專題17圖形的相似(真題1個(gè)考點(diǎn)模擬13個(gè)考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題17圖形的相似（真題1個(gè)考點(diǎn)模擬13個(gè)考點(diǎn)）一．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）1．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．52．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（2023?安徽模擬）已知，求k2﹣3k﹣4的值．二．比例線段（共3小題）4．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項(xiàng)為．5．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項(xiàng)，則c＝cm．6．（2023?亳州模擬）如圖，點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)．如果AB＝2，那么AP＝．三．黃金分割（共5小題）7．（2023?廬陽區(qū)一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m8．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．9．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm．10．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，則cosA＝（）A． B． C． D．11．（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC的長為cm．四．平行線分線段成比例（共6小題）12．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長度為（）A．4 B．6 C．12 D．1513．（2023?蚌山區(qū)模擬）AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE＝AD，BE的延長線交AC于F，則的值為（）A． B． C． D．14．（2023?舒城縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值為（）A．2 B． C． D．15．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點(diǎn)F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．16．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經(jīng)過點(diǎn)C．（1）DQ＝10米時(shí)，求△APQ的面積．（2）當(dāng)DQ的長為多少米時(shí)，△APQ的面積為1600平方米．17．（2023?廬陽區(qū)一模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝；若∠CMF＝60°，則＝．五．相似多邊形的性質(zhì)（共3小題）18．（2023?潛山市模擬）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，則下列一定能求出△BIJ面積的條件（）A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差 C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差19．（2023?舒城縣二模）將一張平行四邊形ABCD（AD＜AB＜2AD）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，若剪去兩個(gè)菱形后所剩下的平行四邊形與原來平行四邊形ABCD相似，則平行四邊形ABCD的相鄰兩邊AD與AB的比值是（）A． B． C．或 D．或或20．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是（）A．360元 B．1080元 C．720元 D．2160元六．相似三角形的性質(zhì)（共4小題）21．（2023?南陵縣校級(jí)一模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同剪法，那么AP長的取值范圍（）A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜322．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周長為15，則△DEF的周長為（）A．3 B．5 C．15 D．4523．（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)二模）一個(gè)三邊長分別為a，b，b的等腰三角形與另一個(gè)腰長為b的等腰三角形拼接，得到一個(gè)腰長為a的等腰三角形，其中a＞b，則的值等于（）A． B． C． D．24．（2023?池州三模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是邊AC上一點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的一條直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板．?（1）判斷：△ABC為（填“銳”“直”或“鈍”）角三角形；（2）如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是．七．相似三角形的判定（共6小題）25．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．26．（2023?蕭縣一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是（）A．AB2＝AD?AC B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．＝27．（2023?霍邱縣一模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AD上，過點(diǎn)Q作QE⊥AP于點(diǎn)E，連接PQ，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：?（1）AP＝；（2）當(dāng)△QEP∽△ABP時(shí)，PQ＝．28．（2023?舒城縣模擬）已知過點(diǎn)B（3，﹣1）的拋物線y＝x2﹣x+c與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、C如圖所示，連結(jié)AC，BC，AB，第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作AM⊥MP交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且△AMP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．29．（2023?雨山區(qū)校級(jí)一模）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．（1）FG＝；（2）當(dāng)△FGH和△ABC相似時(shí)，F(xiàn)H＝．30．（2023?蕭縣三模）如圖，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，連接DE交BC于點(diǎn)M，連接BG交CE于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BG⊥DE B．當(dāng)CN＝EN時(shí)，CN2＝ON?NG C．當(dāng)∠BDE＝∠BCE時(shí)，△BMD∽△BNC D．當(dāng)∠BCE＝60°時(shí)，八．相似三角形的判定與性質(zhì)（共17小題）31．（2023?霍邱縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若，AB＝4，則的值為（）A． B． C． D．32．（2023?包河區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值是（）A． B． C． D．33．（2023?宣城模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，且＝，過點(diǎn)D的切線EF交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)AD，OE交于點(diǎn)G．（1）求證：AE⊥EF；（2）若，⊙O的半徑為2，求BF的長．34．（2023?無為市三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF交DB的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為A．（1）求證：AE＝AF；（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的長．35．（2023?全椒縣二模）如圖，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的頂點(diǎn)A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點(diǎn)E恰好落在邊BC上（與B、C不重合），連接BD．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB與DE相交于點(diǎn)F，求證：CE?BE＝CA?BF；（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，請(qǐng)畫出符合條件的圖形，并求DE的長．36．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）已知正方形EFGH的邊EF在△ABC的邊BC上，點(diǎn)G、H分別在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，則AB+AC的最小值為（）A． B． C． D．1037．（2023?黃山二模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，作OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，若AB＝4，CD＝6，則OM﹣EF值為（）A． B． C． D．38．（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥DE交AB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（）A．AG＝GF B． C． D．39．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，正方形ABCD和正方形BPQR有重疊部分，R點(diǎn)在AD上，CD與QR相交于S點(diǎn)，若正方形ABCD和正方形BPQR的邊長分別為4和5，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．40．（2023?天長市校級(jí)二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上的點(diǎn)，連接EF，EF⊥FG且EF＝FG．?（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：DG＝BE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．41．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上．以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑作⊙D與AB相切于點(diǎn)F，已知∠CED＝∠ABC．（1）求證：BD＝ED；（2）連接AD，若AC＝6，AB＝10，求線段AE的長．42．（2023?天長市校級(jí)三模）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)E在AB邊上，EM垂直平分AD，垂足為M；EN垂直平分BC，垂足為N，若∠BAD＝∠ABC，求證：AC＝BD；（3）如圖3，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，EF兩端延長分別交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面積分別為S1，S2，直接寫出的值．?43．（2023?池州三模）如圖，在?ABCD中，AC是一條對(duì)角線，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F(xiàn)是AD邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，AE＝DF，連接CE并延長，CE的延長線與BA的延長線交于點(diǎn)G．（1）如圖1，M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，MF，MF與CE交于點(diǎn)N，．①若M為BC中點(diǎn)，求證：EN＝NC；②求AG的長；（2）如圖2，連接GF，H是GF上一點(diǎn)，連接EH．若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的長．44．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)一模）將矩形ABCD沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為DE，其中AB＝2，AD＝3．（1）如圖（1），若點(diǎn)F恰好在邊BC上，連接AF，求證：△ABF∽△DAE；（2）如圖（2），若E是AB的中點(diǎn)，EF的延長線交BC于點(diǎn)G，求BG的長．45．（2023?無為市一模）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，點(diǎn)D、E在⊙O上，連接AE、ED、DA，連接BD并延長交AC于點(diǎn)C，AE與BC交于點(diǎn)F．（1）求證：∠DAC＝∠DEA；（2）若點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，BF＝2，求AC的長．46．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分線，連接DA、DB，且DA⊥DB于點(diǎn)D．（1）求證：DA＝DB；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別是邊CD、AC上的點(diǎn)，且BE⊥EF于點(diǎn)E，求的值．47．（2023?合肥模擬）在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF垂直于BD，垂足為F，且CF＝DF．（1）求證：△ACD∽△BCF；（2）如圖2，連接AF，點(diǎn)P、M、N分別為線段AB、AF、DF的中點(diǎn)，連接PM、MN、PN．①求證：∠PMN＝135°；②若AD＝2，求△PMN的面積．九．相似三角形的應(yīng)用（共2小題）48．（2023?蕪湖模擬）《墨經(jīng)》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關(guān)于光學(xué)問題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長是（）A．cm B．1cm C．cm D．cm49．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），用去部分液體后，放在水平的桌面上如圖2所示，此時(shí)液面距離杯口的距離h＝（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm一十．作圖-相似變換（共2小題）50．（2023?大觀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)及線段MN的端點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．（1）作出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）畫出一個(gè)格點(diǎn)△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不為1）．51．（2023?安徽模擬）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形△A1B1C1.（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，B1，C1）；（2）請(qǐng)畫一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比為2．一十一．位似變換（共2小題）52．（2023?廬陽區(qū)一模）△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，可以得到△A'B'O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）53．（2023?杜集區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A'B'C'與△ABC位似，位似中心為原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（4，2） C．（6，2） D．（8，2）一十二．作圖-位似變換（共2小題）54．（2023?利辛縣模擬）已知：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，1），C（1，5）．（1）以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限將△ABC放大為原來的2倍，得到△A1B1C1，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A1B1C1；（2）若點(diǎn)P（x，y）是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為；（3）請(qǐng)用無刻度直尺將線段AB三等分．55．（2023?花山區(qū)二模）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位后得到△A1B1C1，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A2B2C2．一十三．相似形綜合題（共5小題）56．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，為探究一類矩形ABCD的性質(zhì)，小明在BC邊上取一點(diǎn)E，連接DE，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)DE平分∠ADC時(shí)，將△ABE沿AE折疊至△AFE，點(diǎn)F恰好落在DE上，據(jù)此解決下列問題：（1）求證：△AFD≌△DCE；（2）如圖，延長CF交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H．①求證：EF?DF＝GF?CF；②求GE：GC的值．57．（2023?花山區(qū)二模）點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD平分∠BAC，延長CD交AB于點(diǎn)E，延長BD交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AB＝AC，證明：DE＝DF；（2）如圖2，若∠BDC+∠BAC＝180°，證明：＝；（3）如圖3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，DF＝4，＝，求BD的值．58．（2023?無為市四模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E為BC上一點(diǎn)，且DE∥AB，過點(diǎn)B作BF∥AD交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF，CF＝BF．（1）求證：△ADE≌△FCD；（2）如圖2，連接DB交AE于點(diǎn)G，且AG＝DC．①連接CG，求證：四邊形BFCG是菱形；②若DB∥CF，求的值．59．（2023?天長市校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E，點(diǎn)F在DA的延長線上，連接BF交CE的延長線于點(diǎn)M，AD＝2CD．（1）若AE＝2，則BD＝；（2）若BM：MF＝6：7，EM＝1，則AF＝．60．（2023?濉溪縣模擬）如圖，△ABC中，D，E兩點(diǎn)分別在邊AB，AC上，點(diǎn)F在DE上，連接BF，CD，CF，已知EC＝ED，F(xiàn)B＝FC，∠CED＝∠CFB．（1）求證：∠ECF＝∠BFD；（2）連接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求證：AF＝AE；（3）在（2）的條件下，若DF＝kEF，求的值（用含k的代數(shù)式來表示）．

專題17圖形的相似（真題1個(gè)考點(diǎn)模擬13個(gè)考點(diǎn)）一．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）1．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【分析】根據(jù)題意和三角形相似的判定和性質(zhì)，可以求得CD的長，本題得以解決．【解答】解：作DH∥EG交AB于點(diǎn)H，則△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，設(shè)DH＝x，則CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出∠PBC＝∠PAB，即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）先作出兩個(gè)直角三角形，再判斷出Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判斷出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴PA＝2PC（3）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于點(diǎn)F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2?h3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出∠EAP＝∠PCD是解本題的關(guān)鍵．一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），∴a：4＝b：3，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，熟記比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．【解答】解：∵，∴1﹣＝，∴＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．3．（2023?安徽模擬）已知，求k2﹣3k﹣4的值．【分析】根據(jù)等比性質(zhì)得出＝k，再分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)和a+b+c+d＝0時(shí)，分別求出k的值，然后代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性質(zhì)可得：＝k，當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，k＝＝，當(dāng)a+b+c+d＝0時(shí)，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．比例線段（共3小題）4．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項(xiàng)為6．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)線段a和b的比例中項(xiàng)為c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵線段不能是負(fù)數(shù)，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例中項(xiàng)的概念，掌握比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項(xiàng)，則c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負(fù)．【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．則c＝2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段；理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．6．（2023?亳州模擬）如圖，點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)．如果AB＝2，那么AP＝3﹣．【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得BP＝AB，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)，∴BP2＝AB?AP，∴BP＝AB＝＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案為：3﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割．三．黃金分割（共5小題）7．（2023?廬陽區(qū)一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】設(shè)下部高為xm，根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：設(shè)下部的高度為xm，則上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金分割及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．8．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．【分析】先證明AD＝BD，設(shè)AD＝BD＝x，則BC＝2+x．作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．【解答】解：∵∠ADB＝108°，∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．∵AB＝AC＝CD＝2，∴∠CAD＝∠CDA＝72°，∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，∴AD＝BD．設(shè)AD＝BD＝x，則BC＝2+x．如圖，作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝CD＝2，∴，∴．∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴，解得，（舍去）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為（12﹣4）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），線段AB的長為8cm，∴，∴AP＝cm，BP＝AB﹣AP＝12﹣4．故答案為：（12﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，則cosA＝（）A． B． C． D．【分析】過B作BE⊥AC于E，設(shè)CD＝2a，證△BDC∽△ABC，得BC：AC＝CD：BC，再證CB＝BD＝AD，然后證點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，求出AD＝（+1）a，即可解決問題．【解答】解：如圖，過B作BE⊥AC于E，設(shè)CD＝2a，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠C＝∠C，∠CDB＝∠ABC＝72°，∴△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD?AC，∵∠A＝∠ABD＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，∴CB＝BD＝AD，∴AD2＝CD?AC，∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，∴＝，∴AD＝＝＝（+1）a，∴AB＝AC＝AD+CD＝（3+）a，∵BE⊥AC，BD＝CD，∴DE＝CE＝CD＝a，∴AE＝AD+DE＝（2+）a，∴cosA＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC的長為4﹣4cm．【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，∴AC＝AB＝4﹣4（cm），故答案為：4﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和黃金比值，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．四．平行線分線段成比例（共6小題）12．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長度為（）A．4 B．6 C．12 D．15【分析】由DE∥BC，得，進(jìn)而即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，∴EC＝6．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線截線段成比例定理，掌握平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．13．（2023?蚌山區(qū)模擬）AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE＝AD，BE的延長線交AC于F，則的值為（）A． B． C． D．【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)三角形中位線定理得到FH＝HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，計(jì)算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中線，∴FH＝HC，∵DH∥BF，AE＝AD，∴，∴AF：FC＝1：6，∴的值故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2023?舒城縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值為（）A．2 B． C． D．【分析】過C作CN∥AB交AE延長線于N，過E作EM∥BD交AC于M，推出AC＝CN＝5，由相似三角形的性質(zhì)得到BE：EC＝4：5，由平行線分線段成比例定理，得到CD：DM＝9：4，而AD＝CD，由此AD：DM＝9：4，于是即可解決問題．【解答】解：過C作CN∥AB交AE延長線于N，過E作EM∥BD交AC于M，∴∠BAE＝∠N，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠N＝∠CAE，∴CN＝CA＝5，∵AB∥CN，∴△ABE∽△NCE，∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，∵EM∥BD，∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，∴DC：DM＝9：4，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∴AD：DM＝9：4，∵OD∥EM，∴＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過平行線的性質(zhì)，角平分線定義得到AC＝CN，由相似三角形的性質(zhì)求出BE：EC．15．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點(diǎn)F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．【分析】作EH⊥AB于H，延長CD到M，使DM＝CD，連接BM，由勾股定理求出AB的長，由三角形面積公式求出CE的長，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．【解答】解：作EH⊥AB于H，延長CD到M，使DM＝CD，連接BM，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20，∵BF平分∠ABC，∴EH＝EC，∵△ABC的面積＝△ABE的面積+△BCE的面積，∴AC?BC＝AB?EH+BC?CE，∴16×12＝20CE+12CE，∴CE＝6，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，∴△BDM≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，∴CE∥MB，∴△CEF∽△MBF，∴＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，相似三角形．16．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經(jīng)過點(diǎn)C．（1）DQ＝10米時(shí)，求△APQ的面積．（2）當(dāng)DQ的長為多少米時(shí)，△APQ的面積為1600平方米．【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入數(shù)據(jù)求得AP＝90，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)DQ＝x米，則AQ＝x+20，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ?AP＝1350米2；（2）設(shè)DQ＝x米，則AQ＝x+20，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝，由題意得××（x+20）＝1600，化簡(jiǎn)得3x2﹣200x+1200＝0，解x＝60或．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60或是原方程的根，∴DQ的長應(yīng)設(shè)計(jì)為60或米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，求三角形的面積，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023?廬陽區(qū)一模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝2；若∠CMF＝60°，則＝2．【分析】（1）連接BD，根據(jù)相似三角形計(jì)算即可；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以過C作CN⊥AM所在直線，利用角平分線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）連接BD，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，∴△MCD∽△MEB，∴，∵E為AB中點(diǎn)，∴；（2）過點(diǎn)C作CN⊥AF，交AF的延長線于點(diǎn)N，如圖2，在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，∵sin60°＝，cos60°＝，∴，，即CM＝2MN，∵AE＝CF，BA＝BC，∴BA﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），∴∠FAB＝∠ECB，∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM＝FM，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°∴∠FAB＝∠FCN，∴∠MCF＝∠NCF，過點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝，∵，∴，∵＝，MF＝EM，∴＝＝2+2×＝2+2×＝2+．故答案為：2；2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的綜合題，解題的關(guān)鍵是從題中找到作出正確的輔助線CN．五．相似多邊形的性質(zhì)（共3小題）18．（2023?潛山市模擬）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，則下列一定能求出△BIJ面積的條件（）A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差 C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差【分析】分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對(duì)應(yīng)相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項(xiàng)即可．【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線交CE于點(diǎn)M，交BF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，∴CD＝3AF＝3ME，BC＝3FG＝3BJ，△BCD～△BJI，相似比k＝3，則S平行四邊形BCDN＝3S平行四邊形MEFA＝2S△BCD，9S△BJI＝S△BCD，∵S△ADN＝S△ADM，∴S四邊形ABCD﹣S四邊形ADEF＝S?BCDN﹣S?MEFA＝S△BCD＝12S△BIJ，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)相似比求面積關(guān)系，平行四邊形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)等知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，找出對(duì)應(yīng)面積關(guān)系，采用面積作差方法是解題關(guān)鍵．19．（2023?舒城縣二模）將一張平行四邊形ABCD（AD＜AB＜2AD）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，若剪去兩個(gè)菱形后所剩下的平行四邊形與原來平行四邊形ABCD相似，則平行四邊形ABCD的相鄰兩邊AD與AB的比值是（）A． B． C．或 D．或或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論進(jìn)而根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)AD＝a，AB＝b．根據(jù)題意，AH＝AD，∴HB＝b﹣a，∵HB＝FG＝GC，∴BG＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，∵剩下的平行四邊形與原來平行四邊形ABCD相似，∴對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論：①，∴，設(shè)，分子分母同時(shí)除以，得：，解得：；②，∴，設(shè)，則：，解得：，兩個(gè)答案都滿足AD＜AB＜2AD，綜上：平行四邊形ABCD的相鄰兩邊AD與AB的比值是或．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．20．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是（）A．360元 B．1080元 C．720元 D．2160元【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，∴面積擴(kuò)大為原來的9倍，∴擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本為：120×9＝1080（元）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確得出多邊形面積比是解題關(guān)鍵．六．相似三角形的性質(zhì)（共4小題）21．（2023?南陵縣校級(jí)一模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同剪法，那么AP長的取值范圍（）A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜3【分析】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到AP的長的取值范圍．【解答】解：如圖所示，過P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此時(shí)0＜AP＜4；如圖所示，過P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，此時(shí)0＜AP≤4；如圖所示，過P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，此時(shí)，△CPG∽△CBA，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，∴CP＝1，AP＝3，∴此時(shí)，3≤AP＜4；綜上所述，AP長的取值范圍是3≤AP＜4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．22．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周長為15，則△DEF的周長為（）A．3 B．5 C．15 D．45【分析】因?yàn)椤鰽BC∽△DEF，相似比為1：3，根據(jù)相似三角形周長比等于相似比，即可求出周長．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，∴△ABC的周長：△DEF的周長＝1：3，∵△ABC的周長為15，∴△DEF的周長為45．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解，正確記憶相似三角形周長的比等于相似比是解題關(guān)鍵．23．（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)二模）一個(gè)三邊長分別為a，b，b的等腰三角形與另一個(gè)腰長為b的等腰三角形拼接，得到一個(gè)腰長為a的等腰三角形，其中a＞b，則的值等于（）A． B． C． D．【分析】由條件可畫圖，如圖所示，易得：△ADC、△ABC、△CBD均為等腰三角形，得到△ABC∽△CBD，列出比例式，解方程即可．【解答】解：如圖：∵∠ABC＝∠CBD，且都為底角，∴△ABC∽△CBD，∴，即：，整理得：a2﹣ab﹣b2＝0，即：，解得或（舍去），因此．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、解一元二次方程以及整體思想，根據(jù)相似列出比例式是解題的關(guān)鍵．24．（2023?池州三模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是邊AC上一點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的一條直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板．?（1）判斷：△ABC為鈍角三角形（填“銳”“直”或“鈍”）角三角形；（2）如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是3≤AP＜4．【分析】（1）由AC2+BC2＜AB2，可以判斷△ABC為鈍角三角形，（2）分情況討論，由相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可解決問題．【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＜AB2，∴△ABC為鈍角三角形，故答案為：鈍角三角形．（2）當(dāng)過P（不與A、C重合）的直線與BC或AB平行時(shí)，得到兩種符合題意的情況，顯然此時(shí)0＜AP＜4；當(dāng)過P的直線與BC不平行，與AB交于D，∴△APD∽△ABC，顯然此時(shí)0＜AP≤4，當(dāng)過P的直線與AB不平行，與BC交于E，∴△CPE∽△CBA，∴PC：BC＝CE：AC，設(shè)AP＝x，則PC＝4﹣x，∴（4﹣x）：2＝CE：4，∴CE＝8﹣2x，∵，∴3≤x＜4，∴AP長的取值范圍是3≤AP＜4．故答案為：3≤AP＜4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．七．相似三角形的判定（共6小題）25．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝135°，BC＝2；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上，利用勾股定理即可求出線段BC的長；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明△ABC與△DEF相似．【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，BC＝＝＝2；故答案為：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．證明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠ABC＝∠DEF．∵AB＝2，BC＝2，F(xiàn)E＝2，DE＝∴＝＝，＝＝．∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個(gè)三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．26．（2023?蕭縣一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是（）A．AB2＝AD?AC B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．＝【分析】利用相似三角形的判定依次判斷可求解．【解答】解：A、若AB2＝AD?AC，則，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故選項(xiàng)A不符合題意，B、若∠ADB＝∠ABC，且∠A＝∠A，則△ADB∽△ABC，故選項(xiàng)B不符合題意，C、若∠ABD＝∠C，且∠A＝∠A，則△ADB∽△ABC，故選項(xiàng)C不符合題意，D、若，無法證明△ADB∽△ABC，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．27．（2023?霍邱縣一模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AD上，過點(diǎn)Q作QE⊥AP于點(diǎn)E，連接PQ，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：?（1）AP＝2；（2）當(dāng)△QEP∽△ABP時(shí)，PQ＝5．【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由相似三角形的性質(zhì)可求EQ＝2EP，∠APB＝∠APQ，由平行線的性質(zhì)可證∠APB＝∠PAD＝∠APQ，可得AQ＝PQ，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE＝EP＝，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP＝2，∴AP＝＝＝2，故答案為：2；（2）∵△QEP∽△ABP，∴，∠APB＝∠APQ，∴EQ＝2EP，∵BC∥AD，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝∠APQ，∴AQ＝PQ，又∵EQ⊥AP，∴AE＝EP＝，∴EQ＝2，∴PQ＝＝＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出AE的長是解題的關(guān)鍵．28．（2023?舒城縣模擬）已知過點(diǎn)B（3，﹣1）的拋物線y＝x2﹣x+c與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、C如圖所示，連結(jié)AC，BC，AB，第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作AM⊥MP交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且△AMP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（11，35）．【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可證∠ACB＝90°，分兩種情況討論，由相似三角形的判定和銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作EM⊥AP于E，∵拋物線y＝x2﹣x+c過點(diǎn)B（3，﹣1），∴﹣1＝﹣+c，∴c＝2，∴點(diǎn)A（0，2），拋物線解析式為y＝x2﹣x+2，當(dāng)y＝0時(shí)，則0＝x2﹣x+2，∴x1＝1，x2＝4，∴點(diǎn)C（4，0），∵點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)B（3，﹣1），∴AC＝2，BC＝，AB＝3，∵AB2+BC2＝20＝AC2，∴∠ABC＝90°，設(shè)點(diǎn)M（m，m2﹣m+2），∴ME＝m，AE＝m2﹣m+2﹣2＝m2﹣m，當(dāng)∠AMP＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠PAM時(shí)，△ACB∽△PAM，∴tan∠ACB＝tan∠PAM＝＝，∴＝，∴m＝，∴點(diǎn)M（，），當(dāng)∠AMP＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠PAM時(shí)，△ACB∽△APM，∴tan∠BAC＝tan∠PAM＝＝，∴＝，∴m＝11，∴點(diǎn)M（11，35），綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）或（11，36）．故答案為：（，）或（11，35）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．29．（2023?雨山區(qū)校級(jí)一模）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．（1）FG＝；（2）當(dāng)△FGH和△ABC相似時(shí)，F(xiàn)H＝或．【分析】（1）過A作AM⊥BC于M交DE于N，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝10，根據(jù)三角形的中位線定理得到DE∥BC，DE＝BC＝5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過A作AM⊥BC于M交DE于N，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE＝BC＝5，∴AN⊥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵FG⊥BC，∴FG＝MN，∵AB?AC＝BC?AM，∴6×8＝10AM，∴AM＝，∵AN＝，∴FG＝MN＝﹣＝，故答案為：；（2）∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠FGH+∠CGH＝90°，∵GH∥AB，∴∠HGC＝∠B，∵∠B+∠C＝90°，∴∠HGC+∠C＝90°，∴∠FGH＝∠C，∵GH∥AB，∴∠CHG＝∠AHG＝∠BAC＝90°，∴∠FHG＜90°，當(dāng)△FGH和△ABC相似時(shí)，∴△FHG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴FH＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．30．（2023?蕭縣三模）如圖，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，連接DE交BC于點(diǎn)M，連接BG交CE于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BG⊥DE B．當(dāng)CN＝EN時(shí)，CN2＝ON?NG C．當(dāng)∠BDE＝∠BCE時(shí)，△BMD∽△BNC D．當(dāng)∠BCE＝60°時(shí)，【分析】說明△DCE∽△BCG，得∠CDE＝∠CBG．再利用三角形內(nèi)角和定理可說明A選項(xiàng)正確；根據(jù)△ONE∽△CNG，得，可知B選項(xiàng)正確；當(dāng)∠BDE＝∠BCE時(shí)，∠BMD≠∠BNC，不能判定△BMD∽△BNC，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)B分別作BP⊥CE于點(diǎn)P，BQ⊥CG于點(diǎn)Q，設(shè)CD＝3m．分別表示出△BCE和△BCG的面積，即可說明D正確．【解答】解：A、∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是矩形，∴∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝∠ECG+∠BCE，∴∠DCE＝∠BCG．又∵，∴△DCE∽△BCG，∴∠CDE＝∠CBG．∴∠CDE+∠DMC＝90°，∠CBG+∠BME＝90°，∴BG⊥DE，故A正確；B、∵BG⊥DE，∴∠EON＝90°，∴∠EON＝∠GCN．∵∠ONE＝∠CNG，∴△ONE∽△CNG，∴，∴NE?CN＝ON?NG．∵CN＝EN，∴CN2＝ON?NG，故B正確；C、當(dāng)∠BDE＝∠BCE時(shí)，∵∠CGN≠∠CDM，∴∠BMD≠∠BNC，∴不能判定△BMD∽△BNC，故C錯(cuò)誤；D、如圖，過點(diǎn)B分別作BP⊥CE于點(diǎn)P，BQ⊥CG交GC的延長線于點(diǎn)Q，設(shè)CD＝3m．∵，∴．∵∠BCE＝60°，∴∠BCQ＝30°，∴，，∴，，∴，故D正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．八．相似三角形的判定與性質(zhì)（共17小題）31．（2023?霍邱縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若，AB＝4，則的值為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)勾股定理求得BC的長度，然后根據(jù)CD⊥AB得出∠BCD＝∠A，繼而可求得＝tan∠BCD的值．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，則＝tan∠BCD＝tanA＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊是解題的關(guān)鍵．32．（2023?包河區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值是（）?A． B． C． D．【分析】在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)DE＝DC，可得，再由AB∥CD得到△ABF∽△CEF，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．33．（2023?宣城模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，且＝，過點(diǎn)D的切線EF交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)AD，OE交于點(diǎn)G．（1）求證：AE⊥EF；（2）若，⊙O的半徑為2，求BF的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)推出∠ODF＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠CAD＝∠ODA，則OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義即可得解；（2）根據(jù)題意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴∠ODF＝90°，∵＝，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∴∠AEF＝∠ODF＝90°∴AE⊥EF；（2）解：∵∠CAD＝∠ODA，∠AGE＝∠OGD，∴△OGD∽△EGA，∴，∵∠AEF＝∠ODF，∠F＝∠F，∴△ODF∽△AEF，∴，∵AB＝2OB＝4，∴，∴BF＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2023?無為市三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF交DB的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為A．（1）求證：AE＝AF；（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的長．【分析】（1）由點(diǎn)B為的中點(diǎn)，可得∠CDB＝∠ADB，根據(jù)AB為⊙O的直徑，有∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，又AF是⊙O的切線，AD為⊙O的直徑，有∠F＝90°﹣∠ADB，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）由∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，得AD＝8，由等面積法得AB＝，由勾股定理得BD＝＝，BE＝＝，即DE＝BD﹣BE＝．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴＝，∴∠CDB＝∠ADB，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，∵AF是⊙O的切線，AD為⊙O的直徑，∴∠DAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ADB，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）解：∵∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，∴AD＝＝8，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴2S△ADF＝AD?AF＝DF?AB，∴AB＝＝，在Rt△ABD中，BD＝＝，由（1）知AE＝AF＝6，在Rt△ABE中，BE＝＝，∴DE＝BD﹣BE＝．答：DE的長為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及勾股定理、等面積法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練應(yīng)用勾股定理解決問題．35．（2023?全椒縣二模）如圖，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的頂點(diǎn)A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點(diǎn)E恰好落在邊BC上（與B、C不重合），連接BD．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB與DE相交于點(diǎn)F，求證：CE?BE＝CA?BF；（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，請(qǐng)畫出符合條件的圖形，并求DE的長．【分析】（1）先證明∠DAB＝∠EAC，再證明△ABD≌△ACE（SAS），從而可得結(jié)論；（2）先證明∠C＝∠ABC，∠CAE＝∠BEF，可得△CAE∽△BEF，則，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意先畫圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，求解，結(jié)合，可得，，證明，在Rt△AEM中，，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）證明：∵AB＝AC，∴，∠C＝∠ABC，∵AD＝AE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠ACB＝∠AED，∴∠CAE+∠ACE＝∠BEF+∠AEF，∴∠CAE＝∠BEF，∴△CAE∽△BEF，∴，∴CE?BE＝CA?BF；（3）解：如圖即為所畫，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴，∵，∴，，∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM＝CM，∴，，在Rt△AEM中，，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝90°，∵，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟悉基本圖形，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．36．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）已知正方形EFGH的邊EF在△ABC的邊BC上，點(diǎn)G、H分別在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，則AB+AC的最小值為（）A． B． C． D．10【分析】過點(diǎn)A作AM⊥BC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出AM＝3，作直線l∥BC，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AM⊥BC，∵S正方形EFGH＝4，∴EF＝GF＝HG＝HE＝2，GH∥BC，∴△AHG∽△ACB，∴＝＝，∴＝，∵GF∥AM，∴△BGF∽△BAM，∴＝＝，∴AM＝3，作直線l∥BC，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)A，此時(shí)AB+AC＝AB+AD＝BD取得最小值，∴CD＝2AM＝6，∴BD＝＝6，∴AB+AC的最小值為6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．37．（2023?黃山二模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，作OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，若AB＝4，CD＝6，則OM﹣EF值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定方法得到OM∥AB∥CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OM＝，根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝EG﹣FG＝1，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，∴OM∥AB∥CD，∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，＝，∴+＝＝1，∴OM＝，∵EF⊥BC，∴EG∥AB∥CD，∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE，∴BG＝CG，∴CF＝AF，∴EG＝CD＝3，F(xiàn)G＝AB＝2，∴EF＝EG﹣FG＝1，∴OM﹣EF＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥DE交AB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（）A．AG＝GF B． C． D．【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，判定△DCF∽△EAF，得到DF：FE＝DC：AE＝2，可得B不符合題意；結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)得到AE＝EF，再根據(jù)等腰直角三角形的判定確定△EFG為等腰直角三角形，得EF＝FG，GE＝EF，求出AG可得選項(xiàng)A不符合題意；求出AG+FG＝EF，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出DG＝EF，可得選項(xiàng)C不符合題意；根據(jù)前面得出，AG＝EF，GE＝EF，求得AG＝AE，再根據(jù)AE＝DC，得出AG＝DC，由此得出結(jié)論．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合題意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，則AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG為等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合題意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合題意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何綜合，涉及到矩形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理求線段長、相似的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求出各個(gè)線段，按照選項(xiàng)判定各個(gè)線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵39．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，正方形ABCD和正方形BPQR有重疊部分，R點(diǎn)在AD上，CD與QR相交于S點(diǎn)，若正方形ABCD和正方形BPQR的邊長分別為4和5，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根據(jù)面積公式求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為4，正方形BPQR的邊長為5，在Rt△ABR中，AB＝4，BR＝5，由勾股定理得：AR＝3，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝∠BRQ＝90°，∴∠ABR+∠ARB＝90°，∠ARB+∠DRS＝90°，∴∠ABR＝∠DRS，∵∠A＝∠D，∴△ABR∽△DRS，∴＝，∴＝，∴DS＝∴陰影部分的面積S＝S正方形ABCD﹣S△ABR﹣S△RDS＝4×4﹣×4×3﹣××1＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出△ABR和△RDS的面積是解此題的關(guān)鍵．40．（2023?天長市校級(jí)二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上的點(diǎn)，連接EF，EF⊥FG且EF＝FG．?（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：DG＝BE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，而∠EFG＝90°，則∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，即可證明△AEF≌△DFG，得AF＝DG，AE＝DF，則BE＝AF，所以DG＝BE；（2）作GH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，可證明△HFG≌△ABF，則HF＝AB＝AD，HG＝AF，可推導(dǎo)出HD＝AF，則HG＝HD，所以∠HDG＝∠HGD＝45°，則∠MGN＝∠MDG＝45°，而∠GMN＝∠DMG，即可證明△MGN∽△MDG，得＝，所以MG2＝MN?MD．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，在△AEF和△DFG中，，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AB﹣AE＝AD﹣DF，∴BE＝AF，∴DG＝BE．（2）如圖2，作GH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，則∠H＝∠A＝90°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF⊥FG且EF＝FG，∴BF⊥FG，BF＝FG，∴∠BFG＝90°，∴∠HFG＝∠ABF＝90°﹣∠AFB，在△HFG和△ABF中，，∴△HFG≌△ABF（AAS），∴HF＝AB＝AD，HG＝AF，∴HF﹣DF＝AD﹣DF，∴HD＝AF，∴HG＝HD，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∵∠MDH＝90°，∴∠MDG＝45°，∵∠MGN＝∠GBF＝45°，∴∠MGN＝∠MDG，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴＝，∴MG2＝MN?MD．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解直角的關(guān)鍵．41．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上．以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑作⊙D與AB相切于點(diǎn)F，已知∠CED＝∠ABC．（1）求證：BD＝ED；（2）連接AD，若AC＝6，AB＝10，求線段AE的長．【分析】（1）連接DF，根據(jù)⊙D與AB相切于點(diǎn)F得到DF⊥AB，結(jié)合∠C＝90°，即可得到∠DFB＝∠DCE＝90°，結(jié)合∠CED＝∠ABC，DC＝DF，得到△DFB≌△DCE（AAS），即可得到證明；（2）根據(jù)DC＝DF，AD＝AD得到Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），即可得到AC＝AF，結(jié)合AC＝6，AB＝10即可得到BF，即可得到答案；【解答】（1）證明：連接DF，∵⊙D與AB相切于點(diǎn)F，∴DF⊥AB，∴∠DFB＝∠DCE，又∠CED＝∠ABC，DC＝DF，∴△DFB≌△DCE（AAS），∴BD＝ED；（2）解：在Rt△ADC和Rt△ADF中，∵DC＝DF，AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝10，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，由（1）△DFB≌△DCE，∴CE＝FB＝4，∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2；【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等的性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．42．（2023?天長市校級(jí)三模）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)E在AB邊上，EM垂直平分AD，垂足為M；EN垂直平分BC，垂足為N，若∠BAD＝∠ABC，求證：AC＝BD；（3）如圖3，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，EF兩端延長分別交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面積分別為S1，S2，直接寫出的值．?【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BAC＝∠ABO＝36°，根據(jù)角平分線的定義可知∠DAC＝∠BAC，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠ACD＝∠ABD，從而可得∠ACD＝∠BAC即可證明AB∥CD；（2）連接EC，ED，根據(jù)線段的垂直平分線得到EA＝ED，EB＝EC，再證明∠AEC＝∠DEB，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到AG＝CP，BH＝DQ，再利用平行線的性質(zhì)得到∠CPH＝∠DIQ，∠CHP＝∠DQG，進(jìn)而得到△CHP∽△DQG，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解得．【解答】（1）證明：設(shè)∠BAC＝∠CAD＝α，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝2α，∵AD＝AO，∴∠AOD＝∠ADO＝2α，在△AOD中，5α＝180°，∴α＝36°，∠AOD＝72°，∵∠AOD＝∠OAB+∠OBA，∴∠ABO＝36°，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，在△ACD和△ABO中，，∴△ACD≌△ABO（SAS