專題07一元二次方程的定義及方程的解之六大考點(原卷版+解析)

專題07一元二次方程的定義及方程的解之六大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的判別】 1【考點二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】 3【考點三一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】 4【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】 5【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考點六一元二次方程的解的估算】 7【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一一元二次方程的判別】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）下列方程中屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國·九年級假期作業(yè)）下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④；⑤中，屬于一元二次方程的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】例題：（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為________．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m等于_______．2.（2022秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．【考點三一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若方程的二次項系數(shù)是4，則方程的一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是_______．【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·海南省直轄縣級單位·九年級校考階段練習(xí)）將方程化為一般形式為__________，其中________，________，________．2.（2022秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）方程的二次項系數(shù)是______，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______．【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則的值為______．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）已知方程的一個根是，則值是________．2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）是一元二次方程的一個根，則m的值是__________．【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】例題：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則______．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．2.（2023·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）若m是方程的一個根，則的值為______．【考點六一元二次方程的解的估算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)表格對應(yīng)值：0120.842.293.76判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）觀察表格，一元二次方程的一個解的取值范圍是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.612．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）探索一元二次方程的一個正數(shù)解的過程如表：x0123451323可以看出方程的一個正數(shù)解應(yīng)界于整數(shù)a和整數(shù)b之間，的值為________．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谀┮辉畏匠痰囊淮雾椣禂?shù)是(

)A．2 B． C． D．－32．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則k的值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）下列方程中一元二次方程的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．0 B．1 C．2 D．34．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則的值為（）A．1 B．3 C．5 D．75．（2022秋·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)下表確定方程的解的取值范圍是（）…456135…513A．或 B．或C．或 D．或二、填空題6．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程，化為一般形式是________．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）已知是方程的一個根，則的值為__________．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)表格對應(yīng)值：判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是_____．9．（2023·廣東廣州·校考二模）若a是方程的解，則式子的值為____________．10．（2023秋·云南保山·九年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值是_____________．三、解答題11．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？12．（2023秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）已知m是方程的解，求式子的值．13．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）填表：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項14．（2023春·八年級課時練習(xí)）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0(1)m為何值時，方程是一元二次方程；(2)m為何值時，方程是一元一次方程．15．（2022秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）我們定義：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．(1)請判斷方程是不是倍根方程，并說明理由；(2)若是倍根方程，則___________．

專題07一元二次方程的定義及方程的解之六大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的判別】 1【考點二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】 3【考點三一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】 4【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】 5【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考點六一元二次方程的解的估算】 7【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一一元二次方程的判別】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）下列方程中屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個選項中的方程，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A．方程是二元二次方程，故不符合題意；B．方程是分式方程，故不符合題意；C．方程是一元二次方程，故符合題意；D．當時，方程是一元一次方程，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國·九年級假期作業(yè)）下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進行判斷即可．【詳解】解：①當時，不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④是分式方程；⑤不是一元二次方程；⑥，化簡得：，不是一元二次方程．∴是一元二次方程的是②③．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時，要注意兩個方面：1、一元二次方程包括三點：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2；2、一元二次方程的一般形式是．2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④；⑤中，屬于一元二次方程的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可得答案．【詳解】解：①不是整式方程，不是一元二次方程；②，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程；③，符合一元二次方程定義，是一元二次方程；④化簡為，x的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程；⑤，當時，不是一元二次方程．故答案為：A【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程．【考點二利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】例題：（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，是一元二次方程必須同時滿足三個條件：①時整式方程，即等號兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m等于_______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的方程叫做一元二次方程．2.（2022秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，且）的方程叫做一元二次方程．【考點三一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若方程的二次項系數(shù)是4，則方程的一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是_______．【答案】0【分析】先將方程化為一般形式，然后得出答案即可．【詳解】解：方程化為一般形式為：，∴方程的二次項系數(shù)是4，方程的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是0．故答案為：；0．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是理解題意，將方程化為二次項系數(shù)是4的一般形式．【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·海南省直轄縣級單位·九年級?？茧A段練習(xí)）將方程化為一般形式為__________，其中________，________，________．【答案】11【分析】根據(jù)等式性質(zhì)將方程化為一般形式，得出a、b、c的值即可．【詳解】解：方程化為一般形式為，∴，，．故答案為：；1；；．【點睛】本題主要考出了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式．2.（2022秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）方程的二次項系數(shù)是______，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______．【答案】3【分析】將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，進而可找出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．【詳解】解：將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式得，∴二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．故答案為：3；；．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，牢記“一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式”是解題的關(guān)鍵．【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則的值為______．【答案】1【分析】根據(jù)關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，將代入方程即可解出答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，當時，，解得．故答案為1．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程解的應(yīng)用，其中理解一元二次方程解的概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）已知方程的一個根是，則值是________．【答案】【分析】把代入方程，求解即可．【詳解】解：把代入方程，得，解得：；故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正確計算是解題關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）是一元二次方程的一個根，則m的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意將代入一元二次方程求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】例題：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則______．【答案】/【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，即可得到的值．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，∴，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了一元二次方程根的定義和代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．【詳解】解：∵是關(guān)x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點睛】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．2.（2023·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）若m是方程的一個根，則的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再把整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【考點六一元二次方程的解的估算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)表格對應(yīng)值：0120.842.293.76判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是_____．【答案】【分析】結(jié)合表格可知：當時，；當時，；所以方程的一個解x的范圍為：．【詳解】解：由表格可知：當時，；當時，；∴方程的一個解x的范圍為：．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解方程根的定義，找出當時，；當時，．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）觀察表格，一元二次方程的一個解的取值范圍是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.61【答案】【分析】觀察表格可得當時，，當時，，可得到一元二次方程的解介于1.6與1.7之間，即可求解．【詳解】解∶根據(jù)題意得∶當時，，當時，，∴一元二次方程的解介于1.6與1.7之間，即．故答案為：【點睛】本題考查估算一元二次方程的近似解問題，解題的關(guān)鍵是從表格中找出兩個x的值使得比較接近0，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）探索一元二次方程的一個正數(shù)解的過程如表：x0123451323可以看出方程的一個正數(shù)解應(yīng)界于整數(shù)a和整數(shù)b之間，的值為________．【答案】3【分析】觀察圖表，確定的值為0時的范圍，然后確定對應(yīng)的的范圍，進而可得結(jié)果．【詳解】解：由圖表可知，，∴對應(yīng)的的范圍為，∴，，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了一元二次方程的解．解題的關(guān)鍵在于理解一元二次方程的解的含義．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谀┮辉畏匠痰囊淮雾椣禂?shù)是(

)A．2 B． C． D．－3【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，即可解答．【詳解】解：一元二次方程的一次項系數(shù)是，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握和運用一元二次方程的一般形式及其概念是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入方程計算即可求出k的值．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）下列方程中一元二次方程的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．【詳解】解：①，是一元二次方程，故符合題意；②，化簡得，是一元二次方程，故符合題意；③不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合題意；④，當時，不是一元二次方程，故不符合題意；⑤是一元二次方程，故符合題意；所以一元二次方程的個數(shù)為3個．故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程．4．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則的值為（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】將方程的解代入原方程，然后利用整體思想分析計算．【詳解】解：將代入方程，可得，解得，∴，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的解，理解方程的解的概念，利用整體思想解題是關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)下表確定方程的解的取值范圍是（）…456135…513A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，利用“夾逼法”得到一元二次方程的解的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)表格，當和時，，當和時，，∴該方程的解的取值范圍為或，故選：A．【點睛】本題考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律，掌握利用“夾逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程，化為一般形式是________．【答案】【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)和一元二次方程的一般式進行求解即可．【詳解】由原式得，．故答案為：．【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎欠匠痰囊粋€根，則的值為__________．【答案】8【分析】將代入方程可得一個關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，將代入方程得：，解得，故答案為：8．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握一元二次方程的根的定義（使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解題關(guān)鍵．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)表格對應(yīng)值：判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是_____．【答案】【分析】結(jié)合表格可知：當時，；當時，；所以方程的一個解x的范圍為：．【詳解】解：由表格可知：當時，；當時，；∴方程的一個解x的范圍為：．故答案為：【點睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解方程根的定義，找出當時，；當時，．9．（2023·廣東廣州·校考二模）若a是方程的解，則式子的值為____________．【答案】2023【分析】把代入已知方程，求得的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：把代入方程，得，即，則．故答案是：2023．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．10．（2023秋·云南保山·九年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值是_____________．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得到，，求解即可得出m的值．【詳解】解：是關(guān)于x的一元二次方程，，或，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是理解一元二次方程的定義：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特別要注意的條件．三、解答題11．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？【答案】2【分析】一元二次方程兩個條件：①二次項系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，由題意可以得到關(guān)于的方程和不等式，求解即可．【詳解】解：由題意可得：且，解得：．即的值是2．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．12．（2023秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）已知m是方程的解，求式子的值．【答案】【分析】根據(jù)