題型06最值問題之瓜豆原理(原卷版+解析)

06最值問題之瓜豆原理知識解讀瓜豆原理是主從動點聯(lián)動問題，也叫旋轉(zhuǎn)相似，這類問題在解答的時候需要有軌跡思想，就是先要明確主動點的軌跡，然后要搞清楚主動點和從動點的關(guān)系，進而確定從動點的軌跡來解決問題．瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當(dāng)主動點運動時，從動點的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）滿足條件：1.兩動一定；2.動點與定點的連線夾角是定角；3.動點到定點的距離比值是定值．方法：第一步：找主動點的軌跡；第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡；第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值．“瓜豆原理”其實質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．涉及的知識和方法：知識：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點到直線之間的距離垂線段最短；④點到圓上點共線有最值．模型一：運動軌跡為圓弧引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量；主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．模型二：運動軌跡為線段引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）針對訓(xùn)練一、單選題1．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．62．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為(

)A．1 B． C． D．24．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）A． B． C．1 D．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題6．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________．7．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA．若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為________．8．如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_______．9．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是________．10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，點F沿線段AO從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點E運動的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）11．如圖，已知，平面內(nèi)點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為__________．12．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為__________．三、解答題13．如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；①連接BD，求BD的最小值；②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式．14．如圖①，在中，，，D是BC的中點．小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB，將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點是點E，連接BE，得到．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：（1）當(dāng)點E在直線AD上時，如圖②所示．①；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是．（2）請在圖③中畫出，使點E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．（3）當(dāng)點P在線段AD上運動時，求AE的最小值．15．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．

16．如圖所示，在中，，點是上一點，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點運動到點時，求點運動的路徑長．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時，求A，E兩點之間的距離．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A′落在線段BC上時，求A′B的長；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝___________．19．如圖所示，在矩形中，，，為的中點，為上一動點，為的中點，連接，求的最小值．20．如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當(dāng)點從點移動至點時，求點經(jīng)過的路徑長．21．如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點在上時，連接，求的長；（3）點在運動過程中，是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)取得最大值或最小值時，的度數(shù)；若沒有，請說明理由．22．如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式．23．如圖所示，點，的半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，求的最小值．24．如圖所示，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點，當(dāng)點沿半圓從點運動至點時，求點運動的路徑長．25．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點.(1)求OC的長和點的坐標(biāo)；(2)如圖2，是線段上的點，，點是線段上的一個動點，經(jīng)過三點的拋物線交軸的正半軸于點，連結(jié)交于點①將沿所在的直線翻折，若點恰好落在上，求此時的長和點的坐標(biāo)；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動點從點運動到點時，點也隨之運動，請直接寫出點運動路徑的長.26．在等邊三角形中，點D為上一點，連接，將繞D逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到，連接，已知，；(1)如圖1，若，，連接，求的長；(2)如圖2，若，分別取的中點H，的中點F，連接，，求證：；(3)如圖3，若，P為上一點，且滿足，連接，將沿著所在直線翻折得到，連接，當(dāng)最大時，直接寫出的面積．27．在菱形中，，是對角線上的一點，連接．（1）當(dāng)在的中垂線上時，把射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點為的中點，連接，求的最大值．28．在中，D為直線上一動點，連接，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接與相交于點F．(1)如圖1，若D為的中點，，，，連接，求線段的長；(2)如圖2，G是線段延長線上一點，D在線段上，連接，，若，，，，證明；(3)如圖3，若為等邊三角形，，點M為線段上一點，且，點P是直線上的動點，連接，，，請直接寫出當(dāng)最小時的面積．06最值問題之瓜豆原理知識解讀瓜豆原理是主從動點聯(lián)動問題，也叫旋轉(zhuǎn)相似，這類問題在解答的時候需要有軌跡思想，就是先要明確主動點的軌跡，然后要搞清楚主動點和從動點的關(guān)系，進而確定從動點的軌跡來解決問題．瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當(dāng)主動點運動時，從動點的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）滿足條件：1.兩動一定；2.動點與定點的連線夾角是定角；3.動點到定點的距離比值是定值．方法：第一步：找主動點的軌跡；第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡；第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值．“瓜豆原理”其實質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．涉及的知識和方法：知識：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點到直線之間的距離垂線段最短；④點到圓上點共線有最值．模型一：運動軌跡為圓弧引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量；主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．模型二：運動軌跡為線段引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）針對訓(xùn)練一、單選題1．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點D到線段的最大距離，∵是邊長為4的等邊三角形，∴點M到的距離為，∴點D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．2．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點在線段CE上時，的長取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為(

)A．1 B． C． D．2【答案】D【詳解】解：連接AD，因為∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以BD＝DC因為DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因為∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故選D．4．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M點為PQ的中點，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點M到AB的距離為，而CO=1，∴點M的運動路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=AB=1，故選C．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當(dāng)m=2時，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．二、填空題6．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________．【答案】

【詳解】解：如圖，連接EC．∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=EC，∵點D從點A運動到點H，∴點E的運動路徑的長為，當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形，故答案為：．7．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA．若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為________．【答案】．【詳解】解：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC′，點E運動的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案為．8．如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_______．【答案】【詳解】由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，則.故答案為．9．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是________．【答案】3【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，∴BD＝2，∴．由題意可知，D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動，∵E為AD的中點，∴E在以BA中點為圓心，長為半徑的圓上運動，CE的最大值即C到BA中點的距離加上長．∵，，BC＝2，∴C到BA中點的距離即，又∵，∴CE的最大值即．故答案為3．10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，點F沿線段AO從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點E運動的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②③【詳解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故結(jié)論②正確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③正確；④如圖，延長OE至，使＝OD，連接，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴點F在線段AO上從點A至點O運動時，點E從點O沿線段運動到，∵＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝4?tan30°＝，∴點E運動的路程是，故結(jié)論④錯誤．故答案為①②③．11．如圖，已知，平面內(nèi)點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為__________．【答案】【詳解】解：如圖所示，延長PB到D使得PB=DB，∵，∴，又∵∠APB=60°，∴△APD是等邊三角形，∵B為PD的中點，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過點M作MH⊥AC于H，∴，同理可得，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，又∵，∴△AMB∽△AOP，∴，∵點P到點O的距離為2，即OP=2，∴，∴點B在以M為圓心，以為半徑的圓上，連接CM交圓M（半徑為）于，∴當(dāng)M、B、C三點共線時，即點B在點的位置時，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴，∴，，∴，∴，∴，∴BC的最小值為，故答案為：．12．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為__________．【答案】【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長），點是定點，是定長，點在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為：．三、解答題13．如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；①連接BD，求BD的最小值；②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式．【答案】（1）對稱軸為直線x=4；B（10，5）．（2）①．②．【詳解】解：（1）把x=-2代入，得，∴A（﹣2，5），對稱軸為直線x=﹣=4，∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴B（10，5）．（2）①如圖1中，由題意點D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，∴當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OB﹣OD=．②如圖2中，圖2當(dāng)點D在對稱軸上時，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE==3，∴點D的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，，∴x=，∴P（，5），設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b，由題意得，∴，∴直線PD的解析式為．14．如圖①，在中，，，D是BC的中點．小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB，將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點是點E，連接BE，得到．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：（1）當(dāng)點E在直線AD上時，如圖②所示．①；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是．（2）請在圖③中畫出，使點E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．（3）當(dāng)點P在線段AD上運動時，求AE的最小值．【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．【詳解】（1）①如圖②中，∵，，∴，②結(jié)論：．理由：∵，，∴，∴，∴，∵AE垂直平分線段BC，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為50，．（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴，∴，∵，∴．（3）如圖④中，作于H，∵點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，∴當(dāng)點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．15．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．

【答案】（1）見解析；（2）【詳解】解：（1）補全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如圖2，過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴點E的運動軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點E與F重合時，AE的值最小，此時CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，∴CF===，∴CD=CF=.16．如圖所示，在中，，點是上一點，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點運動到點時，求點運動的路徑長．【答案】點運動的路徑長為．【詳解】點為定點，可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°而來，點運動的路徑長等于點運動的路徑長，即為的長，，，．點運動的路徑長為．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時，求A，E兩點之間的距離．【答案】（1）△ABC的面積為12；（2）D點的坐標(biāo)為（-2，0）；（3）A，E兩點之間的距離為【詳解】解：（1）∵，∴，由非負(fù)性可知，，解得：，∴，，，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（3）由（2）可知CB=CA，∵∠CBA=60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，∵△CDE為等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，∴，∴，∵，∴，即：隨著D點的運動，點E在過點A且平行于BC的直線PQ上運動，∵要使得OE最短，∴如圖所示，當(dāng)OE⊥PQ時，滿足OE最短，此時∠OEA=90°，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴當(dāng)OE最短時，A，E兩點之間的距離為．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A′落在線段BC上時，求A′B的長；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝___________．【答案】(1)4；(2)tan∠A′AD＝3或；(3)【詳解】（1）解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，當(dāng)A′落在線段BC上時，由旋轉(zhuǎn)得A′D＝AD＝4，∴A′C，∴A′B＝BC﹣A′C＝4，∴A′B的長為4．（2）（2）如圖2，點B′與點C在直線BD的同側(cè)，作A′E⊥AD于點E，則∠A′EA＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，∴點B、A′、D在同一條直線上，∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，∴BD5，∴sin∠ADB，cos∠ADB，∴A′EA′D4，EDA′D4，∴AE＝AD﹣ED＝4，∴tan∠A′AD3；如圖3，點B′與點C在直線BD的異側(cè)，作A′E⊥AD交AD的延長線于點E，則∠E＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D＝∠BA′B'，∴A′D與A′B重合，∴點B、A′、D在同一條直線上，∵∠EDA′＝∠ADB，∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB，∴A′EA′D，EDA′D，∴AE＝AD+ED＝4，

∴tan∠A′AD，綜上所述，tan∠A′AD＝3或．（3）（3）如圖4，在AD上截取DF，則，作DH⊥AA′于點H，在DH上截取DGDH，連接FG、CG，則，∵A′D＝AD，∴H為AA′的中點，∴DH為△DAA′的中線，∴點G為△DAA′的重心，∵，∠FDG＝∠ADH，∴△DFG∽△DAH，∴∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中點O，連接OC交⊙O于點P，連接OG，則OG＝OP＝ODDF，∴點G在以點O為圓心、半徑為的圓上運動，∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，∴CGCP，∴CG≥CP，∴當(dāng)CG＝CP時，CG的長最小，

∵OC，∴CP＝OC﹣OP，∴CG的最小值是，故答案為：．19．如圖所示，在矩形中，，，為的中點，為上一動點，為的中點，連接，求的最小值．【答案】的最小值為．【詳解】解：如圖：當(dāng)點F與點C重合時，點P在P1處，CP1=DP1，當(dāng)點F與點E重合時，點P在P2處，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE．當(dāng)點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP．由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=CF．∴點P的運動軌跡是線段P1P2，∴當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值為BP1的長．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=∴PB的最小值是．故答案是：．20．如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當(dāng)點從點移動至點時，求點經(jīng)過的路徑長．【答案】點經(jīng)過的路徑長為．【詳解】解：如圖，由此BO交⊙O于F，取的中點H，連接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴點D在⊙H上運動，軌跡是（圖中紅線），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，∴點D的運動軌跡的長為＝2π．21．如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點在上時，連接，求的長；（3）點在運動過程中，是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)取得最大值或最小值時，的度數(shù)；若沒有，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）有．①當(dāng)取得最大值時，；②當(dāng)取得最小值時，．【詳解】（1）在中，，，，，，，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，，，，，在中，，，由勾股定理得；（3）有．由（1）知，，，，是定值，點是在以點為圓心，半徑為的圓上，①如圖所示，當(dāng)點在的延長線上時，取得最大值，．，．當(dāng)取得最大值時，；②如圖所示，當(dāng)點在線段上時，取得最小值，，，當(dāng)取得最小值時，．22．如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式．【答案】直線的函數(shù)解析式為．【詳解】如圖所示．當(dāng)與軸平行時，過點作軸于點，過點作軸于點，交于點，是等腰直角三角形，點的坐標(biāo)是，，，又是等腰直角三角形，，，點的坐標(biāo)為．當(dāng)與原點重合時，在軸上，此時，即，設(shè)所求直線解析式為：，將、代入得解直線的函數(shù)解析式為．23．如圖所示，點，的半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，求的最小值．【答案】的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接交于點，連接，，，由勾股定理得：，，，．當(dāng)最小時，最小當(dāng)運動到時，最?。藭r的最小值為．24．如圖所示，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點，當(dāng)點沿半圓從點運動至點時，求點運動的路徑長．【答案】點運動的路徑長為．【詳解】解：如圖所示，取的中點，的中點，的中點，連接、、、、、，在等腰中，，．．為的中點，．．點在以為直徑的圓上，當(dāng)點與點重合時，點與點重合：當(dāng)點與點重合時，點與點重合，易得四邊形為正方形，，點運動的路徑為以為直徑的半圓．點運動的路徑長為．25．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點.(1)求OC的長和點的坐標(biāo)；(2)如圖2，是線段上的點，，點是線段上的一個動點，經(jīng)過三點的拋物線交軸的正半軸于點，連結(jié)交于點①將沿所在的直線翻折，若點恰好落在上，求此時的長和點的坐標(biāo)；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動點從點運動到