2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第一部分高考層級(jí)專題突破層級(jí)二7個(gè)能力專題師生共研專題五概率與統(tǒng)計(jì)第三講課時(shí)跟蹤檢測(cè)十五隨機(jī)變量及其分布列理含解析

PAGE第一部分高考層級(jí)專題突破層級(jí)二7個(gè)實(shí)力專題師生共研專題五概率與統(tǒng)計(jì)第三講隨機(jī)變量及其分布列課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十五)隨機(jī)變量及其分布列A卷1．(2024·廣東省汕頭市聯(lián)考)在某市中學(xué)某學(xué)科競(jìng)賽中，某一個(gè)區(qū)4000名考生的參賽成果統(tǒng)計(jì)如圖所示．(1)求這4000名考生的競(jìng)賽平均成果eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可認(rèn)為考生競(jìng)賽成果Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成果eq\o(x,\s\up6(－))和考生成果的方差s2，那么該區(qū)4000名考生成果超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少？(3)假如用該區(qū)參賽考生成果的狀況來估計(jì)全市參賽考生的成果狀況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成果低于84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)(精確到0.001)．附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)＝14.31；②Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545；③0.841354＝0.501.解：(1)由題意知，中點(diǎn)值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴4000名考生的競(jìng)賽平均成果eq\o(x,\s\up6(－))為70.5分．(2)依題意，Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，∴Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝P(56.19<Z<84.81)＝0.6827，∴P(Z≥84.81)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.∴競(jìng)賽成果超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)為0.15865×4000＝634.6≈635.(3)全市競(jìng)賽考生成果低于84.81分的概率為1－0.15865＝0.84135.而ξ～B(4,0.84135)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－Ceq\o\al(4,4)×0.841354＝1－0.501＝0.499.2．(2024·洛陽模擬)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元．假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；(2)若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；②小王準(zhǔn)備到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，假如僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問為小王作出選擇，并說明理由．解：(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196).(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a，當(dāng)a＝38時(shí)，X＝38×6＝228，當(dāng)a＝39時(shí)．X＝39×6＝234，當(dāng)a＝40時(shí)，X＝40×6＝240，當(dāng)a＝41時(shí)，X＝40×6＋1×7＝247，當(dāng)a＝42時(shí)，X＝40×6＋2×7＝254.所以X的全部可能取值為228,234,240,247,254.故X的分布列為X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E(X)＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241.8.②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7.所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39.7＝238.8(元)．由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元．因?yàn)?38.8<241.8，所以舉薦小王去乙公司應(yīng)聘．B卷1．第四屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)在浙江烏鎮(zhèn)隆重召開，人工智能技術(shù)深受全世界人民的關(guān)注，不同年齡段的人群關(guān)注人工智能技術(shù)應(yīng)用與發(fā)展的側(cè)重點(diǎn)有明顯的不同，某中等發(fā)達(dá)城市的市場(chǎng)詢問與投資民調(diào)機(jī)構(gòu)在該市對(duì)市民關(guān)注人工智能技術(shù)應(yīng)用與發(fā)展的側(cè)重方向進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名市民，將他們的年齡分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這1000名市民年齡的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)調(diào)查發(fā)覺年齡在[20,40)的市民側(cè)重關(guān)注人工智能技術(shù)在學(xué)習(xí)與工作方面的應(yīng)用與發(fā)展，其中關(guān)注智能辦公的共有100人，將樣本的頻率視為總體的頻率，從該市年齡在[20,40)的市民中隨機(jī)抽取300人，請(qǐng)估計(jì)這300人中關(guān)注智能辦公的人數(shù)；(3)用樣本的頻率代替概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取20名市民調(diào)查關(guān)注人工智能技術(shù)在養(yǎng)老服務(wù)方面的應(yīng)用與發(fā)展的狀況，其中有k名市民的年齡在[60,80]的概率為P(X＝k)，其中k＝0,1,2，…，20，當(dāng)P(X＝k)最大時(shí)，求k的值．解：(1)由頻率分布直方圖可知，抽取的1000名市民年齡的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＝54(歲)．設(shè)1000名市民年齡的中位數(shù)為x，則0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－50)＝0.5，解得x＝55，所以這1000名市民年齡的平均數(shù)為54歲，中位數(shù)為55歲．(2)由頻率分布直方圖可知，這1000名市民中年齡在[20,40)的市民共有(0.05＋0.10)×1000＝150(人)，所以關(guān)注智能辦公的頻率為eq\f(100,150)＝eq\f(2,3)，則從該市年齡在[20,40)的市民中隨機(jī)抽取300人，這300人中關(guān)注智能辦公的人數(shù)為300×eq\f(2,3)＝200.故估計(jì)這300人中關(guān)注智能辦公的人數(shù)為200.(3)設(shè)在抽取的20名市民中，年齡在[60,80]的人數(shù)為X，X聽從二項(xiàng)分布，由頻率分布直方圖可知，年齡在[60,80]的頻率為(0.025＋0.010)×10＝0.35，所以X～B(20,0.35)，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)0.35k(1－0.35)20－k，k＝0,1,2，…，20.設(shè)t＝eq\f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq\f(C\o\al(k,20)0.35k0.6520－k,C\o\al(k－1,20)0.35k－10.6521－k)＝eq\f(721－k,13k)，k＝1,2，…，20.若t>1，則k<7.35，P(X＝k－1)<P(x＝k)；若t<1，則k>7.35，P(X＝k－1)>P(x＝k)．所以當(dāng)k＝7時(shí)，P(X＝k)最大，即當(dāng)P(X＝k)最大時(shí)，k的值為7.2．某校倡議為特困學(xué)生捐獻(xiàn)，要求在自動(dòng)購水機(jī)處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)負(fù)責(zé)老師統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天售出礦泉水的箱數(shù)和捐款箱中的收入狀況，列表如下：售出礦泉水量x/箱76656收入y/元165142148125150學(xué)校安排將所得的捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式嘉獎(jiǎng)給得才兼?zhèn)涞奶乩?，?guī)定：綜合考核前20名的特困生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核21～50名的特困生獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的特困生不獲得獎(jiǎng)學(xué)金．(1)若x與y成線性相關(guān)，則某天售出9箱礦泉水時(shí)，預(yù)料捐款箱中的收入為多少元？(2)甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為eq\f(2,5)，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為eq\f(1,3)，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為eq\f(4,15)，已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立．求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)由表得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝49＋36＋36＋25＋36＝182，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4420，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(4420－5×6×146,182－5×62)＝20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝146－20×6＝26，所以線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝20x＋26，當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝20×9＋26＝206，所以y的估計(jì)值為206元．(2)由題意得，X的可能取值為0,300,500,600,800，1000，則P(X＝0)＝eq\f(4,15)×eq\f(4,15)＝eq\f(16,225)；P(X＝300)＝2×eq\f(4,15)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,45)；P(X＝500)＝2×eq\f(2,5)×eq\f(4,15)＝eq\f(16,75)；P(X＝600)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(X＝800)＝2×eq\f(2,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,15)；P(X＝1