2024年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步階段過關(guān)練含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE8階段過關(guān)練(三)(45分鐘90分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1．梯形A1B1C1D1(如圖)是一水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測)，若A1D1∥y′軸，A1B1∥x′軸，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，則平面圖形ABCD的面積是()A．5B．10C．5eq\r(2)D．10eq\r(2)【解析】選A.如圖，依據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中A1D1∥O′y′，A1D1＝1，原圖中AD∥Oy，從而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2，直觀圖中A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，原圖中AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD＝2，即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為2，3，高為2，如圖．故其面積S＝eq\f(1,2)(2＋3)×2＝5.2．球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2)D．π【解析】選C.設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，球的半徑為R，則3a2＝4R2，所以a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(π,2).3．已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)閙α，nα，m∥n，所以依據(jù)線面平行的判定定理得m∥α.由m∥α不能得出m與α內(nèi)任始終線平行，所以m∥n是m∥α的充分不必要條件．4．如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1A.eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)【解析】選A.三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD【解析】選B.如圖所示，連接AC，BD，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1所以四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)镃E⊥平面ABCD，所以BD⊥AC，因?yàn)锽D⊥CE，且AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE，因?yàn)锽D∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.6．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)【解析】選C.用一個(gè)與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面，如圖，則B1P∥AD1，則∠DB1P是異面直線AD1與DB1所成的角，連接DP，易求得DB1＝DP＝eq\r(5)，B1P＝2，由余弦定理可得cos∠DB1P＝eq\f(DBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋B1P2－DP2,2DB1·PB1)＝eq\f(5＋4－5,4\r(5))＝eq\f(\r(5),5).7．將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60°，那么這個(gè)二面角大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】選A.如圖，連接B′C.則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a，則B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝eq\r(2)a，所以∠B′DC＝90°.8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C則在△ADE翻折過程中，下列結(jié)論中正確的有()①總存在某個(gè)位置，使CE⊥平面A1DE；②總有BM∥平面A1DE；③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CA．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】選A.在①中，總存在某個(gè)位置，使CE⊥平面A1DE，①正確；在②中，如圖，取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF∥A1D，F(xiàn)B∥ED，由MF∥A1D與FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，所以總有BM∥平面A1DE，故②正確；在③中，由已知得DE⊥CE，若DE⊥A1C則DE⊥平面A1CE，則DE⊥A1E，又在△A1DE中DA1⊥A1E，所以DE與A1E不行能垂直，即DE與A1C二、填空題(每小題5分，共20分)9．(2024·長春高一檢測)“中國天眼”是我國具有自主學(xué)問產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡(如圖)，已知“天眼”的形態(tài)為球冠(球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，裁得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高)，設(shè)球冠底的半徑為r，球冠的高為h，則球的半徑R＝________．【解析】球冠底的半徑為r，球冠的高為h，則球的半徑R2＝(R－h(huán))2＋r2，可得R＝eq\f(h2＋r2,2h).答案：eq\f(h2＋r2,2h)10．α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，則你認(rèn)為的正確的命題有________個(gè)，其中一個(gè)是________．【解析】若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，則n與α可能平行也可能相交，也可能nα，即④n⊥α不肯定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，則m與β可能平行也可能相交，也可能mβ，即③m⊥β不肯定成立．若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，則②α⊥β成立．若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，則①m⊥n成立．答案：2若②③④，則①(或若①③④，則②)11．已知Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是α外一點(diǎn)，AC，BC與α所成角分別為30°和45°，則平面ABC與α所成銳角為________．【解析】如圖所示，過點(diǎn)C作垂直于α的直線CO，交α于點(diǎn)O.所以∠CAO＝30°，∠CBO＝45°.設(shè)CO＝a，所以在Rt△ACO中，AC＝2a，在Rt△BCO中，BC＝eq\r(2)a.過C點(diǎn)在平面ABC內(nèi)作CD⊥AB，連接OD，則∠CDO為平面ABC與α所成的銳角，AB＝eq\r(6)a，所以CD＝eq\f(2,\r(3))a，所以在Rt△CDO中，sin∠CDO＝eq\f(a,\f(2a,\r(3)))＝eq\f(\r(3),2)，所以∠CDO＝60°.答案：60°12．(2024·新高考全國Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【解析】由已知連接BD，B1D1，則BD＝B1D1＝2，取BB1和CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn).連接EF，D1E，D1F，則D1E＝D1F＝eq\r(5)，故E，F(xiàn)在球面上．平面BCC1B1截球面的截面圓的圓心是B1C1的中點(diǎn)O，OE＝OF＝eq\r(2)，球面與側(cè)面BCC1B1的交線是側(cè)面上以O(shè)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓弧EF，eq\o(EF,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,4)·2eq\r(2)π＝eq\f(\r(2),2)π.答案：eq\f(\r(2),2)π三、解答題(每小題10分，共30分)13．圓臺的母線長為6cm，它的軸截面的一條對角線與一腰垂直且與下底所成的角為30°，求該圓臺的體積．【解析】如圖，等腰梯形AA1B1B為圓臺的軸截面，AA1＝6cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B為等腰三角形，所以A1B1＝B1B＝6cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝eq\f(AA1·A1B,AB)＝eq\f(6×6\r(3),12)＝3eq\r(3)(cm)，由圓臺的體積公式：V圓臺＝eq\f(1,3)π·OO1·(A1Oeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1O1·AO＋AO2)＝eq\f(1,3)·π·3eq\r(3)·(32＋3×6＋62)＝63eq\r(3)π(cm3).14.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求證：AD1∥平面DOC1.(2)求異面直線AD1和OC1所成角的大?。窘馕觥?1)如圖，連接D1C交DC1于點(diǎn)O1連接OO1，因?yàn)镺，O1分別是AC和D1C的中點(diǎn)，所以O(shè)O1∥AD1又OO1平面DOC1，AD1平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由(1)知，OO1∥AD1，所以∠O1OC1為異面直線AD1和OC1所成角，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1則O1C1＝O1O＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以cos∠O1OC1＝eq\f(（\r(2)）2＋（\r(6)）2－（\r(2)）2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，所以∠O1OC1＝eq\f(π,6).即異面直線AD1和OC1所成角的大小為eq\f(π,6).【加固訓(xùn)練】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，點(diǎn)D，E分別為AA1，B1(1)證明：A1E∥平面DCB1；(2)證明：平面DCB1⊥平面BB1C【證明】(1)連接BC1交B1C則O為矩形BB1C1C的中心，連接DO，OE，則OE∥BB1∥A1D，OE＝eq\f(1,2)BB1＝A1D，可得四邊形DA1EO為平行四邊形，則A1E∥DO，因?yàn)镈O平面DCB1，A1E平面DCB1，所以A1E∥平面DCB1；(2)因?yàn)锳BC－A1B1C1所以平面BB1C1C⊥底面A1B又A1B1＝A1C1，E是B1C所以A1E⊥B1C1，而平面BB1C1C∩底面A1B1C1＝B1C1，A1E平面A所以A1E⊥平面CBB1C1由(1)知A1E∥DO，所以DO⊥平面CBB1C1，而DO平面DCB1，所以DCB1⊥平面BB1C15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得