重難點專項突破01二次函數(shù)的最值(4種題型)(原卷版+解析)

重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（4種題型）【題型細目表】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑題型二：面積最值問題題型三：最大利潤問題題型四：線段最值問題【考點剖析】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑一、填空題1．（浙江寧波·九年級寧波東海實驗學校校考期中）如圖，拋物線過點A（1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．若點P為線段OC上的動點，連結BP，過點C作CN垂直于直線BP，垂足為N，當點P從點O運動到點C時，點N運動路徑的長為_____2．（浙江杭州·九年級翠苑中學校聯(lián)考期中）若拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，拋物線頂點為點B．①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點；②若點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得的拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點A關于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確的是___．（填序號）二、解答題3．（浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標.4．（浙江杭州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）點M是對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點M的坐標．5．（浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點A、B，與y軸交與點C，拋物線的頂點坐標是（2，9），且經(jīng)過D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐標．若不存在，請說明理由．6．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為(5，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點坐標．(2)點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．7．（浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線M1：y=x2-4與x軸的負半軸相交于點A，將拋物線M1平移得到拋物線M2：y=ax2+bx+c，M1與M2相交于點B，直線AB交M2于點C（8，m），且AB=BC．（1）求點A，B，C的坐標；（2）寫出一種將拋物線M1平移到拋物線M2的方法；（3）在y軸上找點P，使得BP+CP的值最小，求點P的坐標．8．（2022秋·浙江金華·九年級?？茧A段練習）已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點的坐標為，與y軸的交點坐標為．(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個交點B的坐標；(2)根據(jù)圖象回答：當x取何值時，？(3)在拋物線的對稱軸上有一動點P，求的值最小時的點P的坐標．題型二：面積最值問題一、解答題1．（2022·浙江·九年級自主招生）中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫——秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，求這個三角形面積的最大值，并判斷此時三角形的形狀．2．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園，其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．若設的長度為x米，矩形菜園面積為S平方米．(1)寫出S與x的關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)若，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻的長；(3)求矩形菜園面積的最大值．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某?？萍寂d趣小組制作了一個機器人，該機器人能根據(jù)指令要求進行旋轉和行走．機器人從起點出發(fā)，連續(xù)執(zhí)行如下指令：機器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆時針旋轉，直到第一次回到起點后停止．記機器人共行走的路程為，所走路徑形成的封閉圖形的面積為．例如：如圖1，當每次直行路程均為1（即），時，機器人的運動路徑為，機器人共走的路程，由圖1圖2易得所走路徑形成的封閉圖形的面積為．(1)若，請完成下表．(2)如圖3，若，機器人執(zhí)行六次指令后回到起點處停止．①若，，，，則______，______．②若，，，請直接寫出與之間的數(shù)量關系，并求出當最大時的值．4．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，有一個鋁合金窗框，所使用的鋁合金材料長度為．設長為，窗戶的總面積為．(1)求關于的函數(shù)表達式；(2)若的長不能低于，且，求此時窗戶總面積的最大值和最小值．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）有一塊形狀如圖1的四邊形余料，，，，，，要在這塊余料上截取一塊矩形材料，其中一條邊在上．(1)如圖2，若所截矩形材料的另一條邊在上，設，矩形的面積為y，①求y關于x的函數(shù)表達式．②求矩形面積y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．題型三：最大利潤問題一、解答題1．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元，調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具的售價不能高于40元．設每件玩具的銷售單價上漲了x元，（x為整數(shù)）月銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍．(2)每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？(3)如果商店想要每月獲得的利潤不低于2520元，那么每月用于購進這種玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某服裝廠生產(chǎn)A品種服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x件時，批發(fā)單價為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．(1)當時，y與x的函數(shù)關系式為．(2)某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝件，服裝廠的利潤為w元，問：x為何值時，w最大？最大值是多少？3．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某水果店銷售一種新鮮水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，為了擴大銷售減少庫存，水果店決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每箱水果每降價5元，水果店平均每天可多售出20箱．設每箱水果降價x元．(1)當時，求銷售該水果的總利潤；(2)設每天銷售該水果的總利潤為w元．①求w與x之間的函數(shù)解析式：②試判斷w能否達到8200元，如果能達到，求出此時x的值；如果不能達到，求出w的最大值．4．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）在新冠肺炎抗疫期間，小明決定在淘寶上銷售一批口罩．經(jīng)市場調研，某類型口罩進價每袋為20元，當售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋．(1)直接寫出小明銷售該類型口罩銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式_____，每天所得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式_____．(2)若小明想每天獲得該類型口罩的銷售利潤2000元時，則銷售單價應定為多少元？(3)求當銷售單價定為多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？5．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）某超市銷售一種商品，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應值如表所示：銷售單價x（元/千克）55606570銷售量y（千克）70605040(1)求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達式；(2)為保證某天獲得1600元的銷售利潤，則該天的銷售單價應定為多少？(3)當銷售單價定為多少時，才能使當天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？6．（2023·浙江·九年級專題練習）抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(件）與每件售價（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中，且為整數(shù))，部分對應值如下表:每件售價（元）91113每天的銷售量（件）1059585(1)求與的函數(shù)關系式．(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．(3)設該商店銷售這種消毒用品每天獲利(元)，問：當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？7．（2022秋·浙江金華·九年級校考期中）我市某苗木種植基地嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用天時間銷售一種成本為元/株的果苗，售后經(jīng)過統(tǒng)計得到此果苗，單日銷售n（株）與第x天（x為整數(shù)）滿足關系式：，銷售單價m（元/株）與x之間的函數(shù)關系為(1)計算第10天該果苗單價為多少元/株?(2)求該基地銷售這種果苗20天里單日所獲利潤y（元）關于第x（天）的函數(shù)關系式．(3)“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負責人決定將區(qū)30天中，其中獲利最多的那天的利潤全部捐出，進行“精準扶貧”，試問：基地負員人這次為“精準扶貧”捐贈多少錢?題型四：線段最值問題一、解答題1．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，O為坐標原點，連接OA，二次函數(shù)圖像從點O沿OA方向平移，頂點始終在線段OA上（包括端點O和A），平移后的拋物線與直線x＝6交于點P，頂點為M．(1)若OM＝5，求此時二次函數(shù)的解析式，并求不等式的解集．(2)二次函數(shù)圖像平移過程中，設點M的橫坐標為m，直線AP交x軸于點B，線段PB是否存在最小值？若存在，求出此時m的值；若不存在，說明理由．2．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）已知拋物線與x軸交于兩點（A左B右），交y軸負半軸點C，P是第四象限拋物線上一點．(1)若，求a的值；(2)若，過點P作直線垂直于x軸，交于點Q，求線段的最大值，并求此時點P的坐標；(3)直線交y軸于點M，直線交y軸于點N，求的值．3．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，過點、兩點的拋物線的頂點C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點C的坐標；(3)為線段AB上一點，，作軸交拋物線于點M，求PM的最大值？4．（浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖1，拋物線交x軸于點和點B，交y軸于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式．(2)若點M在拋物線上，且，求點M的坐標．(3)如圖2，設點N是線段AC上的一動點，作DN⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值．5．（2022秋·浙江·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A、B，C，已知，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，P為線段上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，是否存在這樣的P點，使線段PD的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．6．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，折疊矩形紙片，具體操作：①點為邊上一點（不與點、重合），把沿所在的直線折疊，點的對稱點為點；②將沿所在直線折疊，折痕所在的直線交于點，點的對稱點為點．(1)求證：．(2)若，，①點E在移動的過程中，求的最大值；②如圖2，若點C恰在直線上，連接，求的面積．重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（4種題型）【題型細目表】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑題型二：面積最值問題題型三：最大利潤問題題型四：線段最值問題【考點剖析】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑一、填空題1．（浙江寧波·九年級寧波東海實驗學校?？计谥校┤鐖D，拋物線過點A（1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．若點P為線段OC上的動點，連結BP，過點C作CN垂直于直線BP，垂足為N，當點P從點O運動到點C時，點N運動路徑的長為_____【答案】【分析】先求出拋物線的解析式，連接BC，可得點N的路徑是以BC的中點M為圓心，BC長的一半為半徑的，，求出的長度即可．【詳解】解：把點A（1，0），B（3，0），代入拋物線，則，解得：，∴；連接BC，可得點N的路徑是以BC的中點M為圓心，BC長的一半為半徑的，連接OM，如圖：∵OB=OC=3，∴OM⊥BC，∴∠OMC=90°，∵BC=，∴OM=，∴點N運動路徑的長為：；故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、弧長公式，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的進行解題．2．（浙江杭州·九年級翠苑中學校聯(lián)考期中）若拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，拋物線頂點為點B．①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點；②若點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得的拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點A關于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確的是___．（填序號）【答案】①③【分析】①聯(lián)立拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2，然后根據(jù)韋達定理可進行判斷；②根據(jù)二次函數(shù)的增減性可直接進行判斷；③根據(jù)圖象平移可直接進行求解；④由題意畫出函數(shù)圖象，進而作點B關于y軸的對稱點，作點C關于x軸的對稱點，連接與x軸、y軸分別交于D、E兩點，最后問題可求解．【詳解】解：聯(lián)立拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2可得：，其中，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根，∴拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，且，開口向下，∴根據(jù)拋物線的性質可知離對稱軸越近，所對應的函數(shù)值越大，∵點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，∴，故②錯誤；由將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得的拋物線解析式為：，故③正確；當m＝1時，拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+2，∴，作點B關于y軸的對稱點，作點C關于x軸的對稱點，連接與x軸、y軸分別交于D、E兩點，如圖所示：∴，∴，根據(jù)兩點之間線段最短，知最短，而BC長度一定，∴此時四邊形BCDE的周長為+BC最小，由兩點距離公式可得：，故④錯誤；綜上所述：正確的有①③；故答案為①③．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質及軸對稱，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質及軸對稱是解題的關鍵．二、解答題3．（浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標.【答案】（1）；（2）當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為；（3）點.【分析】（1）根據(jù)對稱軸方程可得，把B、C坐標代入列方程組求出a、b、c的值即可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得A點坐標，設直線AC與對稱軸的交點為M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，為MB+MC的最小值，根據(jù)A、C坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得點M的坐標.（3）設直線BQ交y軸于點H，過點作于點，利用勾股定理可求出BC的長，根據(jù)∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函數(shù)可得CM=3HM，即可求出CM、HM的長，利用勾股定理可求出CH的長，即可得H點坐標，利用待定系數(shù)法可得直線BH的解析式，聯(lián)立直線BQ與拋物線的解析式求出交點坐標即可得點Q坐標.【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，∴，∵拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點，∴，解得：，∴拋物線解析式為.（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，B（0，0），∴點A坐標為（-3，0），∵C（0，3），∴，解得：，∴直線解析式為，設直線與對稱軸的交點為，∵點A與點B關于對稱軸x=-1對稱，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時的值最小，當時，y=-1+3=2，∴當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為.（3）如圖，設直線交軸于點，過點作于點，∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3，BC==，∴，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=，∴CM=3HM，∴BC=MB+CM=4HM=，解得：，∴CM=，∴CH==，∴OH=OC-CH=3-=，∴，設直線BH的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴的表達式為：，聯(lián)立直線BH與拋物線解析式得，解得：（舍去）或x=，當x=時，y==，∴點Q坐標為（，）.【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵.4．（浙江杭州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）點M是對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點M的坐標．【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）；（2）M（1，-2）【分析】（1）把A的坐標代入函數(shù)的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得頂點坐標；（2）直線BC與拋物線的對稱軸的交點就是使CM+AM取得最小值的M的點，BC的長就是最小值．【詳解】解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴拋物線解析式y(tǒng)=x2-2x-3，∵拋物線y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴頂點D的坐標（1，-4）；（2）對于y=x2-2x-3，當x=0時，y=-3，∴C（0，-3），當y=0時，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B（3，0），由拋物線的性質可知：點A和B是對稱點，∴連接BC交函數(shù)的對稱軸于點M，此時AM+CM=BC為最小值，而AC的長度是常數(shù)，故此時△ACM的周長最小，設直線BC的表達式為y=mx+n，則，解得：，故直線BC的表達式為y=x-3，當x=1時，y=-2，故點M（1，-2）．【點睛】本題考查了利用配方法確定二次函數(shù)的頂點坐標以及對稱點的作法，正確確定直線BC與拋物線的對稱軸的交點就是使CM+AM取得最小值的M的點，是本題解題的關鍵．5．（浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點A、B，與y軸交與點C，拋物線的頂點坐標是（2，9），且經(jīng)過D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐標．若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）15；（3）M（2，6）【分析】（1）根據(jù)頂點坐標可設拋物線的頂點式，再將點D的坐標代入即可得；（2）求出A，B，C點坐標，利用三角形的面積公式即可求解；（3）先求出點D關于對稱軸對稱的點D'的坐標，從而可得BM＋DM＝BM＋D'M，再根據(jù)兩點之間線段最短可得當點B，D'，M在一條直線上時，BM＋D'M最短，然后利用待定系數(shù)法求出直線BD'的函數(shù)解析式，最后將點M的橫坐標代入即可得．【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，9），設拋物線的解析式為y＝a（x?2）2＋9，∵拋物線經(jīng)過點D（3，8），∴（3?2）2?a＋9＝8，解得a＝?1，∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝?（x?2）2＋9；（2）令y＝?（x?2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A（-1，0），B（5，0），令x=0，則y=?（0?2）2＋9=5∴C（0，5）∴S△ABC===15；（3）存在，求解過程如下：∵二次函數(shù)y＝?（x?2）2＋9的對稱軸為直線x＝2，∴A（?1，0），B（5，0），∵點D（3，8）關于對稱軸x＝2對稱的點的坐標為D'（1，8），由對稱性得：DM＝D'M，則BM＋DM＝BM＋D'M，如圖，由兩點之間線段最短可知，當點B，D'，M在一條直線上時，BM＋DM最短，設直線BD'的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把（5，0），（1，8）代入y＝kx＋b，得：，解得，∴y＝?2x＋10，取x＝2，則?2×2＋10＝6，∴M（2，6）．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對稱性、兩點之間線段最短等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質是解題關鍵．6．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為(5，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點坐標．(2)點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．【答案】(1)m=4，頂點坐標為(2，9)(2)P(2，3)【分析】（1）將點(5，0)，代入，得其解析式，從而求出m的值及拋物線的頂點坐標；（2）利用“將軍飲馬”思路，點A關于拋物線對稱軸l對稱的點是點B，進而解決問題．【詳解】（1）將點（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得，0=﹣25+5m+5，m=4，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線的頂點坐標為（2，9）；（2）如下圖，點A與點B是關于直線l成軸對稱，根據(jù)其性質有，PA+PC=PC+PB，當點C、點P、點B共線時，PC+PB=BC為最小值，即為PA+PC的最小值，由拋物線解析式為，可得點C坐標為（0，5），點B坐標為(5，0)，對稱軸l為x=2，設直線BC的解釋為y=kx+b，將點C(0，5)，點B(5，0)，代入y=kx+b得，，解得，∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，聯(lián)立方程，，解得，∴當PA+PC的值最小時，點P的坐標為(2，3)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質和最短路徑問題，解決本題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質．7．（浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線M1：y=x2-4與x軸的負半軸相交于點A，將拋物線M1平移得到拋物線M2：y=ax2+bx+c，M1與M2相交于點B，直線AB交M2于點C（8，m），且AB=BC．（1）求點A，B，C的坐標；（2）寫出一種將拋物線M1平移到拋物線M2的方法；（3）在y軸上找點P，使得BP+CP的值最小，求點P的坐標．【答案】（1）A（-2，0），B（3，5），C（8，10）；（2）由M1平移得到拋物線M2先向右平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度；（3）P（0，）.【分析】（1）y=0，即求A；AB=BC，得B（3，），求出直線AB的解析式與二次函數(shù)求交點，利用根與系數(shù)的關系求m的值，從而確定B與C的坐標；（2）拋物線平移前后a的值不變，由點B（3，5），C（8，10）在拋物線y=x2+bx+c上，確定拋物線解析式，從而得到平移過程；（3）作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'與y軸的交點即為P，求出直線B'C的直線解析式的解析式與y軸交點即為P；【詳解】（1）M1：y=x2-4與x軸的負半軸相交于點A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴B（3，），設AB直線解析式為y=kx+b，∴，∴，∴y=x+，∵y=x2-4與y=x+相交于點A和B，∴x2-x+-4=0，∴x1+x2==1，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵拋物線M1平移得到拋物線M2，∴a=1，∵B（3，5），C（8，10）在拋物線y=x2+bx+c上，∴，∴，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到拋物線M2先向右平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度；（3）作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'與y軸的交點即為P，∴B'（-3，5），設直線B'C的直線解析式為y=mx+n，∴，∴，∴y=x+，∴P（0，）.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，最短路徑問題；掌握二次函數(shù)平移前后a的值不變是解決平移后二次函數(shù)解析的關鍵，通過作對稱點，將線段和的最小進行轉化是解決最短路徑的關鍵．8．（2022秋·浙江金華·九年級?？茧A段練習）已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點的坐標為，與y軸的交點坐標為．(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個交點B的坐標；(2)根據(jù)圖象回答：當x取何值時，？(3)在拋物線的對稱軸上有一動點P，求的值最小時的點P的坐標．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）把，代入，利用待定系數(shù)法求解，，再求解點的坐標即可得到答案；（2）由，可得拋物線的圖像在軸的下方，結合圖象可得的取值范圍，從而可得答案；（3）由，關于拋物線的對稱軸對稱，可得與對稱軸的交點滿足最小，從而可得答案．【詳解】（1）把，代入，，解得：，∴拋物線的解析式為，由，，∴；（2）拋物線與軸交于，，，拋物線的圖象在軸的下方，結合圖象可得：；（3）∵，，∴對稱軸是直線，如圖，當A、B、P三點共線時，的值最小，此時點P是對稱軸與x軸的交點，即．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用軸對稱的性質求解兩條線段和的最小值，利用拋物線的圖象解一元二次不等式，掌握以上知識是解題的關鍵．題型二：面積最值問題一、解答題1．（2022·浙江·九年級自主招生）中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫——秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，求這個三角形面積的最大值，并判斷此時三角形的形狀．【答案】12，等腰三角形【分析】根據(jù)已知條件，再表示成，代入公式，再利用二次函數(shù)的性質求出最值，最后根據(jù)三邊長判斷三角形的形狀．【詳解】解：三角形的邊長滿足，，，，當時，有最大值為12，此時三角形三邊分別為5，5，6，故為等腰三角形．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用新公式將三角形面積表示出來，并利用二次函數(shù)的性質求最值．2．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園，其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．若設的長度為x米，矩形菜園面積為S平方米．(1)寫出S與x的關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)若，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻的長；(3)求矩形菜園面積的最大值．【答案】(1)(2)(3)當時，矩形菜園面積的最大值為平方米，當時，最大值為1250平方米．【分析】（1）根據(jù)題意得出，然后求面積即可；（2）利用（1）中結論，直接代入求解即可；（3）將（1）中結果化為頂點式，然后分兩種情況分析即可．【詳解】（1）解：設．則，∴；（2）由（1）得，則解得，（舍去），∴的長為；（3）①當時，由（1）得，∵，∴時，S的最大值為1250．②當時，則，S隨的增大而增大，當時，的最大值為；綜上所述，當時，矩形菜園面積的最大值為平方米，當時，最大值為1250平方米．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的應用，理解題意，列出函數(shù)關系式進行分類討論是解題關鍵．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某?？萍寂d趣小組制作了一個機器人，該機器人能根據(jù)指令要求進行旋轉和行走．機器人從起點出發(fā)，連續(xù)執(zhí)行如下指令：機器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆時針旋轉，直到第一次回到起點后停止．記機器人共行走的路程為，所走路徑形成的封閉圖形的面積為．例如：如圖1，當每次直行路程均為1（即），時，機器人的運動路徑為，機器人共走的路程，由圖1圖2易得所走路徑形成的封閉圖形的面積為．(1)若，請完成下表．(2)如圖3，若，機器人執(zhí)行六次指令后回到起點處停止．①若，，，，則______，______．②若，，，請直接寫出與之間的數(shù)量關系，并求出當最大時的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，；②；【分析】（1）根據(jù)每次逆時針旋轉，旋轉次，可回到起點，即可進行解答；（2）①構造如圖所示三角形，則為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三邊相等，即可依次推出各邊長度；②構造如圖所示三角形，根據(jù)題意可得，，，進而得出，根據(jù)等邊三角形的面積公式，即可求出S的表達式，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，當時，，當時，，故答案為：12，8，5．（2）①構造如圖所示的三角形，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，則，∵，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：3，．3，5．5②如圖，構造等邊∴，，，∵，∴，∴，如圖：等邊三角形邊長為a，高為h，，∴等邊三角形面積∴∴，∴當最大時，．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角，解題的關鍵是掌握多邊形的外角和為，根據(jù)題意構造等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求解．4．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，有一個鋁合金窗框，所使用的鋁合金材料長度為．設長為，窗戶的總面積為．(1)求關于的函數(shù)表達式；(2)若的長不能低于，且，求此時窗戶總面積的最大值和最小值．【答案】(1)(2)窗戶總面積S的最大值，最小值是【分析】（1）根據(jù)題意和圖形可以求得與的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)題意可以得到關于的不等式，從而求出的范圍，然后根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得．即S與x的函數(shù)表達式是．（2）解：根據(jù)題意，得．解得：．，∵，∴S有最大值，∵，拋物線的對稱軸為直線．∴當時，S有最大值，此時，當時，S有最小值，此時，答：窗戶總面積的最大值，最小值是．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，明確題意，準確列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）有一塊形狀如圖1的四邊形余料，，，，，，要在這塊余料上截取一塊矩形材料，其中一條邊在上．(1)如圖2，若所截矩形材料的另一條邊在上，設，矩形的面積為y，①求y關于x的函數(shù)表達式．②求矩形面積y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由．【答案】(1)①；②當時，y取到最大值(2)能截出面積更大的矩形材料，這些矩形材料的最大面積為【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可求的長，由矩形的面積公式可求解；②由二次函數(shù)的性質可求解；（2）用分別表示，的長，由面積公式和二次函數(shù)的性質可求解．【詳解】（1）解：①如圖2，四邊形是矩形，，，，，，；②點在線段上，，，當時，的最大值為10；（2）能，如圖1，當點在線段上時，過點D作于，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，當時，有最大值為，，能截出比（1）中更大面積的矩形材料，這些矩形材料面積的最大值為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質，等腰直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面積最大值為；②．【分析】（1）根據(jù)題干中對于“型距離”的定義，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過點、、三點，所以只要求出點坐標即可：根據(jù)點在直線上運動，所以可設點，根據(jù)列方程求解出的值，利用待定系數(shù)法列方程組即可求出拋物線的表達式；（3）①根據(jù)的一邊長度固定等于5，所以只要求出頂點到的最大距離即可：由所在的直線過固定點,故直線的圖像是繞點旋轉的直線，當直線時，點到的距離最大，此時就是的最大面積，根據(jù)三角形面積公式求解即可；②根據(jù)，可得函數(shù)的解析式：，可知函數(shù)的圖像是一個開口向下，對稱軸是的拋物線，由此可知函數(shù)在對稱軸上取得最大值，根據(jù)可知當時有最小值，最后根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和是8，從而列出方程即可求出的值．【詳解】（1）解：由題意得：，；（2）點在直線上運動，設點，且由平面上兩點間距離，利用勾股定理得：即，又二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，，設代入解析式得：解方程組得：拋物線的表達式為；（3）①令時，直線恒過定點直線的圖像是繞點旋轉的直線，當直線時，點到的距離最大，面積也最大，過點作交直線于點

由點到直線的距離，垂線段最短知：，面積的最大值為②二次函數(shù)的對稱軸為二次函數(shù)的圖像開口向下，當時，函數(shù)值取得最大值又當時，函數(shù)值取得最小值函數(shù)的最大值與最小值之和為8整理得：解得：實數(shù)的值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了對于題干中“型距離”的理解能力、以及根據(jù)“型距離”以及用待定系數(shù)法求拋物線的表達式、根據(jù)垂線段最短求三角形最大面積、根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質求函數(shù)最值等，對知識的綜合性很強．根據(jù)題意靈活運用所學知識以及扎實的計算基礎是解此題的關鍵．題型三：最大利潤問題一、解答題1．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元，調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具的售價不能高于40元．設每件玩具的銷售單價上漲了x元，（x為整數(shù)）月銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍．(2)每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？(3)如果商店想要每月獲得的利潤不低于2520元，那么每月用于購進這種玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？【答案】(1)，x的取值范圍為（x為整數(shù)）(2)32元(3)每月用于購進這種玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售價定為36或37元時，可使月銷售利潤最大，最大的月利潤是2720元【分析】（1）每件玩具的銷售單價上漲x元時，單件利潤為元，銷量為件，根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量列式即可；（2）令，解一元二次方程，根據(jù)實際情況對求出的解進行取舍即可；（3）結合（2）中結論可知，當銷售單價上漲2、3、4、5、6、7、8、9、10元時，每月獲得的利潤不低于2520元；（4）將化為頂點式，結合x的取值范圍即可求出y的最大值．【詳解】（1）解：依題意得：，每件首飾售價不能高于40元，，（x為整數(shù)）．因此y與x的函數(shù)關系式為，x的取值范圍為，且x為整數(shù)；（2）解：當時，，整理得，解得，，，，當時，．即每件首飾的售價定為32元時月銷售利潤恰好為2520元；（3）解：如圖，由題可知：當每件玩具的銷售單價上漲了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月獲得的利潤不低于2520元，對應的銷售量為210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于購進這種玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．（4）解：，．，，且x取正整數(shù)，當或7時，y取最大值，，每件玩具的售價定為：（元）或（元）．即每件玩具的售價定為36或37元時，可使月銷售利潤最大，最大的月利潤是2720元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)“總利潤單件利潤銷量”列出y與x的函數(shù)關系式．2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某服裝廠生產(chǎn)A品種服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x件時，批發(fā)單價為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．(1)當時，y與x的函數(shù)關系式為．(2)某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝件，服裝廠的利潤為w元，問：x為何值時，w最大？最大值是多少？【答案】(1)(2)18000元(3)x為190或200時，w最大，最大值是3800元【分析】（1）設y與x的函數(shù)關系式為，根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)（1）求出此時的批發(fā)單價，再乘以批發(fā)數(shù)量即可；（3）分類討論①當時和②當時，結合利潤=銷售量×（售價?成本）列出w與x的函數(shù)關系即可得出答案．【詳解】（1）當時，設y與x的函數(shù)關系式為，根據(jù)題意得出：，解得：，∴y與x的函數(shù)關系式為：，故答案為：；（2）當時，，∴（元），答：某零售商一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付18000元；（3）分兩種情況：①當時，，∵批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍，∴當或200時，w有最大值是：；②當時，，當時，w有最大值是：，∴一次性批發(fā)A品牌服裝x（）件時，x為190或200時，w最大，最大值是3800元．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應用．掌握利用待定系數(shù)法求解析式以及理解題意利潤=銷售量×（售價?成本）列出w與x的函數(shù)關系式是解答本題的關鍵．3．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某水果店銷售一種新鮮水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，為了擴大銷售減少庫存，水果店決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每箱水果每降價5元，水果店平均每天可多售出20箱．設每箱水果降價x元．(1)當時，求銷售該水果的總利潤；(2)設每天銷售該水果的總利潤為w元．①求w與x之間的函數(shù)解析式：②試判斷w能否達到8200元，如果能達到，求出此時x的值；如果不能達到，求出w的最大值．【答案】(1)元(2)①

②不能達到，最大值是8100元【分析】（1）利用每箱利潤每箱降低的價格及平均每天的銷售量120+20，即可求出結論；（2）①設每箱應降價x元，則每箱利潤為元，平均每天可售出箱，利用平均每天銷售該種水果獲得的總利潤每箱的利潤×平均每天的銷售量，即可得出關于x的函數(shù)解析式，②利用二次函數(shù)的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知：當每箱水果降價10元時，每箱利潤為(元)，平均每天可售出(箱)總利潤為：(元)．（2）①設每箱應降價x元，則每箱利潤為元，平均每天可售出箱，依題意得：w與x之間的函數(shù)解析式為；②w不能達到8200元；.∵，∴當時，w取到最大值，，∴w不能達到8200元，w的最大值是8100元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用的應用，找準等量關系，正確列出二次函數(shù)關系式是解題的關鍵．4．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）在新冠肺炎抗疫期間，小明決定在淘寶上銷售一批口罩．經(jīng)市場調研，某類型口罩進價每袋為20元，當售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋．(1)直接寫出小明銷售該類型口罩銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式_____，每天所得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式_____．(2)若小明想每天獲得該類型口罩的銷售利潤2000元時，則銷售單價應定為多少元？(3)求當銷售單價定為多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)(2)30元或40元(3)當銷售單價定為35元時，最大利潤是2250元【分析】（1）根據(jù)“某類型口罩進價每袋為20元，當售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋”，即可得出y關于x的函數(shù)關系式，然后再根據(jù)題意得到銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）得到的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式，令求得x即可；（2）利用配方法將w關于x的函數(shù)關系式變形為，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，；則．故答案為：．（2）解：令可得，解得或40．答：銷售單價應定為30元或40元．（3）解：∵∴，∵，∴當時，w有最大值2250，∴當銷售單價定為35元時，最大利潤是2250元．【點睛】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、解一元二次方程、一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應用等知識點，掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．5．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）某超市銷售一種商品，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應值如表所示：銷售單價x（元/千克）55606570銷售量y（千克）70605040(1)求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達式；(2)為保證某天獲得1600元的銷售利潤，則該天的銷售單價應定為多少？(3)當銷售單價定為多少時，才能使當天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)表達式為．(2)該天的銷售單價應定為50元/千克或70元/千克．(3)當銷售單價定為60元/千克時，才能使當天的銷售利潤最大，最大利潤是1800元．【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)表達式為，再在表中任選兩組數(shù)據(jù)代入計算出k和b的值即可．（2）依題意列出關于銷售單價x的方程，然后解一元二次方程組即可．（3）利用每件的利潤乘以銷售量可得總利潤，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質來進行計算即可．【詳解】（1）設y與x之間的函數(shù)表達式為，將表中數(shù)據(jù)（55，70）、（60，60）代入，得：，解得：．∴y與x之間的函數(shù)表達式為．（2）由題意得：，解得．答：該天的銷售單價應定為50元/千克或70元/千克．（3）設當天的銷售利潤為w元，則：，，∵，∴當時，．答：當銷售單價定為60元/千克時，才能使當天的銷售利潤最大，最大利潤是1800元．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程和二次函數(shù)在實際問題中的應用，解題的關鍵是理清題目中的數(shù)量關系．6．（2023·浙江·九年級專題練習）抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(件）與每件售價（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中，且為整數(shù))，部分對應值如下表:每件售價（元）91113每天的銷售量（件）1059585(1)求與的函數(shù)關系式．(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．(3)設該商店銷售這種消毒用品每天獲利(元)，問：當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)13元(3)當每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元【分析】（1）待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意知，利潤，令，則，計算求解滿足要求的值即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質以及的取值范圍進行求解即可．【詳解】（1）解：設與的函數(shù)關系式為，，將，代入得，解得，∴，∴與的函數(shù)關系式為；（2）解：由題意知，利潤，令，則，解得或（不合題意，舍去），∴每件消毒用品的售價為13元；（3）解：由（2）知，∵，∴當時，隨著的增大而增大，∴當時，，此時利潤最大，∴當每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)圖象與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．7．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┪沂心趁缒痉N植基地嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用天時間銷售一種成本為元/株的果苗，售后經(jīng)過統(tǒng)計得到此果苗，單日銷售n（株）與第x天（x為整數(shù)）滿足關系式：，銷售單價m（元/株）與x之間的函數(shù)關系為(1)計算第10天該果苗單價為多少元/株?(2)求該基地銷售這種果苗20天里單日所獲利潤y（元）關于第x（天）的函數(shù)關系式．(3)“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負責人決定將區(qū)30天中，其中獲利最多的那天的利潤全部捐出，進行“精準扶貧”，試問：基地負員人這次為“精準扶貧”捐贈多少錢?【答案】(1)25元(2)(3)元【分析】(1)根據(jù)x的值確定其范圍，后選擇準確的解析式代入計算即可．(2)根據(jù)x的值確定其范圍，后選擇準確的解析式代入計算即可．(3)分兩種情況，分別確定最值，比較最值，確定計算即可．【詳解】（1）∵，∴（元）．（2）∵，∴（元）．∴．（3）當時，∴（元）．∴．∴，∵，∴，即第15天時，利潤最大，最大利潤為元；當時，∴（元）．∴．∴y隨x的增大而減小，∴當時，∴，即第21天時，利潤最大，最大利潤為元；∵，∴，∴基地負員人這次為“精準扶貧”捐贈元．【點睛】本題考查了分段函數(shù)的計算，函數(shù)的應用，二次函數(shù)的最值，反比例函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的最值，反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．題型四：線段最值問題一、解答題1．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，O為坐標原點，連接OA，二次函數(shù)圖像從點O沿OA方向平移，頂點始終在線段OA上（包括端點O和A），平移后的拋物線與直線x＝6交于點P，頂點為M．(1)若OM＝5，求此時二次函數(shù)的解析式，并求不等式的解集．(2)二次函數(shù)圖像平移過程中，設點M的橫坐標為m，直線AP交x軸于點B，線段PB是否存在最小值？若存在，求出此時m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)，或(2)存在，【分析】（1）先由點坐標求出所在直線解析式，求出點坐標，由坐標代求出二次函數(shù)解析，然后聯(lián)立兩函數(shù)方程求解；（2）用含代數(shù)式表示拋物線解析式，將代入可得的長，進而求解．【詳解】（1）解：設直線解析式為，把代入得，解得，，設點，則，，即，拋物線解析式為，令，解得或，的解集為或；（2）存在，理由如下：，二次函數(shù)解析式為，把代入得，，，當時，最小值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質，涉及到待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、根據(jù)圖像解不等式、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)最值等知識，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．2．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）已知拋物線與x軸交于兩點（A左B右），交y軸負半軸點C，P是第四象限拋物線上一點．(1)若，求a的值；(2)若，過點P作直線垂直于x軸，交于點Q，求線段的最大值，并求此時點P的坐標；(3)直線交y軸于點M，直線交y軸于點N，求的值．【答案】(1)(2)4，(3)5【分析】（1）