2024-2025學(xué)年湖南省長沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.4(x+2)=25 B.2x2+3x?1=0 C.2x+y=222.一元二次方程x2?4x=5的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是(

)A.1，4，5 B.0，?4，?5 C.1，?4，5 D.1，?4，?53.用配方法解方程x2?6x?1=0時，配方結(jié)果正確的是(

)A.(x?3)2=10 B.(x?3)2=84.對于二次函數(shù)y=2(x?1)2?8，下列說法正確的是A.圖象開口向下 B.當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小

C.當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小 D.圖象的對稱軸是直線x=?15.如圖，在長為54米、寬為38米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪.要使草坪的面積為1800平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為(

)A.(54?x)(38?x)=1800

B.(54?x)(38?x)+x2=1800

C.54×38?54x?38x=18006.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干、小分支的總數(shù)是91.設(shè)每個支干長出x個分支，則可列方程為(

)A.x2+x+1=91 B.(x+1)2=91 7.若a是方程x2?x?1=0的一個根，則?a3A.2021 B.?2021 C.2020 D.?20208.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=mx2+2x+2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是A.B.C.D.9.若點A(?2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在拋物線y=2(x?1)A.y1<y2<y3 B.10.為了使居住環(huán)境更加美觀，某小區(qū)建造了一個小型噴泉，水流從地面上的點O噴出，在各個方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點A到點O的距離為4，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+245xA.245m B.5m C.112二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.將一元二次方程3x(x?1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)12.把二次函數(shù)y=2x2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是______．13.當(dāng)m=______時，關(guān)于x的方程(m+2)xm+3+6x?9=014.已知方程x2?2x?4=0的兩根分別為x1和x2，則x15.關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2?2x+1=0有兩個實數(shù)根，則k16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①bc>0；②x>0時，y隨x的增大而增大；③a+b+c>0；④不等式ax2+bx+c<0的解集是?1<x<3三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題20分)

解方程：

(1)x2+3x=0；

(2)3x(x?1)=2(1?x)；

(3)x2?6x+12=018.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2?1=0．

(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1，x219.(本小題14分)

已知二次函數(shù)y=?x2+2x+3．

(1)函數(shù)的開口方向是______，對稱軸是直線______；

(2)函數(shù)的頂點式為______，與x軸的交點坐標(biāo)是______；

(3)當(dāng)x______時，函數(shù)y隨x的增大而增大；當(dāng)______時，y的值小于0；

(4)該二次函數(shù)與一次函數(shù)y=x+120.(本小題10分)

2024年是農(nóng)歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛.商場購進一批單價為70元的“吉祥龍”公仔，并以每個80元售出.由于銷售火爆，公仔的銷售單價經(jīng)過兩次調(diào)整后，上漲到每個125元，此時每天可售出75個．

(1)若銷售單價每次上漲的百分率相同，求該百分率；

(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，其銷售量相應(yīng)增加5個.那么銷售單價應(yīng)降低多少，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？21.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=?x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．22.(本小題10分)

已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若其圖象經(jīng)過點P(t,2t)，則稱點P為函數(shù)圖象上的“周梅點”.例如：直線y=x?3上存在“周梅點”P(?3,?6)．

(1)在直線y=?x+1上是否存在“周梅點”？若存在，請求出”周梅點”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(2)若拋物線y=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1上有“周梅點”，且“周梅點”為A(x1,y1)和B(參考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.C

10.A

11.3x12.y=2(x+3)13.?1

14.?4

15.k≤2且k≠1

16.①④

17.解：(1)x2+3x=0；

x(x+3)=0，

∴x1=0，x2=?3；

(2)3x(x?1)=2(1?x)；

3x(x?1)+2(x?1)=0，

(x?1)(3x+2)=0，

∴x1=1，x2=?23；

(3)x2?6x+12=0；

∵Δ=36?48=?12<0，18.解：(1)由題意有△=[2(m+1)]2?4(m2?1)≥0，

整理得8m+8≥0，

解得m≥?1，

∴實數(shù)m的取值范圍是m≥?1；

(2)由兩根關(guān)系，得x1+x2=?2(m+1)，x1?x2=m2?1，

(x1?x19.解：二次函數(shù)y=?x2+2x+3，

(1)∵a=?1，b=2，c=3，

∴a<0，對稱軸x=?b2a=?22×(?1)=1，

二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線x=1，

(2)∵y=?x2+2x+3，

∴y=?(x2?2x+1)+4=?(x?1)2+4，

∴頂點式：y=?(x?1)2+4；

當(dāng)y=0時，?x2+2x+3=0，

即x2?2x?3=0，

∴(x+1)(x?3)=0，

∴x1=?1，x2=3，

∴與x軸的交點坐標(biāo)為(?1,0)(3,0)，

(3)∵二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x≤1時，函數(shù)y隨x的增大而增大，

∵二次函數(shù)的開口向下，與x軸的交點坐標(biāo)為(?1,0)(3,0)，

∴當(dāng)x<?1或x>3時，y的值小于0，

(4)y=?x2+2x+3y=x+1，

解得x=?1y=0或x=2y=3，

∴交點坐標(biāo)為(?1,0)，(2,3)．

20.解：(1)由題意，設(shè)每次上漲的百分率為m，

依題意，得：80(1+m)2=125，

解得：m1=0.25=25%，m2=?2.25(不合題意，舍去)21.解：(1)設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=ax2+bx+c(a≠0)，

將A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三點代入函數(shù)解析式得：

16a?4b+c=0c=?44a+2b+c=0

解得a=12b=1c=?4，

所以此函數(shù)解析式為：y=12x2+x?4；

(2)∵M點的橫坐標(biāo)為m，且點M在這條拋物線上，

∴M點的坐標(biāo)為：(m,12m2?+m?4)，

∴S=S△AOM+S△OBM?S△AOB

=12×4×(?12m2?m+4)+12×4×(?m)?12×4×4

=?m2?2m+8?2m?8

=?m2?4m，

=?(m+2)2+4，

∵?4<m<0，

當(dāng)m=?2時，S有最大值為：S=?4+8=4．

答：m=?2時S有最大值S=4．

(3)設(shè)P(x,12x2+x?4)．

當(dāng)OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ//OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為y=?x，

則Q(x,?x)．

由PQ=OB，得|?x?(12x2+x?4)|=4，

解得x=0，?422.解：(1)在直線y=?x+1上存在“周梅點”；理由如下：

設(shè)點P(t,2t)是直線y=?x+1上的“周梅點”，

∴?t+1=2t，

∴t=13，

∴直線y=x+1上的“周梅點”為(13,23)；

(2)設(shè)拋物線“周梅點”的坐標(biāo)為P(x,2x)，

將點P的坐標(biāo)代入拋物線y=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1中得：

2x=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1，

?12x2+23ax?29a2?a+1=