人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）同步講義 1.1集合的概念（教師版）

第第頁第01講1.1集合的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.元素與集合①理解元素與集合的概念，熟練常用數(shù)集的概念及其記法.②了解“屬于”關(guān)系的意義.③了解有限集、無限集、空集的意義.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列舉法、描述法及相互轉(zhuǎn)化).3.元素的性質(zhì)理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、無序性、互異性.1.通過集合語言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.2.通過實(shí)例能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)來描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.知識(shí)點(diǎn)01：集合的含義一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示集合.

知識(shí)拓展集合的三個(gè)特性：①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說明.②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對(duì)象.③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.【即學(xué)即練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】（1）（3）（4）（5）中的對(duì)象是確定的，可以組成集合，（2）中的對(duì)象是不確定的，不能組成集合.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02：元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的元素，就說SKIPIF1<0屬于SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0.(2)不屬于(notbelongto)：如果SKIPIF1<0不是集合SKIPIF1<0的元素，就說SKIPIF1<0不屬于SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0.特別說明：SKIPIF1<0表示一個(gè)元素，SKIPIF1<0表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：SKIPIF1<0.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試常考特點(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無序性.【即學(xué)即練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，都是數(shù)集．選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．故選：C知識(shí)點(diǎn)03：集合的表示方法與分類1常用數(shù)集及其符號(hào)常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“SKIPIF1<0”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)SKIPIF1<0表示一個(gè)集合，把集合SKIPIF1<0中所有具有共同特征SKIPIF1<0的元素SKIPIF1<0所組成的集合表示為SKIPIF1<0，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）SKIPIF1<0（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為SKIPIF1<0圖。3集合的分類根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無限集.（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在SKIPIF1<0圖中來表示.（2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合是無限集，如不等式SKIPIF1<0的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無限個(gè)，故為無限集.通常用描述法表示?！炯磳W(xué)即練3】（2023高一課時(shí)練習(xí)）已知①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③0={0}；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中正確的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【詳解】SKIPIF1<0是無理數(shù)，屬于實(shí)數(shù)，①正確；SKIPIF1<0是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；0表示一個(gè)元素，SKIPIF1<0表示一個(gè)集合，③錯(cuò)誤；N表示從0開始的所有自然數(shù)集合，SKIPIF1<0，④錯(cuò)誤；SKIPIF1<0是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，⑤錯(cuò)誤；Z表示所有整數(shù)的集合，-3是整數(shù)，SKIPIF1<0，⑥正確；故答案為：3.知識(shí)點(diǎn)04：集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：SKIPIF1<0,例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即學(xué)即練4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)m=________.【答案】1或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或1【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：1或SKIPIF1<0題型01判斷元素能否構(gòu)成集合【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各對(duì)象可以組成集合的是（

）A．與SKIPIF1<0非常接近的全體實(shí)數(shù)B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校SKIPIF1<0學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．高一年級(jí)很有才華的老師【答案】B【詳解】對(duì)于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯(cuò)誤；B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.故選：B.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．SKIPIF1<0年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于SKIPIF1<0的正整數(shù)【答案】B【詳解】上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對(duì)象，所以能構(gòu)成集合；SKIPIF1<0年高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所以不能構(gòu)成集合；任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；小于SKIPIF1<0的正整數(shù)分別為SKIPIF1<0，所以能夠組成集合.故選：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【詳解】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯(cuò)誤；B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯(cuò)誤；C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯(cuò)誤；D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．故選：D．題型02判斷是否為同一集合【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題是否正確．（1）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（2）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（3）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0不表示同一集合；()（4）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合．()【答案】正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤【詳解】（1）集合元素具有無序性，集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0元素相同，故表示同一集合，正確；（2）兩集合為點(diǎn)集，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示的點(diǎn)不同，所以集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示兩個(gè)不同的集合，錯(cuò)誤；（3）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0均表示大于3的所有實(shí)數(shù)的集合，所以集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合，錯(cuò)誤；（4）集合SKIPIF1<0為數(shù)集，集合SKIPIF1<0為點(diǎn)集，不是同一集合，錯(cuò)誤；故答案為：（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤；（4）錯(cuò)誤.【典例2】（2022秋·天津?yàn)I海新·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是同一個(gè)集合C．集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0是同一個(gè)集合D．集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0是同一個(gè)集合【答案】A【詳解】集合中的元素具有無序性，故A正確；SKIPIF1<0是不含任何元素的集合，SKIPIF1<0是含有一個(gè)元素0的集合，故B錯(cuò)誤；集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；集合SKIPIF1<0中有兩個(gè)元素SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，為方程SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤.故選：A.【變式1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是有理數(shù)，集合SKIPIF1<0，在下列集合中；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；與SKIPIF1<0相同的集合有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】對(duì)于（1），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一對(duì)應(yīng)，則SKIPIF1<0對(duì)于（2），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一對(duì)應(yīng)，則SKIPIF1<0對(duì)于（3），由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，一一對(duì)應(yīng)，則SKIPIF1<0對(duì)于（4），SKIPIF1<0，但方程SKIPIF1<0無解，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不相同故選：B題型03判斷元素與集合的關(guān)系【典例1】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎蟂KIPIF1<0下列關(guān)系正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以A、C錯(cuò)誤，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正確，故選:D．【典例2】（多選）（2023·廣西百色·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，則下列關(guān)系式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：ABC【變式1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M【答案】B【詳解】當(dāng)x=0時(shí),3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當(dāng)x=2時(shí),3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.選B題型04根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0不滿足集合元素的互異性，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)集合SKIPIF1<0不滿足集合元素的互異性，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0滿足條件；故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【詳解】由題意，集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，此時(shí)集合SKIPIF1<0，符合題意；若SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，不滿足集合元素的互異性，舍去；若SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，集合SKIPIF1<0，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，則a的值為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合SKIPIF1<0中所有元素之和為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若方程SKIPIF1<0的一根為1，則SKIPIF1<0，方程的另一根為4，不合題意；若1不是方程SKIPIF1<0的根，則方程兩根SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0不滿足SKIPIF1<0，舍去.故答案為：SKIPIF1<0．題型05根據(jù)集合元素互異性求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，符合題設(shè)；SKIPIF1<0時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，符合題設(shè)；∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0均可以.故選：C【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0中的元素1，4，SKIPIF1<0，且實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0，2，0.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，集合SKIPIF1<0中含有1，4，1，不合題意；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，滿足題意.所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0，2，0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0構(gòu)成的集合SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不可以，②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可以，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不可以，③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不可以，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不可以，∴SKIPIF1<0，故選：B．【變式2】（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型06自然語言法【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用自然語言描述下列集合：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)小于10的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；(2)大于SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(3)大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.(1)解：因?yàn)榧蟂KIPIF1<0表示：小于10的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；(2)解：集合SKIPIF1<0表示：大于SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(3)解：集合SKIPIF1<0表示：大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.題型07列舉法【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學(xué)考試）集合SKIPIF1<0用列舉法表示為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：A【典例2】（2023·河南鶴壁·高一河南省浚縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程組SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由方程組SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，集合應(yīng)是點(diǎn)集，正確的形式是SKIPIF1<0.故選：D【典例3】（2023·四川·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合SKIPIF1<0，則用列舉法表示集合SKIPIF1<0為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】要使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·山西運(yùn)城·高一?？茧A段練習(xí)）集合SKIPIF1<0，用列舉法表示為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0故選：C【變式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┮阎蟂KIPIF1<0，SKIPIF1<0，用列舉法表示集合SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意得SKIPIF1<0，2，3，4，6，12，解得SKIPIF1<0，5，4，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0所以集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，1，3，4，5，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0題型08描述法【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．（3）大于4的所有偶數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【詳解】（1）因?yàn)榧现械脑爻?余數(shù)為1，所以集合表示為：SKIPIF1<0；（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：SKIPIF1<0；（3）大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0可用集合表示為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其余的點(diǎn)全部在集合中，SKIPIF1<0選項(xiàng)中除去的是四條線SKIPIF1<0；SKIPIF1<0選項(xiàng)中除去的是SKIPIF1<0或除去SKIPIF1<0或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；SKIPIF1<0選項(xiàng)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即除去兩點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，符合題意；SKIPIF1<0選項(xiàng)SKIPIF1<0，則任意點(diǎn)SKIPIF1<0都不能SKIPIF1<0，即不能同時(shí)排除SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．故選：C【變式1】（2023·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表示下列集合：(1)請(qǐng)用列舉法表示方程SKIPIF1<0的解集；(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【詳解】（1）方程SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為SKIPIF1<0.（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（4）用描述法表示二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為SKIPIF1<0．題型09兩個(gè)集合相等問題【典例1】（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意SKIPIF1<0可知，兩集合元素全部相等，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又根據(jù)集合互異性，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A【典例2】（2023·高一單元測試）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】0或SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；故答案為：0或SKIPIF1<0【變式1】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<01．故選：B．題型10根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0或0 D．無解【答案】C【詳解】集合SKIPIF1<0有一個(gè)元素，即方程SKIPIF1<0有一解，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有一解，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的SKIPIF1<0取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）由于SKIPIF1<0中有兩個(gè)元素，∴關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0只有一個(gè)元素；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0沒有實(shí)數(shù)根，則SKIPIF1<0中沒有元素，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.綜上可知，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0綜上可知SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0.（2）當(dāng)集合SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0由（1）可知集合SKIPIF1<0有1個(gè)元素時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，綜上可知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.題型11常見數(shù)集或數(shù)集關(guān)系的應(yīng)用【典例1】（2023·海南·高一海南中學(xué)校考期中）下列表示正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0表示正整數(shù)集，而-3是負(fù)整數(shù)，A不正確；SKIPIF1<0表示自然數(shù)集，0是自然數(shù)，B正確；SKIPIF1<0表示整數(shù)集，SKIPIF1<0是分?jǐn)?shù)，C不正確；SKIPIF1<0表示有理數(shù)集，SKIPIF1<0是無理數(shù)，D不正確.故選：B【典例2】（多選）（2022秋·廣東佛山·高一?？计谥校┫铝嘘P(guān)系式正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，即SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，SKIPIF1<0是無理數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，SKIPIF1<0，D正確.故選：AD.【變式1】（2023·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【詳解】SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)集，SKIPIF1<0是整數(shù)，有SKIPIF1<0，故①正確，SKIPIF1<0是有理數(shù)集，SKIPIF1<0是分?jǐn)?shù)，而SKIPIF1<0是無理數(shù)，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②正確，④不正確，SKIPIF1<0表示自然數(shù)集，有SKIPIF1<0，故③不正確；SKIPIF1<0表示整數(shù)集，-3是整數(shù)，有SKIPIF1<0，故⑤正確；所以正確的個(gè)數(shù)是3，故選：C題型12新定義題【典例1】（多選）（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為“影子關(guān)系”集合，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故不是“影子關(guān)系”集合．故選：ABD【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┒xSKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0可能為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的取值為：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0可能為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的取值為：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0可能為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的取值為：SKIPIF1<0；綜上可知：SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為5，故選：D.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且SKIPIF1<0∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問數(shù)集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)舉反例說明．【答案】數(shù)集N，Z不是“閉集”，數(shù)集Q，R是“閉集”．舉反例見解析【詳解】（1）數(shù)集N，Z不是“閉集”，例如，3∈N,2∈N，而SKIPIF1<0＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而SKIPIF1<0＝－1.5?Z，故N，Z不是閉集．（2）數(shù)集Q，R是“閉集”．由于兩個(gè)有理數(shù)a與b的和，差，積，商，即a±b，ab，SKIPIF1<0(b≠0)仍是有理數(shù)，故Q是閉集．同理R也是閉集．本節(jié)重點(diǎn)方法分類討論法【典例1】（多選）（2023秋·山東東營·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解集中只含有一個(gè)元素，則SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】由已知方程得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的解集中只有一個(gè)元素，則有以下三種情況：①方程SKIPIF1<0有且僅有一個(gè)不為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的解，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0，滿足題意；②方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為SKIPIF1<0，另一根不為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)方程另一根為SKIPIF1<0，滿足題意；③方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一個(gè)根為SKIPIF1<0，另一根不為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)方程另一根為SKIPIF1<0，滿足題意；綜上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：ABD.【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）1是SKIPIF1<0中的一個(gè)元素，用列舉法表示SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，試求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素時(shí)，SKIPIF1<0只有一個(gè)解，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0中沒有元素時(shí)，SKIPIF1<0無解，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是空集，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）由題意得：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，解集不為空集，舍去；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.1.1集合的概念A(yù)夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正確的個(gè)數(shù)為．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【詳解】SKIPIF1<0表示實(shí)數(shù)集

SKIPIF1<0，則①正確，SKIPIF1<0表示有理數(shù)集

SKIPIF1<0，則②正確SKIPIF1<0表示自然數(shù)集

SKIPIF1<0，則③正確，SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的一個(gè)元素

SKIPIF1<0，則④正確本題正確選項(xiàng)：SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合SKIPIF1<0中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0中的元素個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：B.3．（2023秋·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？计谀┓匠蘹2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為SKIPIF1<0．故選：C．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，則a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不滿足互異性，舍去，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，集合為SKIPIF1<0，滿足；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不滿足互異性，舍去.綜上SKIPIF1<0．故選：D．5．（2023春·河北承德·高三河北省灤平縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合M=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{SKIPIF1<0，2，3，4}【答案】D【詳解】因?yàn)榧螹=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，，所以5-a可能為1，2，3，6，即a可能為4，3，2，SKIPIF1<0.所以M={SKIPIF1<0，2，3，4}，故選：D.6．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，集合元素最多有1個(gè)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以集合元素最多有2個(gè)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以集合元素最多有2個(gè)；故選：A7．（2023秋·四川達(dá)州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．0或SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：集合SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0只有一個(gè)元素為：SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)：方程SKIPIF1<0只有一個(gè)解：即SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【答案】D【詳解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即SKIPIF1<0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解SKIPIF1<0,∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.計(jì)算得出p＝－3，q＝4.則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；則x－1＝0或x－1＝4，計(jì)算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故選：SKIPIF1<0.二、多選題9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中不正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0表示同一個(gè)集合B．集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0與SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示同一個(gè)集合C．方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示為SKIPIF1<0D．集合SKIPIF1<0不能用列舉法表示【答案】ABC【詳解】對(duì)于A中，SKIPIF1<0是一個(gè)元素（數(shù)），而SKIPIF1<0是一個(gè)集合，可得SKIPIF1<0，所以A不正確；對(duì)于B中，集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示數(shù)SKIPIF1<0構(gòu)成的集合，集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示點(diǎn)集，所以B不正確；對(duì)于C中，方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示為SKIPIF1<0，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示為SKIPIF1<0，所以C不正確；對(duì)于D中，集合SKIPIF1<0含有無窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.10．（2022秋·甘肅慶陽·高一?？计谥校┮阎蟂KIPIF1<0，則有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【詳