高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：17 等差數(shù)列（學(xué)生版+解析版）

專(zhuān)題17等差數(shù)列

一、單選題

L（2020?進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考）在等差數(shù)列｛《J中，已知仆+。5+%=15,則該數(shù)列前9項(xiàng)和Sg=

（）

A.18B.27C.36D.45

2.（2020?江蘇省如皋中學(xué)高一月考）在等差數(shù)列｛4｝中，q=2,a2=|,則4oi的值是（）

A.49B.50C.51D.52

3.（2020?湖南省高三三模（理））《九章算術(shù)》大約成書(shū)于公元一世紀(jì)，是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)著作，共收

臧了246個(gè)與生產(chǎn)實(shí)踐有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，其中有一題：今有金筵，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺,

重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？其意：現(xiàn)有一根金杖，五尺長(zhǎng)，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重量

為四斤，在細(xì)的一端截下一尺，重量為二斤.問(wèn)依次每一尺各有多重？假設(shè)金杖由粗到細(xì)所截得的每尺的重

量依次成等差數(shù)列｛4｝,%=4斤，則/=（）

A.2.5斤B.2.75斤C.3斤D.3.5斤

4.（2020?北京理工大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū)高二期中）記又為等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和.已知54=0,?5=5,

則（）

:2

A.an=2n—5B.an=3n-10C.Sn=2n—8nD.S?=^n-2n

5.（2020.福建省高二期末）等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=3,%T1，則S,=（）

A.51B.50C.49D.48

6.（2019?福建省莆田一中高三月考（文））已知5“是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，%+%=8，$7=35,

則?2=（）

A.5B.6C.7D.8

7.（2020.進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考）等差數(shù)列｛q｝中，S”為它的前“項(xiàng)和，若q>0,520>0,S21<0,

則當(dāng)”=（）時(shí)，S.最大.

A.8B.9C.10D.11

8.（2020.安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和是S“，若

S9<Ss<5|0，則（）

A.d>0,Su〉。B.d<Q,Sl7<0

C.d>0,5l8<0D.d>0,5l8>0

二、多選題

9.（2020?山東省高二期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為若§3=0,%=8,則（）

22

A.Sn=2n-6nB.Sn=n-3nC.an=4n-8D.an~2n

10.（2020.尤溪縣第五中學(xué)高一月考）設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和，m>0,且S6=S9,則（）

A.d<0,B.?8=0,C.Ss>Sb,D.S7或Ss為S,的最大值

11.（2020?壽光市第二中學(xué)高三月考）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.若4+4=24,56=48,則下

列正確的是（）

A.q=-2B.a,=2C.d=4D.d--4

12.（2020?諸城市教育科學(xué)研究院高二期中）已知S,,是等差數(shù)列｛為｝（〃€N*）的前〃項(xiàng)和，且55>S6>S4,

以下有四個(gè)命題，其中正確的有（）

A.數(shù)列｛S,,｝中的最大項(xiàng)為九B.數(shù)列｛叫的公差d<0

C.Sl0>0D.SH<0

三、填空題

13.（2020?湖北省江夏實(shí)驗(yàn)高中高一期中）已知｛%｝是等差數(shù)列，且%=-5,6=4+6,則4=

14.（2020.北京市第四十四中學(xué)高二期中）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，4+4=6,則$5=.

15.（2019?全國(guó)高三月考（文））等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=ll，50=10（）,則須=.

16.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，若生+4+。9=24,貝1]$9=；今?類(lèi)的最大值為.

810

四、解答題

17.（2018?平遙縣綜合職業(yè)技術(shù)學(xué)校高二期中）在等差數(shù)列｛%｝中，?i>0,3a4=lai,求S“取得最大值時(shí)"

的值.

18.(2020?畢節(jié)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一期中)已知數(shù)列｛四｝是一個(gè)等差數(shù)列，且痣=1,“5=-5.

(1)求｛”“｝的通項(xiàng)a,,；

(2)求｛飆｝前〃項(xiàng)和S”的最大值.

19.(2020.福建省高三月考(文))Sn為數(shù)列｛%｝的前兀項(xiàng)和?已知與＞°，成+2冊(cè)=4之+3.

(I)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)九=」一，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.

?i

20.(2020?進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足5“=”24,一〃2(〃一］),且

1

'2

M-L1

⑴令d=——s“，證明:2一21="(〃22)；(2)求｛q｝的通項(xiàng)公式.

n

21.(2020?湖北省高三三模(文))已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足：a；+d=8,at+a2=5.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)記數(shù)列的前”項(xiàng)和為7；,求取得最大值時(shí)〃的值.

n

22.(2020.安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，a2+52=-5,S5=-15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若々=(―1)"%,求數(shù)列出｝的前20項(xiàng)和T20.

專(zhuān)題17等差數(shù)列

一、單選題

1.(2020?進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考)在等差數(shù)列｛4｝中，已知/+%+%=15,則該數(shù)列前9項(xiàng)和$9=

()

A.18B.27C.36D.45

【答案】D

【解析】

在等差數(shù)列｛0“｝中，%+%+%=3%=15,%=5,所以S9=^^x9=^x9=9%=9x5=45.

故選：D

5

=

2.（2020.江蘇省如皋中學(xué)高一月考）在等差數(shù)列｛“"｝中，4=2,2-則。］（）1的值是（）

A.49B.50C.51D.52

【答案】D

【解析】

在等差數(shù)列｛4｝中，4=2,出=，則公差d=4_q=|_2=g,

所以a［。］=4+100d=2+100xg=52.

故選：D.

3.（2020?湖南省高三三模（理））《九章算術(shù)》大約成書(shū)于公元一世紀(jì)，是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)著作，共收

藏了246個(gè)與生產(chǎn)實(shí)踐有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，其中有一題：今有金就，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺,

重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？其意：現(xiàn)有一根金杖，五尺長(zhǎng)，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重量

為四斤，在細(xì)的一端截下一尺，重量為二斤.問(wèn)依次每一尺各有多重？假設(shè)金杖由粗到細(xì)所截得的每尺的重

量依次成等差數(shù)列｛%｝,q=4斤，則生=（）

A.2.5斤B.2.75斤C.3斤D.3.5斤

【答案】D

【解析】

由題意可知，4=4斤，%=2斤，則公差d=%二幺=—0.5斤，

5-1

故々=4+d=3.5斤.

故選:D.

4.（2020?北京理工大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū)高二期中）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.已知為=0,as=5,

則（）

2:

A.a?=2n-5B.a?=3n-10C.S?=2n—8nD.Sn=^n-2n

【答案】A

【解析】

分析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.本題還可用排除，對(duì)B,as=5,=￡zZ±￡）=-100,排除

2

B,對(duì)C,S4=0,as=Ss_54=2x5-8x5-0=105,排除C.對(duì)D,

S4=0,a5=S5-S4=1x5=-2x5-0=?*5,排除D,故選A.

詳解：由題知，件=4%+gx4x3=0,解得『廣二3.?2n一5,故選A.

Ia5=a1+4d=51d=2

5.（2020.福建省高二期末）等差數(shù)列｛叫的前”項(xiàng)和為S“，若外=3,6=11，則$7=（）

A.51B.50C.49D.48

【答案】C

【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為q，

a,+d-3,..

所以《一,,-解得：ai=l,d=2

q+5d=11

7x6

所以S7=7xl+q^x2=49.

故選：C

6.（2019?福建省莆田一中高三月考（文））已知S.是等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，%+%=8，S7=35,

則a2=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

因?yàn)?+%=8=2a5>S7=35=7%

所以。5=4,%=5,

故d=-l,

。2=%-2d=5+2=7,

故選C.

7.（2020.進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考）等差數(shù)列｛凡｝中，S“為它的前w項(xiàng)和，若q>0,S20>0,S2l<0,

則當(dāng)〃=（）時(shí)，S”最大.

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解析】

等差數(shù)列｛4｝中，前〃項(xiàng)和為S,，且$20>0,S21<0,

即52。=2。（n+。）=104+%）〉0,.??°+%>0,

S2[=21（"；生）=21即<0，所以，a,1<0,則4o>O,

因此，當(dāng)〃=10時(shí)，S“最大.

故選：C.

8.（2020?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知｛《,｝是公差為d的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和是S“，若

S9<S,<Sw，貝ij（）

A.d>（）.Sc。B.d<0,Sl7<0

C.d>0,5l8<0D.d>0,S18>0

【答案】D

【解析】

?/S9<S8<Sl0,a9<0,a9+al0>0,a10>0,d>0.

Sl7=17a9<0,S[8=9（%+4（,）>0.

故選：D.

二、多選題

9.（2020.山東省高二期末）設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”.若5=0,%=8,則（）

22

A.Sn-2n-6nB.Sn=n-3nC.an=4n-SD.an=2n

【答案】AC

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則｛31,解得，

1n>[&=q+3d=8[d=4

.?.a”=q+（〃—l）d=-4+4（〃-1）=4〃-8,Sn=nax+_=-4〃+2〃（〃-1）=2〃?-6n.

故選：AC.

10.（2020.尤溪縣第五中學(xué)高一月考）設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)和，0>0,且Sb^,則（）

A.d<0,B.?8=0,C.Ss>S（>,D.8或戰(zhàn)為S：的最大值

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)題意可得%+。8+49=0=36=0=/=0，

???數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，m>0,

二公差d<0,

所以數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

對(duì)于A、B,。<0,/=0，顯然成立，

對(duì)于C,由％>0,則Ss<S6,故C不正確;

對(duì)于D,由%=0,則§7=$8,又?jǐn)?shù)列為遞減數(shù)列，則S7或S8為S,的最大值,

故D正確；

故選：ABD

11.（2020?壽光市第二中學(xué)高三月考）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若4+%=24,$6=48,則下

列正確的是（）

A.4=-2B.q=2C.d=4D.d=-A

【答案】AC

【解析】

a+a=2^+1（1-24a=-2

因?yàn)椤?5,所以，[

S6=6a,+15^=48d=4

故選：AC.

12.（2020.諸城市教育科學(xué)研究院高二期中）已知Sn是等差數(shù)列｛a,,｝（〃eN*）的前〃項(xiàng)和，且S$>S$>,

以下有四個(gè)命題，其中正確的有（）

A.數(shù)列⑸｝中的最大項(xiàng)為與B.數(shù)列｛4｝的公差△<（）

C.Sl0>0D.Su<0

【答案】BCD

【解析】

S5>S6>S4,故&<o，火〉o且出+%>o，

故數(shù)列⑸｝中的最大項(xiàng)為醺，A錯(cuò)誤；

數(shù)列｛4｝的公差d<0，3正確；

Eo=（4+））xl（）=5（%+4）>O,C正確；

S”=（q+；）xll。正確:

故選：BCD.

三、填空題

13.（2020?湖北省江夏實(shí)驗(yàn)高中高一期中）已知｛4｝是等差數(shù)列，且％=-5,&=%+6,則6=

【答案】-8

【解析】

q+d=-5

依題意<解得q=-8.

4+5d=q+3d+6

故答案為：-8

14.（2020.北京市第四十四中學(xué)高二期中）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，a2+a4=6,則S5

【答案】15

【解析】

,/數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，%+%=6,

.04+%<a+a

：.S、=---1x5--2----4-x5=15.

522

故答案為：15.

15.（2019?全國(guó)高三月考（文））等差數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S“，氏=U，，0=100,則/=.

【答案】7

【解析】

不妨設(shè)數(shù)列｛凡｝的公差為d,故可得4+3。=11,?°色產(chǎn)Li。。,

2

即4+3d=ll,2q+9d=20,解得4=13,J=--.

故可得4o=a\+9〃-7.

故答案為：7.

16.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S“，若4+%+%=24,則Sg=；邑?鼠的最大值為.

810

【答案】7264

【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則4+q+%=3q+12d=24,即4+4d=8,

所以S9=9cz,+36d=9x8=72,

s叫+-o—d][

—=------------=4+----d=8-44+----d

nn22

貝ij鳥(niǎo)■=8-4d+工d=8-4,=8-4d+—d=8+—,

8221022

當(dāng)且僅當(dāng)d=O時(shí)取等號(hào)，所以今?生的最大值為64.

810

故答案為：72；64.

四、解答題

17.（2018?平遙縣綜合職業(yè)技術(shù)學(xué)校高二期中）在等差數(shù)列｛斯｝中，a>>0,3出=7卬，求S”取得最大值時(shí)”

的值.

【答案】9

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，

因?yàn)椤▅>0,3(14=70],

.?.3(q+3d)=7(q+61)

化為4q+33d=0

33d

即q=—,則d<01

d3d

=q+8d———〉0,4()=4+9d—4<0,

所以前9項(xiàng)和最大.

即S”取得最大值時(shí)n的值為9.

18.(2020?畢節(jié)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一期中)已知數(shù)列｛?。且粋€(gè)等差數(shù)列，且“2=1,?=-5,

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)a”；

(2)求｛飆｝前〃項(xiàng)和S?的最大值.

【答案】(1)a,,=-2n+5.(2)4

【解析】

(I)設(shè)｛an｝的公差為d,由已知條件，，解出m=3,d=-2.

所以an=ai+(n—l)d=—2n+5.

(II)S”=nai+d=—M+4n=—(n—2)2+4)所以n=2時(shí),S”取到最大值4.

19.(2020?福建省高三月考(文))又為數(shù)列｛冊(cè)｝的前兀項(xiàng)和.已知冊(cè)>0,+2an=4Sn+3.

(I)求｛(!"｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)％=」一,求數(shù)列｛b/的前n項(xiàng)和.

【答案】(I)2n+l(II)-一一—

64y1+6

【解析】

(/)由〃/+2“〃=4S〃+3,可知a〃+/+2a〃+1=4S〃+i+3

2

兩式相減得an+i-。/+2(〃〃+i-斯)=4a〃+i，

艮口2(a“+i+a〃)-a/(a〃+i+q〃)(cin+1~a〃)，

?4〃>0,??Cln+\~a〃=2,

,?*tzi~+2tzi=4〃i+3,

*.a\=-I(舍)或m=3,

則｛斯｝是首項(xiàng)為3,公差d=2的等差數(shù)列，

,｛?！ǎ耐?xiàng)公式為=3+2（n-1）=2〃+1：

（II）；a"=2〃+l,

r.b?=-^-----------------------),

?I(2n+l)(2n+3)2n+l2n+3

_1([工)_11_

--------------—)

?,?數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和―

2n+l2n+3232H+3-64n+6

20.（2020?進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足5"="2勺一〃(〃一1),且

(1)令d證明:打一。1=〃(〃22)；(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

2〃一1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)Q“=_y-

【解析】

22

(1)證明：VSn=nan-n(n-1),

???定2時(shí),Sn=n2(Sn-Sn-1)-H2(0-1),

…"+1°nc

化為：Sn-3”一1一n，

nn-1

〃+lc

*/b=----S,/.bn-bi=n(n>2).

nnnn

(2)解：bi=2ai=l.

/.bn=n+(n-1)+...+2+1=--------.

2

〃+1Cn(n+\\…n2

/.bn=----S=-------,可得Sn=一.

n22

.\an=Sn-Sn-1=---—