2024-2025學年江蘇省揚州市寶應中學高三（上）期初數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省揚州市寶應中學高三（上）期初數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.sin(1050A.12 B.?12 C.2.已知集合A={x|2x?1>0}，B={x|x2A.(0,3) B.(0,1) C.(?3,+∞) D.(?1,+∞)3.已知函數f(x)=ax?sinx(a∈R)，則“a=1”是“f(x)在區(qū)間(π2,+∞)上單調遞增”的A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.已知f(x)=2x+m,x>0nx+1,x<0為奇函數，則m+n=(

)A.1 B.2 C.0 D.?15.某圓錐母線長為1，其側面積與軸截面面積的比值為2π，則該圓錐體積為(

)A.3π8 B.π8 C.36.已知隨機變量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a)，則1xA.5 B.112 C.203 7.已知角α，β滿足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，則tanβ=(

)A.13 B.17 C.168.已知f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R，記g(x)=f′(x)，g(5.5)=2，若f(x+1)關于x=?1對稱，g(2x+1)是偶函數，則g(?0.5)=(

)A.?2 B.2 C.3 D.?3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列結論正確的是(

)A.1a+2b的最小值為9 B.a2+b2的最小值為5510.已知函數f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示，則A.φ=π6

B.ω=2

C.f(x+π6)為偶函數

D.f(x)11.Sigmoid函數S(x)=11+e?x是一個在生物學中常見的S型函數，也稱為S型生長曲線，常被用作神經網絡的激活函數.記S′(x)為SigmoidA.S′(x)=S(x)[1?S(x)] B.Sigmoid函數是單調減函數

C.函數S′(x)的最大值是14 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P(?2,1)，則cos(π+α)=______．13.已知正實數a，b滿足ab?b+2=0，則1a+3b的最小值是______．14.已知f(x)的定義域為(0,+∞)且f(2)=2，對于任意正數x1，x2都有f(x1x2)=f(x1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數f(x)=a?2x+12x?1是定義域為R的偶函數．

(1)求實數a的值；

(2)若對任意x∈R，都有16.(本小題15分)

已知a=(2cosx,32)，b=(sin(x?π3),1)，設f(x)=a?b．

17.(本小題15分)

如圖，三棱錐P?ABC中，∠ABC=π2，AB=BC=2，PA=PB，D是棱AB的中點，點E在棱AC上．

(1)下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取并證明(只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分)；

①平面PAB⊥平面ABC；

②DE⊥AC；

③PE⊥AC．

(2)若三棱錐P?ABC的體積為23，以你在(1)所選的兩個條件作為條件，求平面PDE與平面18.(本小題17分)

在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲利第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲利第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1)，且不同對陣的結果相互獨立．

(1)若p=0.6，經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由．19.(本小題17分)

已知函數g(x)=2ln(?t?1)+cos(?t?2)．

(1)函數f(x)與g(x)的圖像關于x=?1對稱，求f(x)的解析式；

(2)f(x)?1≤ax在定義域內恒成立，求a的值；

(3)求證：k=n+12nf(參考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.B

6.D

7.B

8.A

9.AD

10.ACD

11.ACD

12.2513.214.(0,4]

15.解：(1)由偶函數定義知：f(?x)=f(x)，

即a?2?x+12?x?1=a?2?x+2?2x=a?2x+2?2?x，

∴(a?2)?(2x?2?x)=0對?x∈R成立，∴a=2．

(2)由(1)得：f(x)=2(2x+2?x)；

16.解：(1)因為a=(2cosx,32)，b=(sin(x?π3),1)，

所以f(x)=a?b=2cosxsin(x?π3)+32=2cosx(12sinx?32cosx)+32

=sinxcosx?3cos2x+32=12sin2x?17.解：(1)證明：選擇①②，可證明③．

因為PA=PB，D是線段AB的中點，所以PD⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且PD?平面PAB；

所以PD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以PD⊥AC，

又DE⊥AC，PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE，

所以AC⊥平面PDE，又PE?平面PDE，所以AC⊥PE，

若選擇①③，可證明②．

因為PA=PB，D是線段AB的中點，所以PD⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且PD?平面PAB，

所以PD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，

所以PD⊥AC，又PE⊥AC，PD∩PE=P，PD，PE?平面PDE，

所以AC⊥平面PDE，又DE?平面PDE，所以AC⊥DE．

選擇②③，可證明①．

因為PA=PB，D是線段AB的中點，所以PD⊥AB，

因為PE⊥AC，DE⊥AC，PD，PE?平面PDE，DE∩PE=E，

所以AC⊥平面PDE，又PD?平面PDE，所以PD⊥AC，

AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

所以PD⊥平面ABC，又P

D?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABC；

(2)如圖，延長ED交CB的延長線于Q，連接PQ，

則平面PDE∩與平面PBC=PQ．

由三棱錐P?ABC的體積為23，且∠ABC=π2，

AB=BC=2，得23=13(12×2×2)?PD，解得PD=1．

又由∠ABC=π2，及D是線段AB的中點，DE⊥AC，

在等腰直角三角形CEQ中，CE=322，CQ=3，

連結CD，在Rt△CPD中，PD=1，CD=5，PC=6，

在等腰直角三角形BDQ中，BD=BQ=1，QD=2，

在Rt△QPD中，PQ=3，

在△CPQ中，由PC2+PQ2=CQ2，所以PC⊥PQ，

又由(1)知，18.解：(1)若p=0.6，經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；

①記“甲獲得第四名”為事件A，則P(A)=(1?0.6)2=0.16；

②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X，

則X的所有可能取值為2，3，4，

連敗兩局：P(X=2)=(1?0.6)2=0.16，

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；

P(X=3)=0.62+(1?0.6)×0.6×(1?0.6)+0.6×(1?0.6)×(1?0.6)=0.552X234P0.160.5520.288故數學期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128，

則甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望為3.128；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍，

“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率P=p3+p(1?p)p2+(1?p)p3=(3?2p)p3，

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為p2，

由(3?2p)p3?p2=19.解：(1)依題意，設f(x)圖像上任意一點坐標為(x0,y0)，

則其關于x=?1對稱的點(?2?x0,y0)在g(x)圖像上，

則y0=f(x0)=g(?2?x0)，則f(x0)=g(?x0?2)=2ln(x0+1)+cosx0，(x0>?1)

故f(x)=2ln(x+1)+cosx，(x>?1)；

(2)令?(x)=f(x)?1?ax=2ln(x+1)+cosx?1?ax，(x>?1)，

則在?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立，

又?(0)=0，且?(x)在x∈(?1,+∞)上是連續(xù)函數，則x=0為?(x)的一個極大值點，

?′(x)=2x+1?sinx?a，?′(0)=2?a=0?a=2，

下證當a=2時，?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立，

令φ(x)=ln(x+1)?x，φ′(x)