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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省鄭州市九師聯(lián)盟高三(上)開學數(shù)學試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z(1?i)=i,則z?的虛部為(
)A.12 B.12i C.?2.已知集合A={x|x3?x?7≤0},B={y∈N|y=?x2A.{0} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,1}3.(x?1x)A.?84 B.?28 C.28 D.844.已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0),若圓E:A.233 B.2 C.25.已知a=(2,3),b=(?4,λ),若p:a與b的夾角是鈍角,q:λ<83,則p是qA.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在銳角△ABC中,記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=π3,a=2,且sinA?sin(B?C)=sin2B,則△ABCA.33 B.23 C.7.已知圓錐的高與底面半徑之和為3,則當該圓錐的體積取得最大值時,圓錐的側面積為(
)A.25π B.(25+4)π8.已知函數(shù)f(x)=ex?1,x≥0,2x,x<0,,g(x)=kx?1,若關于x的方程f(x)=g(x)有2A.(e} B.[e,+∞) C.(?18,0)∪{e}二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.已知實數(shù)a,b,c滿足a<b<c,ac<0,則(
)A.ab2<b2c B.110.已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π3),A.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱中心
B.f(x)與g(x)的圖象關于x軸對稱
C.f(x)與g(x)的圖象關于y軸對稱
D.f(x)≥g(x)的解集為[11.如圖,在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為棱AA1的中點,Q為線段A.若A1QQC=2,則D1Q⊥AQ
B.若PE=573,則動點E的軌跡長度為23π9
C.若直線PE與平面BCC1B1三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知樣本數(shù)據(jù):11,12,14,a,18(a∈N)的標準差為23,則a=______.13.A,B,C,D共4位同學報名參加學校組織的暑期社會實踐活動,這次社會實踐活動共有:交通安全宣傳,防火知識宣傳,防溺水安全教育,養(yǎng)老院志愿者服務,國情宣傳教育5個項目,每人報且僅報其中一個項目.記事件M為“四名同學所報項目互不相同”,事件N為“僅有A報了防火知識宣傳”,則P(M|N)=______.14.如圖,已知拋物線E:x2=4y點P是E的準線l上一動點,過點P作E的兩條切線,切點分別為M,N,點D為線段MN的中點,連接PD與E交于點G,在點G作E的切線與PM,PN分別交于點S,T,△PST,△PMN的面積分別記為S△PST,S△PMN,則S四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準備了4道面試題,面試者按順序提問,若每位被面試者答對兩道題則通過面試,面試結束;若每位被面試者前三道題均答錯,則不通過面試,面試結束.已知李明答對每道題的概率均為35,且每道題是否答對相互獨立.
(1)求李明沒通過面試的概率;
(2)記李明所答題目的數(shù)量為X,求X的分布列和數(shù)學期望.16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?1x(a∈R)在x=1處取得極值.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若f(x)≤?x2+bx恒成立,求整數(shù)17.(本小題15分)
如圖,四棱錐P?ABCD中,底面四邊形ABCD為凸四邊形,且PD=AD=CD=4,PA=PC=AC=42,AB=BC.
(1)證明:AC⊥PB;
(2)已知平面APC與平面BPC夾角的余弦值為75718.(本小題17分)
已知橢圓C:x24+y23=1,點A(m,0)(m>0)與C上的點之間的距離的最大值為6.
(1)求點A到C上的點的距離的最小值;
(2)過點A且斜率不為0的直線l交C于M,N兩點(點M在點N的右側),點N關于x軸的對稱點為T.
①證明:直線MT過定點;19.(本小題17分)
若數(shù)列{an}的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數(shù)f(x)確定,則稱f(x)為{an}的遞歸函數(shù).設{an}的遞歸函數(shù)為f(x)=?x2+x.
(1)若0<a1<1,an+1=f(an)(n∈N?),證明:{an}為遞減數(shù)列;
(2)若an+1=f(an)+5參考答案1.C
2.B
3.D
4.B
5.A
6.D
7.A
8.C
9.BC
10.ABD
11.ABC
12.20
13.3814.1415.解:(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對,第4題答錯和前3題均答錯兩種情況,
故所求概率為C31×35×(25)3+(25)3=112625.
(2)由題意得X的取值為X234P
94436所以E(X)=2×92516.解:(1)由題意得f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=1x+2ax+1x2(x>0),
因為f(x)在x=1處取得極值,
所以f′(1)=1+2a+1=0,解得a=?1,
此時,f′(x)=1x?2x+1x2=?2x3+x+1x2=(1?x)(2x2+2x+1)x2,其中2x2+2x+1>0恒成立,
當x∈(0,1)時,f′(x)>0,當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,
所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,1),單調遞減區(qū)間是(1,+∞),并且f(x)在x=1處取得極大值.
(2)f(x)≤?x2+bx,即b≥lnxx?1x2,
令g(x)=lnxx?1x2,則b≥g(x)max,g′(x)=1?lnxx2+2x3=1?lnx+2xx2,
令?(x)=1+2x?lnx,則?′(x)=?2x2?1x<0,
所以?(x)在(0,+∞)17.解:(1)證明:因為PD=AD=4,PA=42,
所以PD2+AD2=PA2,所以PD⊥AD,
同理PD⊥CD,又AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,
所以PD⊥平面ABCD,
因為AC?平面ABCD,所以PD⊥AC,
連接BD,因為AD=CD,AB=BC,DB=DB,
所以△ADB≌△CDB,
所以∠ADB=∠CDB,
又AD=CD,由等腰三角形三線合一,得BD⊥AC,
因為BD∩PD=D,BD,PD?平面PBD,
所以AC⊥平面PBD,
又PB?平面PBD,
所以AC⊥PB;
(2)因為AD=CD=4,AC=42,
所以AD2+CD2=AC2,
所以AD⊥CD,又PD⊥AD,PD⊥CD,故AD,CD,PD兩兩垂直,
故以D為坐標原點,DA,DC,DP所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,
則A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),
所以CP=(0,?4,4),CA=(4,?4,0),
由(1)知DB平分∠ADC,設B(a,a,0),所以CB=(a,a?4,0),
設平面ACP的法向量為m=(x1,y1,z1),
則m?CP=0m?CA=0,即?4y1+4z1=0,4x1?4y1=0,
令x1=1,得y1=1,z1=1,
所以m=(1,1,1),
設平面BCP的法向量為n=(x2,y2,z2),
則n?CP=0,n?CB18.解:(1)設P(x0,y0)是橢圓C上一點,則x024+y023=1,所以y02=3?34x02,
所以PA|=(m?x0)2+y02=14x02?2mx0+m2+3=14(x0?4m)2?3m2+3(?2≤x0≤2),
因為4m>0,所以當x0=?2時,|PA|max=m2+4m+4=6,
即m2+4m?32=0,解得m=4或m=?8(舍去),
所以|PA|=14(x0?16)2?45,
所以當x0=2時,|PA|min=2,
即點A到C上的點的距離的最小值為2.
(2)①證明:由題意可知直線l的斜率存在且不為0,設直線l的方程為y=k(x?4)(k≠0),
設M(x1,y1),N(x2,y2),T(x2,?y2),
聯(lián)立
y=k(x?4)x24+y23=1,消去y并化簡得(3+4k2)x2?32k2x+64k2?12=0,
所以Δ=(?32k2)2?4(3+4k2)(64k2?12)=144(1?4k2)>019.解:(1)證明:若0<x<1,
顯然f(x)=x(1?x)∈(0,1),
又0<a1<1,所
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