初中數(shù)學學習（北師大版）

初中數(shù)學學習（北師大板）

初中數(shù)學學習經(jīng)典

一、實數(shù)

1.1有理數(shù)

1.1.1有理數(shù)的定義：整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱。

1.1.2有理數(shù)的分類：

（1）分為整數(shù)和分數(shù)。而整數(shù)分為正整數(shù)、零和負整數(shù)；分數(shù)分為正分數(shù)和負分數(shù)。

（2）分為正有理數(shù)、零和負有理數(shù)。而正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)；負有理數(shù)分為

負整數(shù)和負分數(shù)。

1.1.3數(shù)軸

LL3.1數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

1.132數(shù)軸的三要素：①原點②正方向③單位長度

1.1.3.3每個有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示

1.1.4相反數(shù)

1.141相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)就做互為相反數(shù)（注：0的相反數(shù)為0

1.142相反數(shù)的意義：離原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)

1.1.4.3相反數(shù)的判別

（1）若，則、互為相反數(shù)

（2）若兩個數(shù)的絕對值相等，且符號相反，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)。

1.1.5倒數(shù)

1.151倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積等于1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)。（若ab=l,則a、

b互為倒數(shù)）注：零沒有倒數(shù)。

1.1.6絕對值

1.161絕對值的定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)到原點的距離（a的絕對值記作|a|）

L1.6.2絕對值的性質：|aI20

1.1.7有理數(shù)大小的比較

1.1.7.1正數(shù)大于0,負數(shù)小于0

1.1.7.2正數(shù)大于負數(shù)

1.1.7.3兩個正數(shù)，絕對值大的這個數(shù)就大，絕對值小的這個數(shù)就??；兩個負數(shù)，絕對值

大的這個數(shù)就小，絕對值小的這個數(shù)就大。

L1.7.4作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0,則被減數(shù)大；若等于0,則兩個數(shù)相等；

若小于0,則減數(shù)大。

LL7.5作商法：兩個有理數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1,則被除數(shù)大；若等于

1,則兩個數(shù)相等；若小于1,則除數(shù)大。

1.1.8有理數(shù)的加法

LL8.1運算法則：①符號相同的兩個數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加②絕對值

不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值（互

為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于0）③任何有理數(shù)加0仍等于這個數(shù)。

L1.8.2加法交換律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+b=b+a

1.1.8.3加法結合律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+（b+c）=（a+b）+c

1.1.9有理數(shù)的減法

1.1.9.1運算法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

1.1.9.2有理數(shù)減法一轉化一有理數(shù)加法

1.1.10有理數(shù)的乘法

1.1.10.1運算法則：①兩個數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘（口訣：正

正得正，負負得正，正負的負，負正的負）②任何有理數(shù)乘0仍等于0③多個不等于。的有

理數(shù)相乘時，積的符號由負因式的個數(shù)決定：當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶

數(shù)個時，積為正。

1.1.10.2乘法交換律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

L1.10.3乘法結合律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.10.4乘法分配律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.11有理數(shù)的除法

i.i.n.i運算法則：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)（除數(shù)不能為o,否則無意義）

1.1.11.2有理數(shù)除法一轉化一有理數(shù)乘法

1.1.12有理數(shù)的乘方

1.1.12.1有理數(shù)乘方的意義：求相同因數(shù)積的運算叫做乘方

1.1.12.2有理數(shù)乘方的表示方法：個相同因數(shù)相乘表示為，其中稱為底數(shù)，稱為指

數(shù)，而乘方的結果叫做事，讀作“的次方”或“的次幕"（當=2時，讀作的平方，簡

稱方）

1.1.12.3運算規(guī)律：①正數(shù)的任何次事都為正數(shù)②負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕

是正數(shù)③0的任何次塞都等于0（0次塞除外）④任何數(shù)的零次塞都等于1（0次塞除外）

1.1.13有理數(shù)的混合運算

1.1.13.1運算順序：①先算乘方（即：三級運算），再算乘除（即：二級運算），最后算

加減（即：一級運算）②如果是同級運算，則按從左到右的運算順序計算③如果有括號，先

算小括號，再算中括號，最后算大括號。

1.1.14科學記數(shù)法

1.1.14.1科學記數(shù)法的定義：把一個大于10的有理數(shù)記成的形式（其中1WW10）叫

做科學記數(shù)法。

1.1.15近似數(shù)

1.1.15.1近似數(shù)的定義：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)叫做這個準確數(shù)的近似數(shù)或近

似值。

1.1.15.2求近似值的方法：①四舍五入法②收尾法（進一法）③去尾法。

1.1.15.3有效數(shù)字的定義：一個近似數(shù)精確到哪一位，從左起第一個不是0的數(shù)字起，

到這一位數(shù)字上的所有數(shù)字（包括其中的0）叫做這個近似值的有效數(shù)字。

1.2實數(shù)

1.2.1平方根

121.1平方根的定義:如果一個數(shù)的平方等于，這個數(shù)就叫做的平方根（或二次方根）,

即，我們就說是的平方根。

121.2平方根的表示方法：如果（＞0）,則的平方根記作，””讀作“正負根號”,

其中讀作“二次根號”，2叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)。

L2.1.3平方根的性質：一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)；0的平方

根只有一個，就是0;負數(shù)沒有平方根。

1.2.1.4開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算就叫做開平方（開平方和平方互為逆運

算）。

1.2.2算術平方根

122.1算術平方根的定義：正數(shù)有兩個平方根，其中正數(shù)a的正的平方根叫做的算術

平方根，記作，讀作“根號

1.222算術平方根的性質：①具有雙重非負性，即：NO,②=a（20）③=1

|,當20時，=||=；當W0時，=||=-

1.2.3立方根

1.2.3.1立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，這個數(shù)就叫做的立方根（或叫做的

三次方根）

1.232立方根的表示方法：如果，則x叫做a的立方根，記作，其中叫做被開方數(shù)，

3叫做根指數(shù)。

123.3立方根的性質：①正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)，負數(shù)有一個立方根，仍為負數(shù),

0的立方根仍為0。②

1.2.3.4開立方的定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方（它與立方互為逆運算）

1.2.4無理數(shù)

1.2,4.1無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

1.2.4.2判斷無理數(shù)的注意事項：①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如是有理數(shù)，而不是

無理數(shù)；②無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，如圓周率

1.2.5實數(shù)

1.2.5.1實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱

1.2.5.2實數(shù)的性質：①實數(shù)與數(shù)軸上的點對應②實數(shù)a的相反數(shù)是-a,實數(shù)的倒

數(shù)是（W0）③II20,I1=1-1④有理數(shù)范圍內的運算律、幕的運算法則、乘法

公式，在實數(shù)范圍內同樣適用

1.253兩個實數(shù)的大小比較：①正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負

數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。②在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大③作

商法：兩個實數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1,則被除數(shù)大；若等于1,則兩個數(shù)相

等；若小于1,則除數(shù)大。④作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0,則被減數(shù)大；若等于0,

則兩個數(shù)相等；若小于0,則減數(shù)大。

1.2.6二次根式

1.2.6.1二次根式的定義：式子（＞0）叫做二次根式。

1.262二次根式的運算性質：①（N0,20）②（＞0,＞0）

1.2.6.3最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式:①被開方數(shù)的

因數(shù)是整數(shù)，因式是整式②被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式

1.264分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過程叫做分

母有理化。

1.2,6.5二次根式的混合運算：應按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算;

若有括號，應按小、中、大括號的順序進行運算。

二、代數(shù)式

2.1代數(shù)式

2.1.1代數(shù)式的定義：用運算符號把數(shù)或字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。

2.1.2代數(shù)式的分類：代數(shù)式分為有理式和無理式，有理式又可以分為整式和分式，而

整式又可以分為單項式和多項式。

2.1.3列代數(shù)式的定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)、字母和運算符號的式

子表示出來，就是列代數(shù)式。

2.1.4代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果叫做代數(shù)式的值。

2.2整式

2.2.1整式的概念

2.2.1,1單項式：只含有數(shù)字與字母乘積的代數(shù)式叫單項式（單獨的一個數(shù)或字母也是單

項式）。其中，數(shù)字因式叫做單項式的系數(shù)，單項式中所有的字母的指數(shù)的和叫做這個單項

式的次數(shù)。

2.2.1.2多項式:幾個單項式的和叫做多項式。多項式中的每一個單項式叫做多項式的項,

其中不含字母的項叫做常數(shù)項。

2.2,1.3多項式的次數(shù)：多項式中系數(shù)最高項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。

221.4降（升）嘉排列：把一個多項式按某一字母的指數(shù)從大（?。┑叫。ù螅┑捻樞?/p>

排列起來。

221.5整式的定義：單項式和多項式的統(tǒng)稱。

2.2.L6同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項叫做同類項。

2.2.1.7合并同類項：把多項式中同類項合成一項的過程叫做合并同類項。

221.8合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的

指數(shù)不變。

2.2.2整式的運算

222.1整式的加減法計算法則：先去括號，再合并同類項。

222.2整式的乘除法計算法則：①同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指

數(shù)相加，即（m,n是正整數(shù)）②同底數(shù)塞的除法法則：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相

減即（W0,,是正整數(shù)，>）③幕的乘方法則：塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，

即（m,n是正整數(shù)）④積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得

的幕相乘，即（是正整數(shù)）。

222.3單項式乘以單項式的法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對

于只在一個單項式中只含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。（在計算系數(shù)時，

應先確定符號，再計算絕對值，當系數(shù)為-1時，只須在結果的最前面寫上

222.4單項式乘以多項式的法則：用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。

2.225單項式除以單項式的運算法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相

除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

2.226多項式除以單項式的運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的

每一項分別除以這個單項式，再把所得的商相加。

2.2.2.7多項式乘以多項式的法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一

項，再把所得的積相加。

222.8平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，即（注

意事項：公式中的，所代表的內容具有廣泛性，可以表示數(shù)字，也可以表示單項式或多項

式）

2.229完全平方公式：兩個數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和，加上（或減去）它

們積的2倍，即：（注意事項：公式中的a,b所代表的內容具有廣泛性，可以表示數(shù)字，

也可以表示單項式或多項式）

2.2.2.10立方和與立方差公式：兩數(shù)和（或差）乘以它們的平方和與它們積的差（或和）,

等于這兩個數(shù)的立方和（或立方差），即

2.2.2.11其他乘法公式：

①

②

2.2.3因式分解

2.2.3.1因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分

解。

2.2.3.2因式分解的注意事項：因式分解要分解到不能再分解為止；因式分解與整式乘法

互為逆運算。

2.2.3.3公因式的定義:一個多項式的各項都含有的相同的因式叫做這個多項式各項的公

因式。

22.3.4分解因式的方法：①提取公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公

因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種因式分解叫做提取公因式法。即：

②運用公式法:反用乘法公式，可以把某些多項式分解因式，這種方法叫做運用公式法（常

用的有：和）③分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法④十字相乘法：

將型的二次三項式分解為。

2.3分式

2.3.1分式的概念

2.3.1.1分式的定義：A,B表示兩個整式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其

中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2.3,1.2有理式的定義：整式和分式的統(tǒng)稱。

2.3.1,3繁分式的定義：分式的分子或分母中含有分式，這樣的分式叫做繁分式。

2.3.1.4最簡分式的定義：當一個分式的分子和分母沒有公因式的時候就叫做最簡分式。

231.5約分的定義：根據(jù)分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去的過

程就叫做約分。

2.3.1.6通分的定義:把異分母的分式化成和原來的分式相等的同分母的分式的過程叫做

通分。

2.3.2分式的基本性質

2.3.2.1分式的基本性質：分式的分子分母都同時乘以或同時除以一個不為0的整式，分

式的值不變，即

2.322分式的符號法則：分式的分子、分母和分式本身的符號，改變其中任何兩個，分

式的值都不變，即

2.3.3分式的運算

2.3.2.3分式的加減法計算法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即；異

分母分式相加減，先通分成同分母的分式，再按同分母的分式相加減的法則進行計算，即.

2.324分式的乘除法計算法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為

積的分母，即；分式除以分式，把除式的分子分母顛倒位置后，再按分式的乘法法則進行

計算。

2.325分式的混合運算：①先算乘方（即：三級運算），再算乘除（即：二級運算），最

后算加減（即：一級運算）②如果是同級運算，則按從左到右的運算順序計算③如果有括號,

先算小括號，再算中括號，最后算大括號。

三、方程與方程組

3.1方程與方程組

3.1.1基本概念

3.1.1,1等式的定義：用等號表示相等關系的式子叫做等式。

3.1.1.2等式的性質：①等式兩邊同時加上或同時減去一個數(shù)或一個整式，所得結果仍是

等式②等式兩邊同時乘以或同時除以一個不為0的數(shù)，所得結果仍為等式。

3.1.1.3方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

3.1.1.4方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，只有一個未知數(shù)的方程

的解也叫做方程的根。

3.1.1.5解方程的定義：求得方程的解的過程叫做解方程。

3.1.1.6一元一次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不等于0的方程

叫做一元一次方程，它的標準形式是ax+b=O,其中x是未知數(shù)，它有唯一解，（aWO）

3.1.1.7二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程

叫做二元一次方程。

3.1.1.8一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫

做一元二次方程，一般形式是ax+bx+c=O,其中ax稱為二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)

項。

3.1.1.9一元二次方程的解法：①直接開方法②配方法③求根公式法④因式分解法。

3.1.1.11一元二次方程根的判別式：叫做一元二次方程ax+bx+c=O的判別式。

3.1.1.12一元二次方程根與系數(shù)的關系：設、是方程ax+bx+c=O（aWO）的兩個根，

那么+=,=，根與系數(shù)關系的逆命題也成立。

3.1.1.13一元二次方程根的符號：設一元二次方根ax+bx+c=O（aWO）的兩根為、。

當》。且>0,+>0,兩根同正號；當N0,且>0,+<0,兩根同負號；<0時，

兩根異號+>0時，正根的絕對值較大，+<0時，負根的絕對值較大。

3.1.1.14整式方程：方程兩邊都是關于未知數(shù)的整式，這樣的方程叫做整式方程。

3.1.1.15分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

3.1.1.16增根：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增

根（使方程的分母為。的根），因此解分式方程時要驗根。驗根的方法通常是把求得整式方

程的根代入最簡公分母，使最簡公分母為0的就是增根。

3.1.1.17二元一次方程：含有兩個未知數(shù)并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1,這樣的方程

叫做二元一次方程（注意：對于未知數(shù)來說，構成方程的代數(shù)式必須是整式）。

3.1.1.18二元一次方程的解：滿足二元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的

一個解。

3.1.1.19二元一次方程的解法：給其中一個未知數(shù)一個確定值，解關于另一個未知數(shù)的

方程，得出這個未知數(shù)的值，由此就得到二元一次方程的一個解。

3.1.1.20二元一次方程組：兩個二元一次方程合成一組就叫做二元一次方程組。

3.1.1.21二元一次方程組的解：構成二元一次方程的公共解叫做二元一次方程組的解。

3.1.1.22二元一次方程組的解法：解二元一次方程組的基本思想就是消去一個未知數(shù)轉

化成一元一次方程求解，消元的基本方法就是代入法和加減法。（①代入法：代入法的基本

思想是方程組中的同一個未知數(shù)應該表示相同的值，所以一個方程中的某個未知數(shù)，可以用

另一個方程中表示這個未知數(shù)的代數(shù)式來代替，從而就可以減少一個未知數(shù)，把二元一次方

程組轉化成一元一次方程。②加減法：加減法的基本思想是，根據(jù)等式的基本性質2,使兩

個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，然后根據(jù)等式的基本性質1,將兩個方程相加減,

從而可以消去一個未知數(shù)，轉化為一元一次方程。）

3.1.1.23三元一次方程組：含有三個未知數(shù)，并且每個方程的未知項次數(shù)都是1,這樣

的方程叫做三元一次方程組。

3.1.1.24三元一次方程組的解法：解三元一次方程組的基本思想是消去一個未知數(shù)轉化

成二元一次方程組，再按照二元一次方程組的解法來解。

3.2列方程（方程組）解應用題

3.2.1基本概念

3.2.1.1列方程解應用題的一般步驟：審題、設元、列方程、解方程、檢驗、寫答。

3.2.L2設未知數(shù)的方法：①直接設元；②間接設元；③設輔助未知數(shù)。

322常見的應用題

3.2.2.1行程問題：行程問題可以分為相遇問題、追及問題、環(huán)形問題、水（風）流四類

問題?；娟P系式：路程=速度義時間（）=

3.222工程問題：基本關系式：工作量=工作時間X工作效率。

322.3數(shù)字問題：（了解幾個相關名詞的概念，如連續(xù)自然數(shù)、連續(xù)整數(shù)、連續(xù)奇數(shù)、

連續(xù)偶數(shù)，并懂得多位數(shù)的幾種表示方法）。

322.4增長率問題：基本關系式：①原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實際產(chǎn)量②增長率=增長數(shù)/基礎數(shù)

③實際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）

322.5利潤問題：基本關系式：利潤=售價-進價。

3.226利率問題：（了解幾個相關名詞的概念，如：本金、利息、本息和、期數(shù)、利率）

基本關系式：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期數(shù)。

3.227幾何問題：常用的公式：長方形、正方形、三角形、梯形、園的面積和周長公式。

322.8濃度問題：基本關系式：濃度=溶質質量/溶液質量X100%

322.9其他問題：比例分配問題、雞兔同籠問題、函數(shù)應用題…

四、不等式與不等式組

4.1不等式

4.1.1基本概念

4.1.1.1不等式：用不等號表示不等關系的式子叫做不等式。

4.1.1.2不等號：常用的不等號有：①〈②〉③W④〈⑤》

4.1.1.3不等式的性質：①不等式兩邊同時加上（或減去）一個整式，不等號的方向不變,

即若＞，則＞②不等式的兩邊同時乘以（或同時除以）一個正數(shù)，不等號的方向不變③

不等式的兩邊同時乘以（或同時除以）一個負數(shù)，不等式的符號改變。

4.1.1.4不等式的解：使得不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

4.1.1.5不等式的解集：一個不等式的所有解組成這個不等式的解集。

4.1.1.6解不等式的基本方法：①去分母②去括號③移項④合并同類項⑤化系數(shù)為1

4.2不等式組

4.2.1基本概念

4.2.1.1一元一次不等式組：由幾個一元一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式

組。

4.2.1.2一元一次不等式組的解集:幾個一元一次不等式的解集的公共部分叫做一元一次

不等式組的解集。

4.2.1.3解不等式組：求不等式的解集的過程叫做解不等式。

五、函數(shù)

5.1平面直角坐標系變量與函數(shù)

5.1.1基本概念

5.1.1.1平面直角坐標系：為了用一對實數(shù)表示平面內一點，在平面內畫兩條互相垂直的

數(shù)軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數(shù)軸叫做軸或者橫軸，取向右為正方向；鉛直

的數(shù)軸叫做軸或者縱軸，取向上為正方向，兩個數(shù)軸相交于點O,點。叫做坐標原點。

5.L1.2象限：橫軸和縱軸把平面分為四個象限，其中右上角的為第一象限，左上角的為

第二象限，左下角的為第三象限，右下角的為第四象限

5.1.1.3點的坐標的表示方法：按橫坐標在前，縱坐標在后的順序書寫，中間用逗號隔開。

5.1.1.4常量和變量：在某一變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量，可以取不同值的

量叫做變量

5.1.1.5函數(shù)：在某個變化過程中，有兩個變量和，如果對于x在某一范圍內的每一個

確定的值，有惟一確定的值和它對應，那么就把叫做的函數(shù)，其中，為因變量，為自

變量。

5.1.1.6自變量的取值范圍：如果用解析式表示函數(shù)，那么自變量的取值范圍就是使解析

式有意義的自變量取值的全體。

5.1.1.7函數(shù)值：對于自變量在取值范圍內的一個確定的值，例如=,函數(shù)有惟一確定

的對應值，這個對應值叫做=時的函數(shù)值，簡稱函數(shù)值

5.1.1.8函數(shù)的表示方法:①解析法:把兩個變量的對應關系用數(shù)學式子來表示②列表發(fā):

把兩個變量的對應關系用列表的方法表示③圖像法:把兩個變量的對應關系在平面直角坐標

系內用圖像表示。（通常將以上三種方法結合起來運用）

5.1.1.9由函數(shù)解析式畫圖像的步驟：列表、描點、連線。

5.2正比例函數(shù)

5.2.1基本概念

521.1正比例函數(shù)的定義：形如（W0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。

5.2.1.2正比例函數(shù)的圖像：正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標原點的一條直線。

521.3正比例函數(shù)的性質：①當＞0時，隨的增大而增大②當＜0時，隨的增大

而減小。

5.3一次函數(shù)

5.3.1基本概念

5.3.1.1一次函數(shù)的定義：形如（，是常數(shù)）的函數(shù)叫做一次函數(shù)。

5.3.1.2一次函數(shù)的圖像：一次函數(shù)的圖像是一條與直線（W0）平行的一條直線。

5.3.1.3一次函數(shù)的性質：

①當＞0時，y隨x的增大而增大

當＞0時，圖像經(jīng)過一二三象限

當＜0時，圖像經(jīng)過一三四象限

當=0時，為正比例函數(shù)

②當＜0時，y隨x的增大而減小。

當＞0時，圖像經(jīng)過一二四象限

當＜0時，圖像經(jīng)過二三四象限

當=0時，為正比例函數(shù)

5.4反比例函數(shù)

5.4.1基本概念

5.4.1.1反比例函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。

5.4.1.2反比例函數(shù)的圖像：反比例函數(shù)的圖像是雙曲線。

5.4.1.3反比例函數(shù)的性質：①當＞0時，在一、三象限內，隨x增大而減?、诋敚?

時，在二、四象限內，隨的增大而增大。

5.5二次函數(shù)

5.5.1基本概念

551.1二次函數(shù)的定義：形如（，，為常數(shù)，W0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。

551.2二次函數(shù)的圖像：是對稱軸平行與軸的拋物線。

5.5.1.3二次函數(shù)的性質：①拋物線（70）的頂點坐標是,對稱軸是直線②當＞0

時，在時，函數(shù)有最小值；當＜0時，在時，函數(shù)有最大值③當時，拋物線（W0）

與X軸有兩個交點；當＜0時，拋物線與X軸沒有交點；當=0時，拋物線與X軸有一個

交點。④當＞0時，拋物線開口向上，當a＜0時拋物線開口向下⑤當＞0時，交點在y

軸的正半軸，當c＜0時，交點在y軸的負半軸，當=0時，交點在坐標原點⑦當a、b同號

時，＜0,拋物線的對稱軸在y軸的左側，當、異號時，＞0,拋物線的對稱軸在軸的

右側，當=0時，拋物線的對稱軸就是軸。

551.4二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式；②交點式；③頂點式。

六、相交線與平行線

6.1相交線

6.1.1基本概念

6.1.1.1對等角的定義：兩條直線相交成四個角，其中沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。

6.1.1.2對頂角的性質：對頂角相等。

6.1.1.3對頂角的定義與性質的關系：對頂角的定義揭示了兩個角的關系，而對頂角的性

質揭示了對頂角的數(shù)量關系。只有用定義判定出兩個角是對頂角才能根據(jù)角的性質得出這兩

個角相等。

6.1.1.4鄰補角的定義：兩條直線相交成的四個角中有一個公共頂點，還有一條公共邊的

兩個角叫做鄰補角。

6.1.1.5互余的定義：如果兩個角相加等于90°,那么這兩個角互余。（注意：這兩個角

可以沒有公共邊和公共頂點）

6.1.1.6互補的定義：如果兩個角相加等于180°,那么這兩個角互補。（注意:這兩個

角可以沒有公共邊和公共頂點）

6.1.1.7垂直的定義：兩條直線相交成的四個角中，有一個是直角時，就說這兩條直線互

相垂直，其中一條叫做另外一條的垂線，交點叫做垂足。

6.1.1.8垂直的表示方法：若直線AB垂直直線CD,可以記作.

6.1.1.9垂線段的定義：過直線外一點向已知直線做垂線，這個點到垂足之間的距離叫做

這個點到直線的垂線段。

6.1.1.10垂線的性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點與直

線各點連結的所有線段中，垂線段最短。

6.1.1.11點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的距離叫做點到直線的距

離。

6.1.1.12線段的垂直平分線（中垂線）的定義：過線段的中點并且垂直于線段的直線叫

做線段的垂直平分線或中垂線。

6.1.1.13垂直平分線（中垂線）的性質：線段垂直平分線（中垂線）上的點到這條線段兩

端的距離相等。

6.1.1.14三線八角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成了八個角，通常稱為三線八

角。

6.1.1.15同位角的定義：在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，既在兩條直線的

同側，又在截線同側的一對角稱為同位角。

6.1.1.16內錯角的定義：在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的內

部且在截線的兩側，位置相錯的一對角叫做內錯角。

6.1.1.17同旁內角的定義：在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，在前兩條直線

的內部并且在截線的同側的一對角叫做同旁內角。

6.2平行線

6.2.1基本概念

621.1平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

621.2平行線的表示方法：若直線平行直線，則記作//.

6.2.1.3平行線公理：過直線外一點，有且只有一條直線于這條直線平行。

62.1.4平行線公理的推論：如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平

行，簡說成：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。即若〃，〃，則〃.

621.5平行線的判定方法：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；

③同旁內角互補，兩直線平行。

621.6平行線的性質：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩

直線平行，同旁內角互補。

七、三角形

7.1三角形

7.1.1基本概念

7.1.1.1三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做

三角形。

7.1.1.2三角形的邊的定義：組成三角形的線段叫做三角形的邊。

7.1.1.3三角形周長的定義：三角形三條邊之和叫做三角形的周長。

7.1.1.4三角形頂點的定義：三角形相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點。

7.L1.5三角形內角的定義：三角形相鄰兩邊所組成小于180°的角叫做三角形的內角，

簡稱三角形的角。

7.1.1.6三角形的外角的定義:三角形的一邊與另一邊的延長線所成的角叫做三角形的外

角。

7.1.1.7三角形的表示方法：三角形用來表示。

7.1.17三角形的讀法:“△ABC”讀作“三角形ABC”。

7.1.2三角形的分類

7.121分類1：按照三角形的邊分，可以分為三類：不等邊三角形、等腰三角形、等邊

三角形。

7.1.2.2分類2：按照三角形的角分，可以分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三

角形

7.1.3三角形中的重要線段

7.131三角形的角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的

頂點和交點之間的線段叫做這個三角形的角平分線。

7.1.3.2角平分線的性質：三角形內角平分線上的任意一點到這個角兩邊的距離相等。

7.133角平分線的判定定理：到三角形兩邊距離相等的點，一定在這兩條邊為邊的角的

平分線上。

7.1.3.4三角形的中線：在三角形中，連結一個頂點與它對邊中點的線段叫做這個三角形

的中線。

八、四邊形

九、圓

十、多邊形

十一、尺規(guī)作圖

十二、視圖與投影

十三、圖形與變化

14.1圖形的軸對稱、平移、旋轉

14.2圖形的相似

十四、圖形與坐標

十五、圖形與證明

17.1命題、定理和證明

17.2證明

十六、統(tǒng)計與概率

18.1數(shù)據(jù)的收集與整理

18.2數(shù)據(jù)的描述

18.3數(shù)據(jù)的分析

18.4概率我荒廢了時間，時間也荒廢了我

初中數(shù)學知識總結（北師大版）

一、實數(shù)

1.1有理數(shù)

1.1.1有理數(shù)的定義：整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱。

1.1.2有理數(shù)的分類：

（1）分為整數(shù)和分數(shù)。而整數(shù)分為正整數(shù)、零和負整數(shù)；分數(shù)分為正分數(shù)和負分數(shù)。

（2）分為正有理數(shù)、零和負有理數(shù)。而正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)；負有理數(shù)分為

負整數(shù)和負分數(shù)。

1.1.3數(shù)軸

1.1.3.1數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

LL3.2數(shù)軸的三要素：①原點②正方向③單位長度

1.1.3.3每個有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示

1.1.4相反數(shù)

1.141相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)就做互為相反數(shù)（注：0的相反數(shù)為0

1.1.4.2相反數(shù)的意義：離原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)

1.143相反數(shù)的判別

（1）若，則、互為相反數(shù)

（2）若兩個數(shù)的絕對值相等，且符號相反，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)。

1.1.5倒數(shù)

1.151倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積等于1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)。（若ab=l,則a、

b互為倒數(shù)）注：零沒有倒數(shù)。

L1.6絕對值

LL6.1絕對值的定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)到原點的距離（a的絕對值記作|a|）

1.1.6.2絕對值的性質：|a120

1.1.7有理數(shù)大小的比較

LL7.1正數(shù)大于0,負數(shù)小于0

1.1.7.2正數(shù)大于負數(shù)

L1.7.3兩個正數(shù)，絕對值大的這個數(shù)就大，絕對值小的這個數(shù)就??；兩個負數(shù)，絕對值

大的這個數(shù)就小，絕對值小的這個數(shù)就大。

LL7.4作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0,則被減數(shù)大；若等于0,則兩個數(shù)相等；

若小于0,則減數(shù)大。

1.1.7.5作商法：兩個有理數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1,則被除數(shù)大；若等于

1,則兩個數(shù)相等；若小于1,則除數(shù)大。

1.1.8有理數(shù)的加法

1.181運算法則：①符號相同的兩個數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加②絕對值

不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值（互

為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于0）③任何有理數(shù)加0仍等于這個數(shù)。

1.182加法交換律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+b=b+a

1.1.8.3加法結合律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+（b+c）=（a+b）+c

1.1.9有理數(shù)的減法

1.1.9.1運算法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

1.1.9.2有理數(shù)減法一轉化一有理數(shù)加法

1.1.10有理數(shù)的乘法

1.1.10.1運算法則：①兩個數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘（口訣：正

正得正，負負得正，正負的負，負正的負）②任何有理數(shù)乘0仍等于0③多個不等于0的有

理數(shù)相乘時，積的符號由負因式的個數(shù)決定：當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶

數(shù)個時，積為正。

1.1.10.2乘法交換律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.10.3乘法結合律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.10.4乘法分配律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.11有理數(shù)的除法

1.1.11.1運算法則：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)（除數(shù)不能為0,否則無意義）

1.1.11.2有理數(shù)除法一轉化一有理數(shù)乘法

1.1.12有理數(shù)的乘方

1.1.12.1有理數(shù)乘方的意義：求相同因數(shù)積的運算叫做乘方

1.1.12.2有理數(shù)乘方的表示方法：個相同因數(shù)相乘表示為，其中稱為底數(shù)，稱為指

數(shù)，而乘方的結果叫做幕，讀作“的次方”或“的次幕"（當=2時，讀作的平方，簡

稱方）

1.1.12.3運算規(guī)律：①正數(shù)的任何次幕都為正數(shù)②負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕

是正數(shù)③0的任何次幕都等于0（0次基除外）④任何數(shù)的零次累都等于1（0次脫除外）

1.1.13有理數(shù)的混合運算

1.1.13.1運算順序：①先算乘方（即：三級運算），再算乘除（BP：二級運算），最后算

加減（即：一級運算）②如果是同級運算，則按從左到右的運算順序計算③如果有括號，先

算小括號，再算中括號，最后算大括號。

1.1.14科學記數(shù)法

1.1.14.1科學記數(shù)法的定義：把一個大于10的有理數(shù)記成的形式（其中1WW10）叫

做科學記數(shù)法。

1.1.15近似數(shù)

1.1.15.1近似數(shù)的定義：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)叫做這個準確數(shù)的近似數(shù)或近

似值。

1.1.15.2求近似值的方法：①四舍五入法②收尾法（進一法）③去尾法。

1.1.15.3有效數(shù)字的定義：一個近似數(shù)精確到哪一位，從左起第一個不是0的數(shù)字起，

到這一位數(shù)字上的所有數(shù)字（包括其中的0）叫做這個近似值的有效數(shù)字。

1.2實數(shù)

1.2.1平方根

121.1平方根的定義:如果一個數(shù)的平方等于，這個數(shù)就叫做的平方根（或二次方根）,

即，我們就說是的平方根。

L2.1.2平方根的表示方法：如果（＞0）,則的平方根記作，“”讀作“正負根號”,

其中讀作“二次根號”，2叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)。

1.2.1.3平方根的性質：一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)；0的平方

根只有一個，就是0;負數(shù)沒有平方根。

1.2.1.4開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算就叫做開平方（開平方和平方互為逆運

算）。

1.2.2算術平方根

1.221算術平方根的定義：正數(shù)有兩個平方根，其中正數(shù)a的正的平方根叫做的算術

平方根，記作，讀作“根號二

122.2算術平方根的性質：①具有雙重非負性，即：NO,②=a（20）③=1

|,當》0時，=||=；當W0時，=||=-

1.2.3立方根

1.2.3.1立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，這個數(shù)就叫做的立方根（或叫做的

三次方根）

123.2立方根的表示方法：如果，則x叫做a的立方根，記作，其中叫做被開方數(shù)，

3叫做根指數(shù)。

1.233立方根的性質：①正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)，負數(shù)有一個立方根，仍為負數(shù),

0的立方根仍為0。②

1.2.3.4開立方的定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方（它與立方互為逆運算）

1.2.4無理數(shù)

1.2,4.1無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

124.2判斷無理數(shù)的注意事項：①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如是有理數(shù)，而不是

無理數(shù)；②無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，如圓周率

1.2.5實數(shù)

1.2.5.1實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱

1.2.5.2實數(shù)的性質：①實數(shù)與數(shù)軸上的點對應②實數(shù)a的相反數(shù)是-a,實數(shù)的倒

數(shù)是（W0）③II20,I1=1-1④有理數(shù)范圍內的運算律、幕的運算法則、乘法

公式，在實數(shù)范圍內同樣適用

L2.5.3兩個實數(shù)的大小比較：①正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負

數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。②在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大③作

商法：兩個實數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1,則被除數(shù)大；若等于1,則兩個數(shù)相

等；若小于1,則除數(shù)大。④作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0,則被減數(shù)大；若等于0,

則兩個數(shù)相等；若小于0,則減數(shù)大。

126二次根式

1.2,6.1二次根式的定義：式子（20）叫做二次根式。

1.262二次根式的運算性質：①（20,20）②（>0,>0）

1.2.6.3最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式:①被開方數(shù)的

因數(shù)是整數(shù)，因式是整式②被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式

1.264分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過程叫做分

母有理化。

1.2.6.5二次根式的混合運算：應按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算;

若有括號，應按小、中、大括號的順序進行運算。

初中數(shù)學知識總結（北師大版）

一、實數(shù)

1.1有理數(shù)

1.1.1有理數(shù)的定義：整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱。

1.1.2有理數(shù)的分類：

（1）分為整數(shù)和分數(shù)。而整數(shù)分為正整數(shù)、零和負整數(shù)；分數(shù)分為正分數(shù)和負分數(shù)。

（2）分為正有理數(shù)、零和負有理數(shù)。而正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)；負有理數(shù)分為

負整數(shù)和負分數(shù)。

1.1.3數(shù)軸

1.131數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

1.132數(shù)軸的三要素：①原點②正方向③單位長度

1.1.3.3每個有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示

1.1.4相反數(shù)

L1.4.1相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)就做互為相反數(shù)（注：0的相反數(shù)為0

1.142相反數(shù)的意義：離原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)

1.1.4.3相反數(shù)的判別

（1）若，則、互為相反數(shù)

（2）若兩個數(shù)的絕對值相等，且符號相反，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)。

1.1.5倒數(shù)

LL5.1倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積等于1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)。（若ab=l,則a、

b互為倒數(shù)）注：零沒有倒數(shù)。

1.1.6絕對值

1.1.6.1絕對值的定義：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)到原點的距離（a的絕對值記作Ia|）

1.162絕對值的性質：

1.1.7有理數(shù)大小的比較

1.1.7.1正數(shù)大于0,負數(shù)小于0

1.1.7.2正數(shù)大于負數(shù)

1.1.7.3兩個正數(shù)，絕對值大的這個數(shù)就大，絕對值小的這個數(shù)就??；兩個負數(shù)，絕對值

大的這個數(shù)就小，絕對值小的這個數(shù)就大。

1.1.7.4作差法：兩個有理數(shù)相減。若大于0,則被減數(shù)大；若等于0,則兩個數(shù)相等；

若小于0,則減數(shù)大。

1.1.7.5作商法：兩個有理數(shù)相除（除數(shù)或分母不為0）。若大于1,則被除數(shù)大；若等于

1,則兩個數(shù)相等；若小于1,則除數(shù)大。

1.1.8有理數(shù)的加法

LL8.1運算法則：①符號相同的兩個數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加②絕對值

不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值（互

為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于0）③任何有理數(shù)加0仍等于這個數(shù)。

1.182加法交換律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+b=b+a

1.1.8.3加法結合律在有理數(shù)加法中仍然適用，即：a+（b+c）=（a+b）+c

1.1.9有理數(shù)的減法

1.1,9.1運算法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

1.1.9.2有理數(shù)減法一轉化一有理數(shù)加法

1.1.10有理數(shù)的乘法

1.1.10.1運算法則：①兩個數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘（口訣：正

正得正，負負得正，正負的負，負正的負）②任何有理數(shù)乘0仍等于0③多個不等于0的有

理數(shù)相乘時，積的符號由負因式的個數(shù)決定：當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶

數(shù)個時，積為正。

1.1.10.2乘法交換律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.10.3乘法結合律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.10.4乘法分配律在有理數(shù)乘法中仍然適用，即

1.1.11有理數(shù)的除法

1.1.11.1運算法則：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)（除數(shù)不能為0,否則無意義）

1.1.H.2有理數(shù)除*轉化一有理數(shù)乘法

1.1.12有理數(shù)的乘方

1.1.12.1有理數(shù)乘方的意義：求相同因數(shù)積的運算叫做乘方

1.1.12.2有理數(shù)乘方的表示方法：個相同因數(shù)相乘表示為，其中稱為底數(shù)，稱為指

數(shù)，而乘方的結果叫做幕，讀作“的次方”或“的次幕"（當