小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 容斥原理之重疊問(wèn)題（二）

r-7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）

1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容;

2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.

日1磔上頷）跟廖彘

一'兩量重疊問(wèn)題

在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把

兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，

用式子可表示成：AB^A+B-A3（其中符號(hào)““讀作"并“，相當(dāng)于中文"和''或者"或'’的意思；符號(hào)“”

讀作“交”，相當(dāng)于中文“且''的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.

1.先包含——A+B

重疊部分A8計(jì)算了2次，多加了1次;

2.再排除——A+B-AB

把多加了1次的重疊部分AB減去.

包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A3的并集A8的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：

第一步：分別計(jì)算集合43的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求A+B（意思是把A、3的一切元素都“包含“進(jìn)

來(lái)，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C=A3（意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.

二、三量重疊問(wèn)題

A類、8類與C類元素個(gè)數(shù)的總和=A類元素的個(gè)數(shù)+3類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是3類

的元素個(gè)數(shù)-既是3類又是C類的元素個(gè)數(shù)-既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、3類、C類的元

素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.圖示如下：

圖中小圓表示A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示8的元素的個(gè)數(shù),

大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).

1.先包含：A+B+C

aflBPIc重疊部分AB、BC、CA重疊了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重疊部分ABC重疊了3次，但是在進(jìn)行A+3+C-

AB-BC-AC計(jì)算時(shí)都被減掉了.

再包含：A+B+C—AB—BC-AC+ABC,

在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.

目Mt

模塊一、三量重疊問(wèn)題

【例1】一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào)

紙，其中甲報(bào)30份，乙報(bào)34份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有戶。

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】總共有（30+34+40）+2=52戶居民，訂丙和乙的有52-30=22戶。

【答案】22戶

【例2】某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共

有26人，手中有藍(lán)旗的共有18人.其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人.而手中只有紅、黃

兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么

這個(gè)班共有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，3圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍(lán)旗的.如果用手中有

紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，

手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：04+26+18）—9+4+3）—

6x2=50（人）.

【答案】50人

【鞏固】某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，4

人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好.問(wèn)：既愛打

籃球又愛打排球的有幾人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于全班42人沒有一個(gè)人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人.根據(jù)包含排除法，

42=（26+17+19）-（9+4+既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)）+0,得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)

為：49-42=7（A）.

【答案】7人

［例3］四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng).其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組,

參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)

的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小

組又參加語(yǔ)文小組的有10人.求參加文藝小組的人數(shù).

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A,參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小組的學(xué)生組成集

合G.三者都參加的學(xué)生有z人.有BC|=46,|A|=24,|B|=20,|C|=3.5,|AC|=7|ABC\,

\BC\=21ABC\,|AB|=10.

因?yàn)閨ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\,

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,

即三者的都參加的有3人.那么參加文藝小組的有3x7=21人.

【答案】21人

【鞏固】五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng).其中有25人參加自然興趣小組，35

人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人,

參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，

語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人.求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù).

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A,參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人

組成集合C.

⑶=25,陽(yáng)=35,口=27,忸C|=12,|AB\=8,|AC\=9,|ABC|=4.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\.

所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng).即

這個(gè)班有62人.

【答案】62人

【鞏固】光明小學(xué)組織棋類比賽,分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行,參加圍棋比賽的有42人，

參加中國(guó)象棋比賽的有55人，參加國(guó)際象棋比賽的有33人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽

的有18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有10人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽

的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國(guó)象棋比賽的55人與參加國(guó)際象棋比賽的33人

加起來(lái)，共是42+55+33=130人.把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋和中國(guó)象棋的18人，同時(shí)參加圍棋

和國(guó)際象棋的10人與同時(shí)參加中國(guó)象棋和國(guó)際象棋的9人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的5人

被加了3次，又被減了3次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類比賽的共有：

130—（18+10+9）+5=98（人）.

或者根據(jù)學(xué)過(guò)的公式：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC,參加棋類比賽的總

人數(shù)為：42+55+33—18—10—9+5=98（人）.

【答案】98人

【例4】新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參加跳舞的人數(shù)三倍

于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參

加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒

有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有________人.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)

【解析】設(shè)只參加合唱的有尤人，那么只參加跳舞的人數(shù)為3x,由50人沒有參加演奏、10人同時(shí)參加了跳

舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50-10=40人，即

X+3JC=40,得x=10,所以只參加合唱的有10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時(shí)參加

三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人“，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有3人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)

參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的''有：40-10—10—3=17人.

【答案】17人

【鞏固】六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng).其中，愛好體育的55人，愛

好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育

和文藝的17人.問(wèn)：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】只是A類和8類的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理n中的既是A類又是B類的元數(shù)個(gè)數(shù).依題意，畫圖

如下.設(shè)只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有x人.由容斥原理，列方程得

55+56+51-a7+15)-(4+15)-(x+15)+15=100

即55+56+51—17—4—x—15x2=100

lll-x=100

x=ll只愛好體育的有：55-17-15-4=19(A).

【答案】11人只愛好科學(xué)和文藝，19人只愛好體育。

【例5】在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人帶了漢堡，6個(gè)人

帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有3個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士

蛋糕.2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕.問(wèn)：

（1）三種都帶了的有幾人？

⑵只帶了一種的有幾個(gè)？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星

【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人,B圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人.

⑴根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)=（帶漢堡的人數(shù)+帶雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)）-（帶漢堡、雞

腿的人數(shù)+帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)+帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)）+三種都帶了的人數(shù)，即

10—（6+6+4—（3+2+1T三種者F帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：10—10=0（人）.

（2）求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10-（3+2+1）=4（人）.只帶了一種

的有4人.

【答案】（1）0人，（2）4人

【鞏固】盛夏的一天，有10個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的

各有5人；可樂、雪碧都要的有3人；可樂、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三樣都

要的只有1人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)=（要可樂的人數(shù)+要雪碧的人數(shù)+要橙汁的人

數(shù)）-（要可樂、雪碧的人數(shù)+要可樂、橙汁的人數(shù)+要雪碧、橙汁的人數(shù)）+三種都要的人數(shù)，即至

少要了一種飲料的人數(shù)為：（5+5+5）—G+2+2）+l=9（人）.10-9=1（人），所以其中有1人這三種

飲料都沒有要.

【例6】全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì),

至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀.若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，

那么，⑴數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？

⑵有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】⑴有6個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25-6=19（人），即最多不會(huì)超過(guò)19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而

又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17+13+8）+2=19（人）至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.于

是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班25人中除了19人外，剩

下的6名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的.

⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑

冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)

游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車.所以，全班有19-17=2（人）既會(huì)游泳又會(huì)滑冰.

【答案】（1）0人，（2）2人

【鞏固】五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B、C、D、E五個(gè)小組，若參加A組

的有15人，參加3組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、。組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只

有4人.那么，參加3組的有人.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】參加3,C,。三組的總?cè)藬?shù)是36-15-4=17（人），C,。每組至少5人，當(dāng)C,。每組6人時(shí),

3組為5人，不符合題意，所以參加8組的有17-5-5=7（人）.

【答案】7人

【例7】五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè).其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文

小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)

參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)

的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人

有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4,那么僅參加語(yǔ)文與自然小

組的人數(shù)則大于等于20,而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題意

矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2.僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10,于是僅參加語(yǔ)文與

自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)

文以及僅參加數(shù)學(xué)的.由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人.

【答案】5人

【例8】在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的

人數(shù)多3個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多4人；50個(gè)人沒有摘草莓；11個(gè)人

摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有60人摘了李子.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是100,你能回

答下列問(wèn)題嗎？

①有

人摘了山莓；

②有

人同時(shí)摘了三種水果；

③有

人只摘了山莓；

④有

人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；

⑤有

人只摘了草莓.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【解析】如圖，根據(jù)題意有

A=2C

G-C=3

B—E=4

A+D+C=50

D=ll

C+D+F+G=&）

A+B+E=4O

代入求解：A=26,B=9,C=13,D=ll,E=5,尸=20,G=16

所以①有A+D+E+G=26+l1+5+16=58（人）摘了山莓；

②有16人同時(shí)摘了三種水果；

③有26人只摘了山莓；

④有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；

⑤有9人只摘了草莓.

【答案】①有58（人）摘了山莓；②有16人同時(shí)摘了三種水果；

③有26人只摘了山莓；④有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓;

⑤有9人只摘了草莓.

【例9】某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍

三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之

一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)

槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x,只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y,

只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有“人.那么有以下方程組：

由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人

參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x,只參加

長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y,只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有〃人.那么有以下方程組：

x+y+n=2

＜尤+z+w=3

z+y+"=4

將3條等式相加則有2(x+y+z)+3n=9,由這個(gè)等式可以得到，”必須是奇數(shù)，所以，〃只能是1或

3、5、7.......,如果論3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以〃=1,這樣可以求得x=0,y=l,z=2.由此可得

到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2x1=40人.

將3條等式相加則有2(x+y+z)+3力=9,由這個(gè)等式可以得到，w必須是奇數(shù)，所以，w只能是1或

3、5、7.......,如果這3時(shí)無(wú)、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以力=1,這樣可以求得x=0,y=l,z=2.由此可得

到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2x1=40人.

【答案】40人

模塊二、四個(gè)量的重疊問(wèn)題

【例10］養(yǎng)牛場(chǎng)有2007頭黃牛和水牛，其中母牛1105頭，黃牛1506頭，公水牛200頭，那么母黃牛有

頭。

【考點(diǎn)】四個(gè)量的重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】解：公牛有2007-1105=902頭，公黃牛有902-200=702頭，母黃牛有1506-702=804頭

【答案】8(M頭

【例1。一個(gè)書架上有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、歷史4種書共35本，且每種書的數(shù)量互不相同。其中數(shù)學(xué)書和

英語(yǔ)書共有16本，語(yǔ)文書和英語(yǔ)書共有17本：有一種書恰好有9本，這種書是書。

【考點(diǎn)】四個(gè)量的重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初賽，5題

【解析】如果數(shù)學(xué)書有x本，那么英語(yǔ)書有16-x本，語(yǔ)文書有17-(16-x)=x+l本，歷史書為

35-(x+16-x+x+l)=18-x本，其中有可能出現(xiàn)相等的有x和16-x,x和18-x因?yàn)樗鼈兤媾夹韵嗤?為了

不相等，x邦且若9,有此得到16-x不等于8和7,x+1不等于9和10,18-x不等于10和9,只有

16-x可以等于9,所以英語(yǔ)書有9本.

【答案】英語(yǔ)

7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題(二)

即3住啜盛目附

3.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；

4.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.

旦Me挺S更彘

一'兩量重疊問(wèn)題

在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把

兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，

用式子可表示成：AB=A+B-A3（其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”

讀作“交”，相當(dāng)于中文“且''的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.

1.先包含——A+B

重疊部分A8計(jì)算了2次，多加了1次;

2.再排除——A+B-AB

把多加了1次的重疊部分AB減去.

包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集A8的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：

第一步：分別計(jì)算集合45的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求A+3（意思是把43的一切元素都“包含”進(jìn)

來(lái)，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C=A3（意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.

二'三量重疊問(wèn)題

A類、3類與C類元素個(gè)數(shù)的總和=A類元素的個(gè)數(shù)+3類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是3類

的元素個(gè)數(shù)-既是3類又是C類的元素個(gè)數(shù)-既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、3類、C類的元

素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.圖示如下：

NRIB

圖中小圓表示A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示8的元素的個(gè)數(shù),

大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).

1.先包含：A+B+C

■fvnc重疊部分AB、BC、CA重疊了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重疊部分ABC重疊了3次，但是在進(jìn)行A+3+C-

AB-BC-AC計(jì)算時(shí)都被減掉了.

再包含：A+B+C-AB-BC-AC+ABC.

在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常莉用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.

模塊一、三量重疊問(wèn)題

【例12】一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào)

紙，其中甲報(bào)30份，乙報(bào)34份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有戶。

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】總共有(30+34+40)+2=52戶居民，訂丙和乙的有52-30=22戶。

【答案】22戶

【例13】某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共

有26人，手中有藍(lán)旗的共有18人.其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人.而手中只有紅、黃

兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么

這個(gè)班共有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，3圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍(lán)旗的.如果用手中有

紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，

手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：64+26+18)-(9+4+3)-

6x2=50(人).

【答案】50人

【鞏固】某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，4

人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好.問(wèn)：既愛打

籃球又愛打排球的有幾人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于全班42人沒有一個(gè)人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人.根據(jù)包含排除法，

42=(26+17+19)-(9+4+既愛打籃球又愛打排球的人數(shù))+0,得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)

為：49-42=7(A).

【答案】7人

【例141四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng).其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組,

參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)

的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小

組又參加語(yǔ)文小組的有10人.求參加文藝小組的人數(shù).

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A,參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小組的學(xué)生組成集

合G.三者都參加的學(xué)生有z人.有B。卜46,國(guó)=24,同=20,口=3.5,|AC|=7|ABC\,

\BC\=21ABC\,|AB|=10.

因?yàn)閨ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\,

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,

即三者的都參加的有3人.那么參加文藝小組的有3x7=21人.

【答案】21人

【鞏固】五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng).其中有25人參加自然興趣小組，35

人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，

參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，

語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人.求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù).

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

A自然|5美術(shù)

\a吾

【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A,參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人

組成集合C.

.=25,網(wǎng)=35,州=27,忸C|=12,|AB\=8,|AC|=9,|ABC|=4.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC|+|ABC\.

所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng).即

這個(gè)班有62人.

【答案】62人

【鞏固】光明小學(xué)組織棋類比賽,分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行,參加圍棋比賽的有42人，

參加中國(guó)象棋比賽的有55人，參加國(guó)際象棋比賽的有33人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽

的有18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有10人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽

的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國(guó)象棋比賽的55人與參加國(guó)際象棋比賽的33人

加起來(lái)，共是42+55+33=130人.把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋和中國(guó)象棋的18人，同時(shí)參加圍棋

和國(guó)際象棋的10人與同時(shí)參加中國(guó)象棋和國(guó)際象棋的9人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的5人

被加了3次，又被減了3次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類比賽的共有：

130—(18+10+9)+5=98(人).

或者根據(jù)學(xué)過(guò)的公式：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC,參加棋類比賽的總

人數(shù)為：42+55+33-18-10-9+5=98(A).

【答案】98人

【例151新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參加跳舞的人數(shù)三倍

于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參

加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒

有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有人.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)

【解析】設(shè)只參加合唱的有無(wú)人，那么只參加跳舞的人數(shù)為3x,由50人沒有參加演奏、10人同時(shí)參加了跳

舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50-10=40人，即

x+3x=40,得x=10,所以只參加合唱的有10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時(shí)參加

三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人“，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有3人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)

參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的''有：40-10—10—3=17人.

【答案】17人

【鞏固】六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng).其中，愛好體育的55人，愛

好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育

和文藝的17人.問(wèn)：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】只是A類和8類的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理n中的既是A類又是8類的元數(shù)個(gè)數(shù).依題意，畫圖

如下.設(shè)只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有x人.由容斥原理，列方程得

55+56+51—(17+15)—(4+15)—(x+15)+15=100

即55+56+51-17-4-x-15x2=100

lll-x=100

x=U只愛好體育的有：55-17-15-4=19(A).

【答案】11人只愛好科學(xué)和文藝，19人只愛好體育。

【例16】在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人帶了漢堡，6個(gè)人

帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有3個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士

蛋糕.2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕.問(wèn)：

（1）三種都帶了的有幾人？

⑵只帶了一種的有幾個(gè)？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人,3圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人.

（1）根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)=（帶漢堡的人數(shù)+帶雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)）-（帶漢堡、雞

腿的人數(shù)+帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)+帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)）+三種都帶了的人數(shù)，即

10—（6+6+4—（3+2+1T三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：10—10=0（人）.

（2）求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10-（3+2+1）=4（人）.只帶了一種

的有4人.

【答案】（1）0人，（2）4人

【鞏固】盛夏的一天，有10個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的

各有5人；可樂、雪碧都要的有3人；可樂、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三樣都

要的只有1人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)=（要可樂的人數(shù)+要雪碧的人數(shù)+要橙汁的人

數(shù)）-（要可樂、雪碧的人數(shù)+要可樂、橙汁的人數(shù)+要雪碧、橙汁的人數(shù)）+三種都要的人數(shù)，即至

少要了一種飲料的人數(shù)為：6+5+5）—（3+2+2）+1=9（人）.10-9=1（人），所以其中有1人這三種

飲料都沒有要.

【例17】全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì),

至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀.若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，

那么，⑴數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？

⑵有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】⑴有6個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25-6=19（人），即最多不會(huì)超過(guò)19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而

又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17+13+8）+2=19（人）至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.于

是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班25人中除了19人外，剩

下的6名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的.

⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑

冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)

游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車.所以，全班有19-17=2（人）既會(huì)游泳又會(huì)滑冰.

【答案】（1）0人，（2）2人

【鞏固】五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B、C、D、E五個(gè)小組，若參加A組

的有15人，參加3組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、。組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只

有4人.那么，參加3組的有人.

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】參加8,C,。三組的總?cè)藬?shù)是36-15-4=17（人），C,。每組至少5人，當(dāng)C,。每組6人時(shí)，

3組為5人，不符合題意，所以參加3組的有17—5-5=7（人）.

【答案】7人

【例18】五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè).其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文

小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)

參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)

的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人

有多少人？

【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4,那么僅參加語(yǔ)文與自然小

組的人數(shù)則大于等于20,而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題意

矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2.僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10,于是僅參加語(yǔ)文與

自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)

文以及僅參加數(shù)學(xué)的.由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人.

【答案】5人

【例19】在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的

人數(shù)多3個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多4人；50個(gè)人沒有摘草莓；11個(gè)人

摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有60人摘了李子.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是100,你能回

答

T5

①有

人摘了山莓；

②有

人同時(shí)摘了三種水果；

③有