高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第8章第04節(jié)空間中的垂直關(guān)系

第四節(jié)空間中的垂直關(guān)系考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2017·全國卷Ⅲ·T10·5分線面垂直的判定直觀想象邏輯推理2016·全國卷Ⅰ·T18·12分線面垂直的證明與體積的計(jì)算2015·全國卷Ⅰ·T18·12分面面垂直的證明與側(cè)面積的計(jì)算命題分析從近幾年高考來看，線面垂直是必考點(diǎn)，常與體積、距離、側(cè)面積等綜合考查，考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化的思想方法，難度適中.1．直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．(2)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))?l⊥α性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))?β⊥α性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))?AB⊥α3．二面角二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角提醒：辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交．(2)注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”．(3)注意對(duì)平面與平面垂直性質(zhì)的理解．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．()(3)若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行．()(4)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材習(xí)題改編)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m解析：選A∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．3．“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件．4．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB5．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對(duì)．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7對(duì)．答案：7直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[明技法]判定線面垂直的四種方法[提能力]【典例】(2016·全國卷Ⅱ改編)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq\r(10).求證：D′H⊥平面ABCD.證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.[刷好題]如圖，在三棱錐P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求證：CP⊥PA；(2)若過點(diǎn)A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因?yàn)镃P平面PBC，所以CP⊥AB.又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB平面PAB，PB平面PAB，所以CP⊥平面PAB.又PA平面PAB，所以CP⊥PA.(2)在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D.因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.因?yàn)閘eq\o(?,/)平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)[明技法]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．2．在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．[提能力]【典例】菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，F(xiàn)D⊥平面ABCD，F(xiàn)D＝eq\r(3).(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)求證：平面ACF⊥平面BDF.證明：(1)如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，∴EH＝eq\r(3).∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，F(xiàn)D＝eq\r(3)，∴FD∥EH，F(xiàn)D＝EH.∴四邊形EHDF為平行四邊形．∴EF∥HD.∵EFeq\o(?,/)平面ABCD，HD平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)∵FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴FD⊥AC，又四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD＝D，∴AC⊥平面FBD，又AC平面ACF，從而平面ACF⊥平面BDF.[刷好題](2018·濟(jì)寧月考)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝PC，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.(1)求證：PB∥平面ACE；(2)求證：平面PBC⊥平面PAC.證明：(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，∵底面ABCD是平行四邊形，∴O為BD中點(diǎn)，又E為PD中點(diǎn)，∴OE∥PB，又OE平面ACE，PBeq\o(?,/)平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵PA＝PC，O為AC中點(diǎn)，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，∴PO⊥BC.在△ABC中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(22＋12－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴AC2＝AB2－BC2，∴BC⊥AC.又PO平面PAC，AC平面PAC，PO∩AC＝O，∴BC⊥平面PAC，又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.空間位置關(guān)系的綜合問題[明技法]空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化路線圖線線平行(垂直)、線面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空間中三種基本平行(垂直)關(guān)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：[提能力]【典例】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說明理由．(1)證明：因?yàn)镻C⊥平面ABCD，DC平面ABCD.所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)證明：因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解：棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF.理由如下：如圖，取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻Aeq\o(?,/)平面CEF，且EF平面CEF，所以PA∥平面CEF.[刷好題](2018·濰坊模擬)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1－BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．(1)證明：在題圖(1)中，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在題圖(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(