高考數(shù)學(xué)（理）一輪講義第39講空間幾何體的三視圖直觀圖表面積和體積

第七章立體幾何第39講空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)單組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.2017·江蘇卷，182016·全國(guó)卷Ⅰ，32016·四川卷，132016·全國(guó)卷Ⅱ，62016·全國(guó)卷Ⅲ，92016·山東卷，5空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖、表面積和體積在高考中每年都會(huì)考查，主要考查幾何體的三視圖及已知幾何體的三視圖求幾何體的表面積和體積.分值：5分1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面__平行__，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)面的交線都平行且相等棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)__公共頂點(diǎn)__的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于__底面__的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái).(2)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形一邊所在的直線圓錐直角三角形一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點(diǎn)連線球半圓或圓直徑所在的直線2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：__正視圖__、__側(cè)視圖__、__俯視圖__.(2)三視圖的畫法①在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成__虛線__.②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的__正前__方、__正左__方、__正上__方觀察幾何體的正投影圖．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用__斜二測(cè)__畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為_(kāi)_45°或135°__，z′軸與x′軸和y′軸所在平面__垂直__.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別__平行于坐標(biāo)軸__；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度__不變__；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為_(kāi)_原來(lái)的一半__.4．空間幾何體的表面積與體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝__Sh__錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝__eq\f(1,3)Sh__臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝__4πR2__V＝__eq\f(4,3)πR3__1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)．(1)底面是正方形的四棱柱為正四棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．(×)(4)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(×)(5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(×)解析(1)錯(cuò)誤．因?yàn)閭?cè)棱不一定與底面垂直．(2)錯(cuò)誤．盡管幾何體滿足了一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，但不能保證各三角形具有公共頂點(diǎn)．(3)錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓚€(gè)平行截面不能保證與底面平行．(4)錯(cuò)誤．∠A應(yīng)為45°或135°.(5)錯(cuò)誤．正方體的三視圖由于正視的方向不同，其三視圖的形狀可能不同，圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同．2．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(C)A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B)A．90π B．63πC．42π D．36π解析方法一由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－eq\f(1,2)×π×32×6＝63π.方法二依題意，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π，選擇B．4．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_2__.解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，解得r＝1，即直徑為2.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖的等腰三角形腰長(zhǎng)為2，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是__2(π＋eq\r(3))__.解析由三視圖可知此幾何體的表面積分為兩部分：底面積即俯視圖的面積為2eq\r(3)；側(cè)面積為一個(gè)完整的圓錐的側(cè)面積，且圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面半徑為1，所以側(cè)面積為2π.兩部分加起來(lái)即為幾何體的表面積，為2(π＋eq\r(3))．一空間幾何體的三視圖和直觀圖(1)三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬，即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”．(2)解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問(wèn)題時(shí)，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系．【例1】(1)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是(B)ABCD(2)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(A)(3)已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能是(C)解析(1)由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個(gè)三角形．(2)由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2).(3)當(dāng)正視圖為等腰三角形時(shí)，則高應(yīng)為2，且應(yīng)為虛線，排除A，D項(xiàng)；當(dāng)正視圖是直角三角形，由條件得一個(gè)直觀圖如圖所示，中間的線是看不見(jiàn)的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故答案為C．二空間幾何體的表面積和體積(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．(3)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積．(4)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解．(5)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．【例2】(1)(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(B)A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2(2)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(B)A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81解析(1)由三視圖還原為如圖所示的四棱錐A－BCC1B1，從圖中易得最長(zhǎng)的棱為AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).(2)由三視圖可知，該幾何體是底面為正方形(邊長(zhǎng)為3)，高為6，側(cè)棱長(zhǎng)為3eq\r(5)的斜四棱柱，其表面積S＝2×32＋2×3×3eq\r(5)＋2×3×6＝54＋18eq\r(5)，故選B．三與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(1)正方體的內(nèi)切球的直徑為棱長(zhǎng)，外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，此問(wèn)題也適合長(zhǎng)方體，或由同一頂點(diǎn)出發(fā)的兩兩互相垂直的三條棱構(gòu)成的三棱柱或三棱錐．(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距離恰為棱柱高的eq\f(1,2).求球的半徑關(guān)鍵是找到由球的半徑構(gòu)成的三角形，解三角形即可求球的半徑．(3)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題．(4)球與多面體的組合，通常過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．【例3】(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(B)A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)(2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_4eq\r(15)__.解析(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，所以，圓柱的體積V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故選B．(2)方法一由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為acm，則△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)a2，△DBC的高為5－eq\f(\r(3),6)a，則正三棱錐的高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(\r(3),6)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2)＝eq\r(25－\f(5\r(3),3)a)，∴25－eq\f(5\r(3),3)a>0，∴0<a<5eq\r(3)，∴所得三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(25－\f(5\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),12)×eq\r(25a4－\f(5\r(3),3)a5).令t＝25a4－eq\f(5\r(3),3)a5，則t′＝100a3－eq\f(25\r(3),3)a4，由t′＝0，得a＝4eq\r(3)，此時(shí)所得三棱錐的體積最大，為4eq\r(15)方法二如圖，連接OD交BC于點(diǎn)G，由題意知，OD⊥BC．易知OG＝eq\f(\r(3),6)BC，∴OG的長(zhǎng)度與BC的長(zhǎng)度成正比．設(shè)OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，S△ABC＝2eq\r(3)x·3x·eq\f(1,2)＝3eq\r(3)x2，則所得三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)x2×eq\r(5－x2－x2)＝eq\r(3)x2×eq\r(25－10x)＝eq\r(3)×eq\r(25x4－10x5).令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，得0<x<2，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))時(shí)，f(x)≤f(2)＝80，∴V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴所求三棱錐的體積的最大值為4eq\r(15).1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(B)A．10 B．12C．14 D．16解析由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(2＋4×2,2)×2＝12，故選B．2．若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(A)A．34π B．35πC．36π D．17π解析由幾何體的三視圖知它的底面是正方形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，可把它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3,3,4的長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球即為原四棱錐的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R為外接球的半徑)，外接球表面積為S＝4πR2＝34π，故選A．3．已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P－MNQ的俯視圖不可能是(C解析當(dāng)M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時(shí)，三棱錐P－MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P－MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P－MNQ，使其俯視圖為D，故選C．4．設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,2)，則eq\f(S1,S2)的值是__eq\f(9,4)__.解析設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(r1,r2)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，則eq\f(S1,S2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))2＝eq\f(9,4).易錯(cuò)點(diǎn)不能巧妙運(yùn)用長(zhǎng)方體和正方體解題錯(cuò)因分析：不能借助長(zhǎng)方體和正方體協(xié)助解題，使解題受阻．【例1】某幾何體的一條棱長(zhǎng)為m，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為eq\r(7)的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為eq\r(6)和eq\r(5)的線段，則m的值為()A．3 B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)解析將這條棱放在長(zhǎng)方體內(nèi)，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，對(duì)角線A′C為該棱，CD′為該棱的正視圖，長(zhǎng)為eq\r(7)；A′C′為俯視圖，長(zhǎng)為eq\r(5)，CB′為側(cè)視圖，長(zhǎng)為eq\r(6)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a2＋c2＝7，,b2＋c2＝6.))則A′C2＝a2＋b2＋c2＝9，則A′C＝3.答案A【跟蹤訓(xùn)練1】一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為(A)A．eq\f(23,3) B．eq\f(47,6)C．6 D．7解析該幾何體是正方體去掉兩個(gè)角所形成的多面體(如圖)，其體積為V＝2×2×2－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(23,3)，故選A．課時(shí)達(dá)標(biāo)第39講[解密考綱]考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖、體積與表面積，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(D)解析如圖所示，點(diǎn)D1的投影為C1，點(diǎn)D的投影為C，點(diǎn)A的投影為B，故選D．2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(D)解析由幾何體的正視圖和側(cè)視圖，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)中的俯視圖知，若為D項(xiàng)，則正視圖應(yīng)為，故D項(xiàng)不可能，故選D項(xiàng)．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(B)A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)解析三棱錐的高為1，底面為等腰三角形，如圖，因此表面積是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5)，故選B．4．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故選A．5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為(B)A．6eq\r(2) B．6C．4eq\r(2) D．4解析由三視圖知，該幾何體為三棱錐D1－CEC1(如圖所示)，∵平面CEC1⊥平面D1C1C，△D1C1C為等腰直角三角形，△CEC1為等腰三角形，且D1C所以CE＝C1E＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，CD1＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，D1E＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(5)))2)＝6，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱為6.6．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(D)A．①和③ B．③和①C．④和③ D．④和②解析由三視圖可知，正視圖與俯視圖分別為④②.二、填空題7．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是__eq\f(3,2)__.解析設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_eq\f(\r(2),2)__.解析如圖所示．因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱的長(zhǎng)度是__eq\r(29)__.解析由三視圖知，該幾何體為一個(gè)四棱錐P－ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB＝2AD＝4，AD⊥AB，PA＝2，∴該四棱錐的最長(zhǎng)的棱為PC＝eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29).三、解答題10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PC與底面ABCD垂直，該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它們是腰長(zhǎng)為6cm(1)根據(jù)圖所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA．解析(1)該四棱錐的俯視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正方形(內(nèi)含對(duì)角線)，如圖，其面積為36(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11