廣東省2023-2024學年高二下學期6月統(tǒng)一調研聯(lián)考數學試題（解析版）

第1頁/共1頁2024年6月廣東省高二年級統(tǒng)一調研測試數學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準考證號?考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數據的第30百分位數為（）A.7 B.7.5 C.8 D.8.5【答案】B【解析】【分析】由百分位數的概念求解即可.【詳解】題設數據共有10個數，因為，故第30百分位數為.故選:B.2.的虛部為（）A.-5 B.5 C.-1 D.1【答案】A【解析】【分析】由復數乘法運算以及復數虛部的概念即可得解.【詳解】依題意，，故所求虛部為-5.故選：A.3.已知橢圓的離心率為，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先分別表示出，結合離心率公式列出方程即可求解.【詳解】，解得.故選：C.4.已知正項等比數列的前項和為，若，則數列的公比為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數列的求和公式，結合正項等比數列求出最后的結果.【詳解】設數列的公比為，顯然，則，解得或（舍去）.故選C.5.函數在上的零點個數為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】由于函數的零點就是對應方程的根，解方程即可求得零點的個數.【詳解】令，解得，由于，則，共5個零點.故選：A.6.已知函數，其中且，則的單調性（）A.與有關，與有關 B.與有關，與無關C.與無關，與有關 D.與無關，與無關【答案】D【解析】【分析】的單調性與無關，思路一：分大于1、小于1討論即可判斷；思路二：直接求導也可判斷.【詳解】易知的單調性與無關，解法一：當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞減，故的單調性與無關，與無關.故選：D.解法二：依題意，，因為且，故，故，則不論取何值，函數單調遞減.故選：D.7.建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產，是中國國家地理標志產品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺，已知該圓臺的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺上?下底面圓周上的各個點均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，首先根據球的表面積公式計算得球的半徑為，通過勾股定理得的值，進而得圓臺的高，結合圓臺的體積公式即可得解.【詳解】設球的半徑為，上?下底面分別為圓（這里上底面是指大的那個底面），依題意，，解得，因為，則，同理可得，，因為圓臺的高超過，則該圓臺的高為，該圓臺的體積為.故選：B.8.過圓外一點做圓的切線，切點為，若，則的最大值為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】先確定動點的軌跡，再結合基本（均值）不等式或直線與圓的位置關系求最大值.【詳解】如圖：依題意，，即.解法一：，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故選：B解法二：設，由題意知直線與圓：有公共點，令，解得，故的最大值為.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知全集，集合，若有4個子集，且，則（）A. B.集合有3個真子集C. D.【答案】ACD【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合，結合已知得出，由此即可逐一判斷各個選項.【詳解】依題意，，而有4個子集，，故，故集合有7個真子集，B錯誤，，，，ACD均正確.故選：ACD.10.已知中，角所對的邊分別為的面積記為，若，則（）A.B.的外接圓周長為C.的最大值為D.若為線段的中點，且，則【答案】AC【解析】【分析】由三角形面積公式和向量數量積定義可判斷A正確，由正弦定理可得B錯誤；利用基本不等式可求得的最大值為，可得C正確；根據C中的結論可知當時面積，可得D錯誤.【詳解】依題意，，故A正確；記外接圓的半徑為，則，則的外接圓周長為，故B錯誤；由余弦定理，，則，故，當且僅當時等號成立，故C正確；由C可知，當時，為等邊三角形，此時，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數的定義域為，若，且，則（）A. B.無最小值C. D.的圖象關于點中心對稱【答案】BCD【解析】【分析】對于A，令即可；對于BC，令得，通過遞推計算即可；對于D，令，得即可判斷函數的圖象關于點中心對稱.詳解】對于A，令，得，解得，故A錯誤；對于B，令，則，且，即可知函數無最小值，故B正確；對于C，由B知，，所以，，則，故C正確；對于D，令，則原式化為，令，所以，即，所以，所以函數的圖象關于點中心對稱，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數基本關系的平方關系構造齊次分式，再分子分母同時除以轉化為正切的運算.【詳解】因為，所以.故答案：.13.學校安排甲?乙等5名學生作為社區(qū)組織的“中老年趣味體育大賽”的項目志愿者，已知該比賽有這3個項目，每名學生只去1個項目做志愿者，且每個項目的志愿者至少有1人，則不同的安排方法有__________種.（用數字作答）【答案】150【解析】【分析】先將5名學生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，然后這3組學生在3個項目全排列，即可得到答案.【詳解】依題意，將5名學生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，然后安排這3組去3個項目做志愿者，所以不同的安排方法有種.故答案為：150.14.已知為坐標原點，點在拋物線上，且.記點的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點，且線段中點的橫坐標為1，則直線的斜率為__________.【答案】##0.5【解析】【分析】設直線，則，結合已知用表示出的坐標，消去參數即可得曲線的方程，由點差法即可得解.【詳解】顯然斜率均存在，設直線，則，聯(lián)立，得，同理，設，則，化簡可得，曲線.設，則，兩式相減可得，，則.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，.（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，只需依次證明，和平面即可得證；（2）建立適當的空間直角坐標系，求出相應的直線的方向向量與平面的法向量，結合向量夾角公式即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以，故四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，而平面，故平面.【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設是平面的法向量，則，故，令，得，則是平面的一個法向量，設與平面所成角為，則，即與平面所成的角的正弦值為.16.已知函數.（1）若，討論的單調性；（2）若曲線在處的切線與直線垂直，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分兩種情況進行討論，求導后根據導數的性質即可判斷單調性；（2）通過題意可知，即可求出的值，通過作差法來進行比較大小，令，求導后通過判斷即可得正.【小問1詳解】依題意，，令，解得.若，則當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增；若，則當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，若在上單調遞減，在上單調遞增；若在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】證明：由（1）可知，，而，解得.令，故，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，即，故.【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．17.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設計出了一種游戲活動，顧客需投擲一枚骰子三次，若三次投擲的數字都是奇數，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有2次終極抽獎機會（2次抽獎結果互不影響）；若三次投擲的數字之和是6，12或18，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有1次終極抽獎機會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費團操券3張，不具有終極抽獎機會.已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應的概率如下表所示.獎品一個健身背包一盒蛋白粉概率（1）已知某顧客有兩次終極抽獎機會，求該顧客獲得一個健身背包和一盒蛋白粉的概率；（2）求一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨立重復性試驗求概率公式得到答案；（2）事件“顧客有兩次終極抽獎機會”，事件“顧客有一次終極抽獎機會”，求出，，利用全概率公式得到答案【小問1詳解】記該顧客獲得一個健身背包和一盒蛋白粉為事件，則.【小問2詳解】記事件“顧客有兩次終極抽獎機會”，事件“顧客有一次終極抽獎機會”，事件“獲得蛋白粉”，故，，，事件包括的事件是：“3次投擲的點數之和為6"“3次投擲的點數之和為12”“3次投擲的點數之和為18”，①若“3次投擲的點數之和為6”，則有“”、“”、“”三種情形，故共有種；②若“3次投擲的點數之和為12”，則有“”、“”、“”、“”、“”、“”六種情形，故共有種；③若“3次投擲的點數之和為18”，則只有“”一種情形，故，故.18.已知雙曲線的離心率為，過點的直線與交于兩點，當的斜率為時，.（1）求方程；（2）若分別在的左?右兩支，點，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）由離心率得出，由求出可得答案；（2）由和已知得，設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理代入，整理得，結合根與系數的關系可得答案【小問1詳解】依題意，直線，，故，聯(lián)立得，設，則，則，解得，故的方程為；【小問2詳解】存在，使得，且，理由如下，因為，故，故，所以，又，故，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，其中，由得，故，因為，所以，代入，所以，整理得，可得，整理得，此時，經檢驗，存在，使得，故.【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的直線與曲線之間的關系，得到關于參數的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.19.定義：任取數列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1，則稱數列具有“性質1”.已知項數為的數列的所有項的和為，且數列具有“性質1”.（1）若，且，寫出所有可能的的值；（2）若，證明：“”是“”的充要條件；（3）若，證明：或.【答案】（1）；；（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由數列的性質得出，進一步結合的定義即可得解；（2）結合新定義，分必要性、充分性兩方面證明即可；（3）由數列的性質，得出4整除，即或，然后回過頭去檢驗是否滿足