陜西省咸陽市實驗中學2024-2025學年高一數(shù)學上學期第三次月考試題含解析

PAGEPAGE19陜西省咸陽市試驗中學2024-2025學年高一數(shù)學上學期第三次月考試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.下列說法正確的是（）A.圓錐的母線長等于底面圓直徑B.圓柱的母線與軸垂直C.圓臺的母線與軸平行D.球的直徑必過球心【答案】D【解析】圓錐的母線長與底面圓直徑的大小關(guān)系不確定，則A項不正確；圓柱的母線與軸平行，則B項不正確；圓臺的母線與軸相交，則C項不正確；很明顯D項正確．考點：圓錐、圓柱、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征.2.視察如圖所示的四個幾何體，其中推斷不正確的是()A.①是棱柱 B.②不是棱錐 C.③不是棱錐 D.④是棱臺【答案】B【解析】①是棱柱，②是棱錐，③不是棱錐，④是棱臺，故選B．點睛：本題考查多面體的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是熟記且理解棱柱，棱錐，棱臺的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題3.在正方體中，直線AC與直線所成的角為（）A.30° B.60° C.90° D.45°【答案】C【解析】【分析】在正方體中，，由在正方形中，,可得出答案.【詳解】在正方體中，，所以直線AC與直線所成的角等于直線AC與直線所成的角.又在正方形中，，所以直線AC與直線所成的角為所以直線AC與直線所成的角為.故選：C【點睛】本題考查求異面直線所成角，求異面直線所成角的方法主要有定義法和向量法.屬于基礎(chǔ)題.4.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正方體的棱長是內(nèi)切球的直徑，正方體的對角線是外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則，所以，所以，故選D.5.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面四邊形的面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：依據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′=S，本題中直觀圖的面積為，所以原平面四邊形的面積等于．考點：平面圖形的直觀圖6.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面間的位置關(guān)系推斷．【詳解】平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能相交，或者異面，A錯；平行于同始終線的兩個平面可能平行，也可能相交，B錯；，則平面內(nèi)全部直線都與垂直，而，則平面內(nèi)的全部直線也都與垂直，則，C正確；平面垂直的性質(zhì)定理說兩個平面垂直）（如），其中一個平面（如）內(nèi)與交線垂直的直線（如直線）垂直于另一平面（如），但，不垂直，D錯．故選：C．【點睛】本題考查空間直線與平面間的位置關(guān)系，駕馭空間直線、平面間位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．7.直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面（）A.有且只有一個 B.有多數(shù)多個 C.至多一個 D.不存在【答案】A【解析】【分析】在直線上任取一點，則點和直線確定一個平面，在平面內(nèi)過點作直線，由直線唯一確定一個平面，進而利用線面平行的判定定理和公理2的推理，即可求解.【詳解】在直線上任取一點，則點和直線確定一個平面，即為平面，在平面內(nèi)過點作直線，由，則直線唯一確定一個平面，即為平面，因，，所以，假設(shè)過直線與直線平行的平面有兩個或兩個以上，那么與這兩條相交直線確定一個平面是沖突的，所以過直線與直線平行的平面有且只有一個.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間中的異面直線的位置關(guān)系，以及公理2的兩個推理及線面平行的判定定理的應用，著重考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定【答案】B【解析】因為PB⊥α，AC?α，所以PB⊥AC，又AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AC⊥BC.故△ABC為直角三角形.9.半徑為的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出扇形的弧長，然后求出圓錐的底面周長，轉(zhuǎn)化為底面半徑，求出圓錐的高，然后求出體積．【詳解】設(shè)底面半徑為r，則，所以.所以圓錐的高.所以體積.故選：C.【點睛】本題考查圓錐的性質(zhì)及體積，圓錐問題抓住兩個關(guān)鍵點：（1）圓錐側(cè)面綻開圖的扇形弧長等于底面周長；（2）圓錐底面半徑r、高h、母線l組成直角三角形，滿意勾股定理，本題考查這兩種關(guān)系的應用，屬于簡潔題.10.已知平面外不共線的三點到平面的距離都相等，則正確的結(jié)論是（）A.平面必平行于平面 B.平面必與平面相交C.平面必不垂直于平面 D.存在的一條中位線平行于平面或在平面內(nèi)【答案】D【解析】利用解除法：如圖所示，正方體中，取棱的中點，將平面看作平面，三點到平面的距離相等，該平面與垂直相交，選項A，C錯誤；三點到平面的距離相等，該平面與平行，選項B錯誤；本題選擇D選項.點睛：平面幾何的基本公理是平面幾何的基礎(chǔ)，公理1是推斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是推斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)．要能夠嫻熟用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理．11.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用公理三及推論推斷求解．【詳解】在A圖中：分別連接PS，QR，則PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．在B圖中：過P，Q，R，S可作一正六邊形，如圖，故P，Q，R，S四點共面．在C圖中：分別連接PQ，RS，則PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在D圖中：PS與RQ為異面直線，∴P，Q，R，S四點不共面．故選D．【點睛】本題考查四點不共面的圖形的推斷，解題時要仔細審題，留意平面性質(zhì)及推論的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．12.某同學制作了一個對面圖案均相同的正方形禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的表面綻開圖應當為(對面是相同的圖案)()A. B. C. D.【答案】A【解析】其綻開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪個棱剪開，剪開的相鄰面在綻開在圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在綻開圖中肯定相鄰，又相同的圖案是盒子相對的面，綻開后絕不能相鄰．故選A.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是___________．【答案】相交或異面【解析】【分析】依據(jù)異面直線的定義可知與兩條異面直線相交的兩條直線不行能平行，可得到位置關(guān)系.【詳解】如下圖所示：此時的位置關(guān)系為：相交如下圖所示：此時的位置關(guān)系為：異面若平行，則與的四個交點，四點共面；此時共面，不符合異面直線的定義綜上所述：的位置關(guān)系為相交或異面本題正確結(jié)果；相交或異面【點睛】本題考查空間中直線的位置關(guān)系的推斷，屬于基礎(chǔ)題.14.一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面上升9厘米，則此球的半徑為_____厘米．【答案】12【解析】試題分析：考點：球的體積和表面積15.若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高是______；底面邊長是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】干脆依據(jù)三視圖推斷即可.【詳解】由左視圖得三棱柱的高為2,又底面為正三角形,故底面邊長為.故答案：(1).(2).【點睛】本題主要考查了三視圖,屬于基礎(chǔ)題型.16.下列命題中，正確的為________（正確序號全部填上）（1）空間中，一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；（2）一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面分別垂直，則這兩個二面角相等或互補；（3）直線，為異面直線，所成角的大小為，過空間一點作直線，使l與直線及直線都成相等的角，這樣的直線可作3條；（4）直線與平面相交，過直線可作唯一的平面與平面垂直．【答案】（1）（3）【解析】【分析】（1）利用等角定理，即可推斷正誤；（2）列舉反例，即可得出結(jié)論；（3）利用異面直線所成角，即可推斷正誤；（4）列舉反例，即可得出結(jié)論【詳解】（1）空間中，若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則由等角定理知，這兩個角相等或互補，所以（1）正確；（2）如圖，平面，，兩兩垂直，，且，，過直線作平面，此時，，二面角為，而滿意條件的平面有無窮多個，所以二面角無法確定，所以（2）錯誤；（3）直線，為異面直線，所成角的大小為，過空間一點作直線，設(shè)直線l與直線及直線都成相等的角，若，可作0條；若，可作1條；若，可作2條；若，可作3條；若，可作4條；若，可作1條，所以（3）正確；（4）若直線與平面垂直，過直線可作多數(shù)個平面與平面垂直，所以（4）錯誤.故答案為：（1）（3）.【點睛】本題考查等角定理的應用、二面角的概念、平面與平面垂直的判定定理及異面直線所成角，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖所示的螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，試畫出它的三視圖．【答案】見解析【解析】試題分析：結(jié)合幾何體利用三視圖的定義和幾何體的特征繪制幾何體的三視圖即可.試題解析：三視圖如圖所示．點睛：三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要留意實、虛線的畫法．18.如圖所示，在正方體中，為的中點，為的中點.求證：（1）四點共面；（2）三線共點.【答案】（1）見證明（2）見證明【解析】【分析】（1）連接，結(jié)合平面幾何學問可證得，于是可得結(jié)論成立．（2）由題意可得直線與必相交，設(shè)交點為，然后再證明點在平面與平面的交線上，進而得到結(jié)論成立．【詳解】證明：（1）連接.∵分別是和的中點，∴.又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴與確定一個平面，∴四點共面．（2）由（1）知，，且，∴直線與必相交，設(shè).∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面與平面的公共點，又平面平面，∴，∴三線共點．【點睛】（1）要證明“線共面”或“點共面”，可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)．（2）要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，依據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此可得點共線．19.（不寫做法）（1）如圖，直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一點，畫出平面和平面的交線．（2）如圖所示，在正方體中，試畫出平面與平面的交線．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）延長和交于點，再連接，即得到交線；（2）先記與的交點為，連接，即可得出交線.【詳解】（1）（延長和交于點，連接，即為平面和平面的交線），如圖：（2）（記與的交點為，連接，則即為平面與平面的交線），如圖:【點睛】本題主要考查畫出平面與平面的交線，考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題型.20.如圖，（I）求證（II）設(shè)【答案】見解析【解析】【詳解】（I）,（II），,第一問主要依據(jù)線面垂直得到線線垂直，然后再利用線線垂直得到線面垂直．其次問首先是利用已知條件得到一個平面，然后去證明面面平行，進而得到線面平行．【考點定位】線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面平行的判定定理和性質(zhì)定理．21.長方體中，，點P為的中點.求證：（1）直線平面PAC；（2）平面平面PAC；（3）直線平面PAC.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)交于點,連接,利用中位線性質(zhì)可得,進而求證即可；（2）由底面正方形可得,由長方體可得,進而求證即可；（3）由（2）可得,連接,利用勾股定理可得,進而求證即可.【詳解】證明:（1）設(shè)交于點,連接,因為,所以,又點P為的中點,所以,因為平面PAC,平面PAC,所以平面PAC（2）因為,所以,因為長方體,所以平面,所以,因為,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面（3）由（2）,因為平面,所以平面,所以,連接,則,,,

因為,所以,因為,平面,所以平面【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查面面垂直的證明,考查推理論證實力.22.如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．（Ⅰ）證明PA//平面BDE；（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA∥平面BDE；（Ⅱ）由已知求出平面BDE的一個法向量和平面DEC的一個法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值；（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在點F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【詳解】（Ⅰ）證明：以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，設(shè)是平面BDE的一個法向量，則由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平