cm∵AC=AD+DC=20cm∴BC=35-20=15(cm)方法歸納：

利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長.

典

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm,DE

垂直平分AB,

垂足精

為E,

交AC于D,

若△DBC

的周長為35cm,

則BC的長為(C)

析A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm例CB2.如圖②所示，在△ABC中

，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D,交邊AC于點E,△BCE的周長等于18cm,則AC的長是10cm

練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5,

則線段PB

的長為(B)A.6

B.5

C.4

D.3精析典

例圖②例2

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.作法：

(1)任意取一點K,

使點K和點C在AB的兩旁.(3)分別以點(2)以點C

為圓心，

CK長為半徑作弧，

交

4B于

點D和

點ED和點E為圓心，大于∠DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.(4)作直線CF.直線CF

就是所求作的垂線.

典例精析想一想：精

(1)為什么任意取一點K,

使點K與點C在直線兩旁?的長為半徑作弧?(3)為什么直線CF

就是所求作的垂線?典例例3

已知：如圖，在△ABC

中，邊AB,BC求證：

PA=PB=PC.證明：”點P在線段AB的垂直平分線MN上.PA=PB同理

PB=PC∴PA=PB=PC的垂直平分線交于P典

例精析三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點叫外心歸納總結現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎?探索新知PR

例4如圖，在四邊形ABCD

中，ADIBC,E為CD

的中點，連接

AE

、BE,BE⊥

AE,

延長AE交BC的延長線于點F.

求證：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.在△ADE和△FCE中∠ADE=∠ECFDE=EC∠AED=∠CEF∴△ADE≌△FCE(ASA)∴FC=AD(2)∵△ADE≌△FCE∴AE=EF,AD=CFBE⊥AE∴BE是線段AF的垂直平分線證明：(1)∵ADIIBC

∴∠ADE=∠ECF∵E是CD的中點∴DE=EC

∴AB=BF=BC+CF”AD=CF∴AB=BC+ADC

FB∠PCA=∠PCBPC=PC∵.Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)LⅡ

C∴AC

=

B

C

又

∵

P

C

⊥

A

B

∴點P在線段

AB的

垂

直

平分

線

上Seead證明：過點P

作AB的垂線PC,

垂足為點C.則∠PCA=∠PCB=90°在Rt△PCA和Rt△PCB

中，PA=PB那么點P

是否在線段AB

的垂直平分線上呢?的垂直平分線上.想一想：如果PA=PB,已知：如圖，

PA=PB.求證：點P

在線段ABPD

線段垂直平分線的判定人探索新知作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.應用格式：PA=PB∴點P

在AB

的垂直平分線上與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線的判定探索新知R

D探你能再找一些到線段AB

兩端點的距離相等的點嗎?能找到多少

索

個到線段AB兩端點距離相等的點?這些點能組成什么幾何圖形?與A,B

的距離相等的點都在直線l

上，所以直線l

可以看成與A,B兩點的距離相等的所有點的集合.新知應用格式：∵AB=AC,MB=MC∴直線AM

是線段BC

的垂直平分線這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.探索新知例5已知：如圖，點E

是∠AOB

的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,

垂足分別為C,D,連接CD.求證：

OE是CD

的垂直平分線證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB∴DE=CE在△OED和Rt△OEC中，OE=OEDE=CE∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL)∴DO=CO∴OE是CD的垂直平分線典例精析U例6已知：如圖，在△ABC

中

，AB,BC的垂直平分線相交于點O,連接OA,OB,OC.

求證：點O在AC的垂直平分線上.證明：

點O

在線段AB

的垂直平分線上·OA=OB同理OB=OC結論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.∴OA=OC∴點O在AC的垂直平分線上典例精析R

DB.CD

垂直平分AB;C.AB

與CD互相垂直平分；D.CD

平分∠ACB.1.如圖所示，

AC=AD,BC=BD,A.AB

垂直平分CD;則下列說法正確的是(A)課堂練習2.在銳角三角形ABC

內(nèi)一點P,,滿足PA=PB=PC,則點P

是△ABC(

D

)A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點練習術堂術

3.已知線段AB,在平面上找到三個點D

、E

、F,使DA=DB,EA=EFA=FB,

這樣的點的組合共有

無數(shù)

種.習4.下列說法：①若點P,E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,則直線PE

垂直平分線段AB;③若PA=PB,

則點P

必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA=EB,則經(jīng)過點E

的直線垂直平分線段AB.其中正確的有

(填序號)

.日堂B,BE,AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

16

cm.A

5.如圖，△ABC

中，AB=AC,AB

的垂直平分線交AC

于E,

連接6.已知：如圖，點C,D

是線段AB

外的兩點，且AC=BC,AD=BD,AB

與CD相交于點0.求證：AO=BO.證明：

∵AC=BC,AD=BD∴點C和點D在線段AB的垂直平分線上∴CD

為線段AB

的垂直平分線AO=BO課

堂練習7.如圖所示，在△ABC中

，AD平分∠BAC,DE⊥ABDF⊥AC于點F,試說明AD與EF的關系.解：AD垂直平分EF,理由如下：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠AED=∠AFD=90°在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)∴AE=AF又∵DE=DF∴A、D

均在線段EF

的垂直平分線上

B即：直線AD

垂直平分線段EF課堂練習于點E,解：(1)∵AB、CD互相垂直平分BE∴OC=OD,AO=OB且

A

C

=

B

C

=

A

D

=

B

D(

2

)

O

E

=

O

F

,

理由

如

下

：

在

△

A

O

C

和

△

A

O

D

中

，AC=ADAO=AOOC=OD∴△AOC≌△AOD(SSS)∴∠CAO=∠DAO又∵

O

E⊥

A

C

,

O

F⊥

A

D∴OE=OFFOD與CD

互相垂直平分，垂足為點O.兩邊的垂線段，試說明它們的大C8.如圖，在四邊形ADBC

中

，AB(1)找出圖中相等的線段；(2)OE