2.2 基本不等式（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

2.2基本不等式（精講）一.重要不等式對于任意實數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.二．基本不等式1.定義：如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．常用變形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．3.利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各項必須為正.②二定：各項之和或各項之積為定值.③三相等：必須驗證取等號時條件是否具備.三.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.利用基本不等式求條件最值的常用方法1.配湊法求最值：主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.二．利用基本不等式比較實數(shù)大小(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).(2)利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.三．利用基本不等式解決實際問題的步驟1.先理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).2.建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.3.在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.4.正確寫出答案.四．利用基本不等式證明不等式1.無附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察要證不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式，則要結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進行拆項、變形、配湊(加減項或乘除某個實系數(shù))等，使之滿足使用基本不等式的條件．2.有附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察已知條件與要證不等式之間的關(guān)系，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形．另外，解題過程中要時刻注意等號能否取到．考點一直接型【例1-1】（2023春·陜西榆林）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【例1-2】（2023·陜西）已知，則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·湖南邵陽）已知，，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．362．（2023·高一課時練習(xí)）已知，那么c的最大值為（

）A．1 B． C． D．3．（2023福建?。┮阎?，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023安徽）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．考點二替換型【例2-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)）已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．11【例2-2】（2023春·浙江溫州）已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為（

）A．25 B． C．26 D．19【例2-3】（2023·浙江）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2-4】（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【一隅三反】1．（2023西藏）已知，，，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．52．（2023春·福建福州）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．3．（2023春·江蘇南京）已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________.4．（2023·重慶）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.考點三配湊型【例3-1】（2023·廣西）函數(shù)的最大值為________.【例3-2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【一隅三反】1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_________．2．（2023·福建）已知，則函數(shù)的最小值是______．3．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）函數(shù)的值域是__________．考點四消元型【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【一隅三反】1．（2023·北京）設(shè),則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．42．（2023·重慶沙坪壩）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，若，則的最小值為______.考點五基本不等式解決恒成立問題【例5-1】（2023·江蘇）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【例5-2】（2023浙江）若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶沙坪壩）已知正實數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．考點六基本不等式的實際應(yīng)用【例6】（2023春·湖南）某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【一隅三反】1．（2023·湖南）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項補貼成本．(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補貼（萬元）的表達式；(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？2（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）某游泳館擬建一座占地面積為200平方米的矩形泳池，其平面圖形如圖所示，池深1米，四周的池壁造價為400元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價為100元/米，泳池底面造價為60元/平方米（池壁厚忽略不計），設(shè)泳池的長為x米，寫出泳池的總造價，問泳池的長為多少米時，可使總造價最低，并求出泳池的最低造價．考點七利用基本不等式比較大小【例7-1】（2023·甘肅）已知a、b為正實數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【例7-2】（2022秋·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·云南）若，，，則，，2ab，中最大的一個是______．2．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀ǘ噙x）若，且，則（

）A． B．C． D．3．（2023·河北唐山·）（多選）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．考點八基本不等式證明不等式【例8-1】（2023·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（