2.1.5定積分的概念與性質(zhì)

新編經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學（微分學積分學）第五版PAGEPAGE12.1.5定積分的概念與性質(zhì)課題2.1.5定積分的概念與性質(zhì)（2學時）時間年月日教學目的要求理解定積分的定義。理解和掌握定積分的幾何意義。掌握定積分的基本性質(zhì)。重點定積分的定義。難點定積分的幾何意義。教學方法手段對比講解、數(shù)形結(jié)合主要內(nèi)容時間分配一、定積分的定義。（45分鐘）二、定積分的幾何意義。（10分鐘）三、掌握定積分的基本性質(zhì)。（35分鐘）作業(yè)備注新編經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學PAGEPAGE72.1.5定積分的概念與性質(zhì)§2.1.5定積分的概念與性質(zhì)不定積分是微分法逆運算的一個側(cè)面,本章要介紹的定積分則是它的另一個側(cè)面。定積分起源于求圖形的面積和體積等實際問題。17世紀中葉,牛頓和萊布尼茨先后提出了定積分的概念,并發(fā)現(xiàn)了積分與微分之間的內(nèi)在聯(lián)系,給出了計算定積分的一般方法,從而使定積分成為解決有關(guān)實際問題的有力工具,并使各自獨立的微分學與積分學聯(lián)系在一起,構(gòu)成完整的理論體系——微積分學。本章先從幾何問題與力學問題引入定積分的定義,然后討論定積分的性質(zhì)、計算方法。今天我們來學習定積分的概念與性質(zhì)。一、兩個實例1.曲邊梯形的面積在直角坐標系下，由閉區(qū)間上的連續(xù)曲線（，直線（即軸）所圍成的平面圖形叫作曲邊梯形。下面討論曲邊梯形面積的計算問題。按如下步驟計算曲邊梯形的面積。（1）分割：任取分點把區(qū)間分成n個小區(qū)間。小區(qū)間段的長度。過每個分點作軸的垂線，把曲邊梯形AabB分成n個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形的面積記為。（2）近似代替：在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點，以為高，為底作小矩形，用此小矩形的面積來近似代替小曲邊梯形的面積，即。（3）求和：把這n個小矩形的面積加起來，就得到曲邊梯形的面積S的近似值，即記為（4）取極限：若用表示所有小區(qū)間長度的最大者，當時，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即2.變速直線運動的路程設(shè)一物體作直線運動，已知速度是時間的連續(xù)函數(shù)，求在時間間隔上物體所經(jīng)過的路程。（1）分割：任取分點把區(qū)間分成n個小時間段。第個小區(qū)間段的長度。物體在該時間段內(nèi)經(jīng)過的路程記。（2）近似代替：在每個小時間段上任取一時刻，并以時刻的速度代替時間段上的各時刻的速度，得到在時間內(nèi)經(jīng)過的路程的近似值，即（3）求和：把這n個小時間段經(jīng)過的路程相加，就得到變速直線運動路程的近似值，即記為.（4）取極限：若用表示所有小區(qū)間長度的最大者，當時，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即二、定積分定義定義設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的有界函數(shù)，任意取分點將區(qū)間分成n個小區(qū)間，其長度記為，。在每個小區(qū)間上，任取一點，得相應(yīng)的函數(shù)值，作乘積，把所有這些乘積加起來，得和式,記，當時，如果上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分。記作，即。其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，叫做積分變量，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限。符號讀作函數(shù)從到的定積分。關(guān)于定積分的定義，作以下幾點說明：（1）所謂和式極限存在（即函數(shù)可積）是指不論對區(qū)間怎樣的分法和怎樣的取法，極限都存在且相等。（2）如果在上連續(xù)或有有限個第一類間斷點，那么定義中的和式極限一定存在。（3）因為和式極限是由函數(shù)及區(qū)間所確定的，所以定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的符號無關(guān)，即。（4）該定義是在的情況下給出的，但不管還是，總有特別地，當時，規(guī)定三、定積分的幾何意義1.當時，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積。2.當時，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積的負值。3.若函數(shù)在上有正有負時，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的各種圖形面積的代數(shù)和，在軸上方的圖形面積取正值，在軸下方的圖形面積取負值。四、定積分的基本性質(zhì)設(shè)函數(shù)，在所討論的區(qū)間上可積，則定積分有如下性質(zhì)：性質(zhì)1兩個函數(shù)和的定積分等于定積分的和，即性質(zhì)2被積表達時中的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即性質(zhì)3對任意的，有這一性質(zhì)叫做定積分對區(qū)間的可加性，即不論還是均成立。性質(zhì)4如果在上，，那么性質(zhì)5若在上有，則這個性質(zhì)說明，若比較兩定積分的大小，只要比較被積函數(shù)的大小即可。特別地，有性質(zhì)6（估值定理）如果函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，那么性質(zhì)7（定積分中值定理）如果在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么在內(nèi)至少存在一點，使得補充：幾何解釋是；一條連續(xù)曲線在上曲邊梯形面積等于以區(qū)間長度為底，中一點的函數(shù)值為高的矩形面積，如圖所示?！纠?】比較下列各對積分值的大小。(1)與（2）與（3）與解：(1)在區(qū)間上，，所以。（2）在區(qū)間