2024-2025學(xué)年年浙江省“啟航杯”高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年年浙江省“啟航杯”高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2|x|≤4,x∈Z}，則A的元素?cái)?shù)量是A.2 B.3 C.4 D.52.已知z=?1+3i2A.1 B.3 C.2 D.3.橢圓E：x24+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，G為A.2π3 B.π2 C.π34.已知邊長為6的正方體與一個(gè)球相交，球在正方體的每個(gè)面上的交線都為一個(gè)面積為16π的圓，則該球的表面積為(

)A.96π B.100π C.125π D.204π5.已知(1x+x)n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為A.1 B.6 C.15 D.206.已知xx?1≥lnx+ax對(duì)?x>0恒成立，則aA.0 B.1e C.e D.7.已知an=an+1+12,A.12 B.14 C.188.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p(0<p<1)，她擲了k次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使P(X=10)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使P(X=10)最大，則取其中的最小N值).下列說法正確的是(

)A.E(X)>10 B.E(X)<10

C.E(X)=10 D.E(X)與10的大小無法確定二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，M為BB1的中點(diǎn)，G為D1B1靠近B1的四等分點(diǎn)，H為線段MGA.三棱錐H?D1AC的體積為定值

B.∠AMC=∠D1MC

C.HD的最小值為510.設(shè)定義域?yàn)?0,+∞)的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x?1)+x(x≥2)，且f(1)=1，則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)x∈N+時(shí)，f(x)=x2+x2

B.f(52)≤358

C.不等式f(x)≤f(x)11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛，如題圖所示是小D同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對(duì)于小恐龍曲線C1：x2+A.該曲線與x=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)

B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則a>0

C.存在一個(gè)a，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.a=3時(shí)，該曲線中x≥8的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.隨著某抽卡游戲在班級(jí)內(nèi)流行，李華統(tǒng)計(jì)了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下：10，60，90，80，20，180，則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為______．13.已知正四面體O?ABC棱長為4，棱OA上有一點(diǎn)A1，棱OB上有一點(diǎn)B1，棱OC上有一點(diǎn)C1.若|A14.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax?alnx(a>0)的極小值點(diǎn)為x0，若y=f(x)的圖象上不存在關(guān)于直線x=x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知c=3,S△ABC=b2sinC．

(1)求a的取值范圍；

(2)求16.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2?y2=8，圓A：(x?2)2+(y?2)2=r2，其中r>0.圓A與雙曲線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)D，E，線段DE的中點(diǎn)為G．

(1)記直線AG的斜率為k1，直線OG的斜率為17.(本小題12分)

浙里啟航團(tuán)隊(duì)舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，玩家一共抽取n次.每次都有12的概率抽中，12的概率沒抽中.小明的抽獎(jiǎng)得分按照如下方式計(jì)算：

(1)將玩家n次抽獎(jiǎng)的結(jié)果按順序排列，抽中記作1，未抽中記作0，形成一個(gè)長度為n的僅有01的序列．

(2)定義序列的得分為：對(duì)于這個(gè)序列每一段極長連續(xù)的1，設(shè)它長度為t，那么得分即為t2．

(3)序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和．

例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中獎(jiǎng)，那么序列即為1，0，1，1，1，0，1，得分為12+32+12=11.可能用到的公式：若X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X)+E(Y)=E(X+Y)．

(1)若n=3，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量X為清照的最終得分，求E(X)．

(2)記隨機(jī)變量Z表示長度為n的序列中從最后一個(gè)數(shù)從后往前極長連續(xù)的1的長度，求E(Z)．

18.(本小題12分)

定義：[x]表示x的整數(shù)部分，{x}表示x的小數(shù)部分，例如[1.2]=1，{1.75}=0.75.數(shù)列an滿足an+1=[an]{an}(an?Z)an(an∈Z)其中a1=m.若存在k∈N+，使得當(dāng)n>k時(shí)，an=an+1恒成立，則稱數(shù)m為木來數(shù)．

(1)分別寫出當(dāng)m=19.(本小題12分)

稱代數(shù)系統(tǒng)G(x,°)為一個(gè)有限群，如果：

a.X為一個(gè)有限集合，°為定義在X上的運(yùn)算(不必交換)，?a，b∈X，a°b∈X

b.(a°b)°c=a°(b°c)，?a，b，c∈X

c.?e∈X，?a∈X，a°e=e°a=a，e稱為G的單位元

d.?a∈X，存在唯一元素a?1∈X使a°a?1=a?1°a=e，a?1稱為a的逆元有限群H(Y,°)，稱為G(X,°)的子群.若Y?X，定義運(yùn)算a°H={a°?|?∈H}．

(1)設(shè)H為有限群G的子群，a，b為G中的元素.求證：

(i)a°H=b°H當(dāng)且僅當(dāng)b?1°a∈H；

(ii)a°H與H元素個(gè)數(shù)相同．

(2)設(shè)p為任一質(zhì)數(shù)X={1,2,…,p?1}.X上的乘法定義為a°b=(abp?[abp])p，其中[x]為不大于x的最小整數(shù).已知參考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.20

13.214.(0,1]

15.解：(1)由“三角形的兩邊之和大于第三邊”，可知a+b>c，b+c>a，c+a>b．

根據(jù)S△ABC=12absinC=b2sinC，整理得a=2b，結(jié)合c=3，得3b>3，b+3>2b，c+2b>b．

解得1<b<3，所以2<a<6，邊a的取值范圍是(2,6)；

(2)由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=3b2+c24bc≥23bc16.解：(1)由題意如圖所示：

因?yàn)閨EG|=|DG|，|AD|=|AE|，線段DE的中點(diǎn)為G，

所以AG⊥DE，

又設(shè)D(x1,y1)，E(x2,y2)，

因?yàn)閤12?y12=x22?y22=8，

所以(x1?x2)(x1+x2)=(y1?y2)(y1+y2)，

而圓心A(2,2)不在坐標(biāo)軸上，從而x1≠x2，x1+x2≠0，

所以y1?y2x1?x2?y117.解：(1)若序列為：0，0，0，則最終得分為0，

若序列為：1，0，0，或0，1，0，或0，0，1，則最終得分為1，

若序列為：1，0，1，則最終得分為2，

若序列為：1，1，0，或0，1，1，則最終得分為4，

若序列為：1，1，1，則最終得分為9，

P(X=0)=18,P(X=1)=38，P(X=2)=18,P(X=4)=14，P(X=9)=18，

所以E(X)=0×18+1×38+2×18+4×14+9×18=114；

(2)令gn表示長度為n的序列，E(Z)的答案，換言之En(Z)=gn，

則有遞推關(guān)系gn+1=12?(gn+1+0)，表示第n+1位分別為1或0的答案，

顯然g1=12?(0+1)=12，

設(shè)gn+1+λ=12(gn+λ)，

則gn+1=gn?12λ，

18.解：(1)當(dāng)m=2時(shí)，a1=2,a2=[a1]{a1}=12?1=2+1，同理a3=22+2,a4=22+2，

當(dāng)m=53時(shí)，a1=53,a2=[a1]{a1}=123=32，同理a3=2，a4=2；

(2)證明：當(dāng)m=t2+1,t∈N+時(shí)，即a1=t2+1，則a1=t2+1a2=tt2+1?t19.證明：(1)(i)如果a°H=b°H，則??1∈H，??2∈H，a°?1=b°?2，

從而b?1°a=?2°?1?1∈H．

另一方面，如果b?1°a∈H，

則有?g1∈a°H，??1∈H，g1=a°?1，

即a?1°g1=?1，從而b?1°a°a?1°g1=b?1°a°?1