廣東省清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)

廣東省2025屆高三摸底測(cè)試（8月份）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效.4.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，那么（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.24.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于5.移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來(lái)了方便.某種移動(dòng)社交軟件平臺(tái)，既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交流，又可供多個(gè)用戶建立一個(gè)“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系）共同交流.如果某人在平臺(tái)上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，現(xiàn)有一個(gè)10人的“群”，其中一人在平臺(tái)上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說(shuō)看到了，那么這個(gè)“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)系的情況可能有（）A.56種 B.120種 C.84種 D.210種6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（）A1 B. C. D.－17.已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是A. B.C. D.8.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，對(duì)任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（）A. B. C. D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為C.若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為，則的最小值為D.函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為?211.定義域是復(fù)數(shù)集子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)．給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)，通過(guò)計(jì)算公式，可以得到一列值．如果存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱為的收斂點(diǎn)；否則，稱為的發(fā)散點(diǎn)．則下列選項(xiàng)中是的收斂點(diǎn)的是（）A. B. C. D.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，若成等差數(shù)列，則角的取值范圍是__________.13.中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________.14.袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望__________．四?解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，向量與共線，且.（1）求角（2）求函數(shù)的值域.16.如圖，已知四邊形和四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且它們所在的平面互相垂直.兩點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且.（1）當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.17.一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.（1）請(qǐng)用上述定義證明反比例函數(shù)圖象是雙曲線；（2）利用所學(xué)的知識(shí)，指出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程；（3）我們知道，雙曲線上任意一點(diǎn)到與的距離之積是常數(shù)，即.探討雙曲線上的任意一點(diǎn)是否有類似結(jié)論，若有，寫(xiě)出結(jié)論并證明；若沒(méi)有，則說(shuō)明理由.18.冬奧會(huì)的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強(qiáng)國(guó)的熱情，掀起了青少年鍛煉身體的熱潮.某校為了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為合格.若高三年級(jí)“不合格”的人數(shù)不超過(guò)總?cè)藬?shù)的5%，則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對(duì)高三年級(jí)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）（1）求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s；（2）假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，），用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)，高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)是否“合格”；（3）為增強(qiáng)趣味性，在體能達(dá)標(biāo)跳繩測(cè)試項(xiàng)目中，同學(xué)們可以向體育特長(zhǎng)班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場(chǎng)挑戰(zhàn)賽都采取七局四勝制.積分規(guī)則如下：以4:0或4:1獲勝隊(duì)員積4分，落敗隊(duì)員積0分；以4:2或4:3獲勝隊(duì)員積3分，落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體育生王強(qiáng)每局比賽獲勝的概率均為，求王強(qiáng)在這輪比賽中所得積分為3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.附：①n個(gè)數(shù)的方差；②若隨機(jī)變量Z～N（μ，），則，，.19.對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．廣東省2025屆高三摸底測(cè)試（8月份）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效.4.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：D.2.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積定義即可求解.【詳解】因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可求值.【詳解】由及，得.所以，所以.故選：A4.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于【答案】B【解析】【分析】假設(shè)得到矛盾，確定與相交，設(shè)，過(guò)直線一點(diǎn)，作，設(shè)與確定的平面為，根據(jù)，得到答案.【詳解】若，則由平面，平面，可得，這與m，n是異面直線矛盾，故與相交，A錯(cuò)誤；設(shè)，過(guò)直線一點(diǎn)，作，設(shè)與確定的平面為.因?yàn)?，所以，又，與相交，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，，又與相交，，所以，又因?yàn)?，，所以l與a不重合，所以，B正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，C錯(cuò)誤.故選：B.5.移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來(lái)了方便.某種移動(dòng)社交軟件平臺(tái)，既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交流，又可供多個(gè)用戶建立一個(gè)“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系）共同交流.如果某人在平臺(tái)上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，現(xiàn)有一個(gè)10人的“群”，其中一人在平臺(tái)上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說(shuō)看到了，那么這個(gè)“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)系的情況可能有（）A.56種 B.120種 C.84種 D.210種【答案】C【解析】【分析】簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題，直接求解就可以了.【詳解】由于“群里”總共10人，其中1人發(fā)了信息，3人能看到信息，所以這9人中有3人與發(fā)信息的人是好友，所以“好友”關(guān)系的可能情況有（種）.故選：C6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（）A.1 B. C. D.－1【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷極值點(diǎn)，求得極大值.【詳解】由由題意得,故，則，所以，令，則，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取得極大值為，故選：A.7.已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】【分析】

由消去y整理得，設(shè)，則．過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，則．對(duì)于A，，不為定值，故A不正確．對(duì)于B，，不為定值，故B不正確．對(duì)于C，，為定值，故C正確．對(duì)于D，，不為定值，故D不正確．選C．點(diǎn)睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)M滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|＝d，有關(guān)距離、最值、弦長(zhǎng)等是考查的重點(diǎn)；（2）利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．8.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，對(duì)任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】由，得且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．由對(duì)任意，，均有，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增．又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閍，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，所以，解得，且，即．又，令，則，則由，得，所以．綜上，t的取值范圍是.故選：D．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)Mx,y，求出和，每個(gè)選項(xiàng)代入公式判斷.【詳解】設(shè)Mx,y，則，當(dāng)時(shí)，即，有，故A正確；當(dāng)時(shí)，有，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即顯然不是橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為C.若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為，則的最小值為D.函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為?2【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象，先求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步可求的解析式，通過(guò)函數(shù)性質(zhì)的分析逐項(xiàng)進(jìn)行判定.【詳解】由圖象可知，設(shè)的最小正周期為，又，解得，由圖可得，又，所以，即，因此，所以.即可得，故A正確；令（，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，故B錯(cuò)誤；令，即可得，解得，可得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C正確；易知，因此存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處切線斜率為?2，故D正確.故選：ACD11.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)．給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)，通過(guò)計(jì)算公式，可以得到一列值．如果存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱為的收斂點(diǎn)；否則，稱為的發(fā)散點(diǎn)．則下列選項(xiàng)中是的收斂點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)計(jì)算公式結(jié)合收斂點(diǎn)的定義判斷即可.【詳解】對(duì)A，由可得數(shù)列，，，…不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由可得數(shù)列，，，…則存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，滿足題意，故B正確；對(duì)C，由可得數(shù)列，，，…不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由可得數(shù)列…因?yàn)?，存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，滿足題意，故D正確；故選：BD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，若成等差數(shù)列，則角的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)以及正弦定理得到，運(yùn)用余弦定理和重要不等式即可求解.【詳解】由等差中項(xiàng)公式和正弦定理得，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又B∈0,π及在0,π內(nèi)單調(diào)遞減，故故答案為：13.中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________.【答案】28【解析】【分析】令四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，由四個(gè)三棱柱的體積之和與四個(gè)四棱錐的體積之和，可得和，則有，求出中間長(zhǎng)方體的體積，即可得該正四棱臺(tái)的體積.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，依題意，四棱錐的體積為，即，三棱柱的體積為，即，因此于是長(zhǎng)方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為.故答案為：2814.袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望__________．【答案】##1.5【解析】【分析】由古典概型概率計(jì)算公式列方程求得黑球個(gè)數(shù)，從而可根據(jù)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解.【詳解】若黑球數(shù)小于，則至少得到一個(gè)白球的概率為1，矛盾，設(shè)有個(gè)黑球，則，解得滿足題意，由題意白球的個(gè)數(shù)為X服從超幾何分布，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.故答案為：.四?解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，向量與共線，且.（1）求角（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而得，即可求解.（2）根據(jù)余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化簡(jiǎn)得，然后根據(jù)輔助角公式得，進(jìn)而根據(jù)角的范圍就可求解值域.【小問(wèn)1詳解】由題意，知，整理，得，即，解得.已知為的內(nèi)角，所以，由，知為銳角，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）及題意知，所以又，所以，所以，因此，故函數(shù)的值域?yàn)?16.如圖，已知四邊形和四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且它們所在的平面互相垂直.兩點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且.（1）當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證線線平行，推出線面平行.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法解決問(wèn)題.小問(wèn)1詳解】如圖：連接，分別為的中點(diǎn)，，又平面平面.平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?又四邊形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面.，平面，所以所在直線兩兩垂直.故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,.，.時(shí)，.當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，所以.取的中點(diǎn)，連接，則.為的中點(diǎn)，，即是平面與平面所成二面角.設(shè)平面與平面的夾角為...所求夾角的余弦值為.17.一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.（1）請(qǐng)用上述定義證明反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；（2）利用所學(xué)的知識(shí)，指出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程；（3）我們知道，雙曲線上的任意一點(diǎn)到與的距離之積是常數(shù)，即.探討雙曲線上的任意一點(diǎn)是否有類似結(jié)論，若有，寫(xiě)出結(jié)論并證明；若沒(méi)有，則說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）焦點(diǎn)：；準(zhǔn)線：和（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判定函數(shù)的圖象是雙曲線.（2）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱軸平分雙曲線的漸近線求焦點(diǎn)坐標(biāo).（3）采用類比的方法猜測(cè)結(jié)論，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式證明.小問(wèn)1詳解】證明：觀察圖象可知若函數(shù)的圖象是雙曲線，則它一定是等軸雙曲線，且軸?軸是圖象的漸近線，直線是雙曲線的對(duì)稱軸，它與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng).兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)Px,y在函數(shù)的圖象上，則，即，（i）當(dāng)時(shí)，，所以.（ii）當(dāng)時(shí)，從而，同理，有.因此，無(wú)論點(diǎn)Px,y在第一象限或者在第三象限，均有||（小于）.綜上，函數(shù)的圖象是雙曲線.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的圖象是以為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，兩漸近線方程分別為和.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榕c是雙曲線的兩條漸近線，有.類似地：雙曲線上的任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù).證明：設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，則有.雙曲線的漸近線方程為.于是點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，結(jié)論成立.18.冬奧會(huì)的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強(qiáng)國(guó)的熱情，掀起了青少年鍛煉身體的熱潮.某校為了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為合格.若高三年級(jí)“不合格”的人數(shù)不超過(guò)總?cè)藬?shù)的5%，則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對(duì)高三年級(jí)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）（1）求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s；（2）假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，），用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)，高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)是否“合格”；（3）為增強(qiáng)趣味性，在體能達(dá)標(biāo)的跳繩測(cè)試項(xiàng)目中，同學(xué)們可以向體育特長(zhǎng)班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場(chǎng)挑戰(zhàn)賽都采取七局四勝制.積分規(guī)則如下：以4:0或4:1獲勝隊(duì)員積4分，落敗隊(duì)員積0分；以4:2或4:3獲勝隊(duì)員積3分，落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體