2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)-862 直線與平面垂直

?8.62直線與平面垂直

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線與平面垂直的判定及性質(zhì)

L設(shè)l,m是兩條不同的直線分是一個(gè)平面,則下列命題正確的是)

A.若/±也機(jī)UQ,則l.La

B.若/_La,l//口則mla

C.若/〃a,機(jī)ua,則I//m

D.若I//a,m//。，則I//m

2.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，尸。，平面ABC.BOVAC.BO的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)

。，則圖中與AC垂直的直線有)

A.1條B.2條

3.（多選）（2021江蘇南京金陵中學(xué)期中）在正方形43co中,E,F分別是BC.CD的中

點(diǎn),AC與EF交于點(diǎn)G,如圖1,現(xiàn)在沿AE4/7及E/把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖

形，使BC,。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為",如圖2,那么在這個(gè)空間圖形中有（）

圖1

A.AGJ_平面EFHB.A〃_L平面EFH

C.EFJ_平面4G”D.”GJ_平面AM

4.如圖所示,A8是。O的直徑,C是圓周上不同于A.B的任意一點(diǎn),R41平面ABC,

則四面體P-ABC的四個(gè)面中,直角三角形有個(gè).

p

5.如圖,P為所在平面外一點(diǎn)，雨，平面ABC,LABC^Q°,AELPB于

&4F，尸。于F.求證:

⑴BC_L平面PAB；

⑵AE_L平面PBC,

⑶PC_L平面A￡K

6.（2022遼寧沈陽(yáng)二十八中月考）如圖,四棱柱ABCQ-ABCD的底面四邊形ABCD

是菱形，且乙GC3二4GCD二4BC。二60：當(dāng)分的值為多少時(shí),4。，平面CiBD?

CC1

I)

題組二直線與平面所成的角

7.（2021山西名校聯(lián)盟期末）在長(zhǎng)方體43CO-A囚GO中,45二3。二2,44尸1,貝1」AC\

與平面AiBiCiDi所成角的正弦值為（）

A.—B-C.—D.-

3343

8.（2022江西安福中學(xué)段考）日皆是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與劈面垂直

的辱針投射到辱面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間,把地球看成一個(gè)球（球心記為O）,地球上一

點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且

與OA垂直的平面.在點(diǎn)4處放置一個(gè)日唇,若唇面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的

緯度為北緯30：則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）

A.15。B.30。C.60°D,90°

9.（2022江西贛州教育發(fā)展聯(lián)盟聯(lián)考）在四棱錐P-ABCD中,%，平面A3CO,底面

ABCD是正方形，且以二A3=2,則直線PB與平面PAC所成的角為.

10.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面

ABCD,E,F分別為AB.SC的中點(diǎn).

（1）證明:ECD；

⑵若SO=8,求直線EF與平面ABCD所成角的正弦值.

Di-i-X-X

題組三空間距離

11.（2022北京豐臺(tái)期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCQ-48Goi中,E為棱AI1的中

點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面BGDi的距離為

A.V2B.—C-D.—

224

12.（2020安徽宿州十三所重點(diǎn)中學(xué)期末）如圖,四面體A-BCD中,兩兩垂

^.,BC=BD=2,E是CD的中點(diǎn)，若直線AB與平面ACD所成角的正弦值為*則點(diǎn)B

到平面ACO的距離為

13.（2021江蘇徐州第三中學(xué)月考）在長(zhǎng)方體ABCD-AxBiCiDi中,M,N分別為

CiDhAB的中點(diǎn),48=4,則MN到平面BCCB的距離為

14.如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-ABC。］中:

⑴求證：4A〃平面BBQiD；

⑵若48二4,4。=3,求AN到平面BBQiD的距離.

能力提升練

題組一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)P367定點(diǎn)1

1.（2022北京門頭溝期末）如圖,在下列四個(gè)正方體中AB為正方體的兩個(gè)頂

點(diǎn)、,M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則直線AB與平面MNQ不垂直的是()

2.（2021重慶縉云教育聯(lián)盟期末）如圖,三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)

P在底面A3c上的射影O為3c的()

A.內(nèi)心B.外心C重心D.垂心

3.（2021浙江金華十校高考數(shù)學(xué)模擬）在四面體中MB二世乃03。=2,AB_L

平面BCD.BE1AC于E,BF1AD于七則()

A.AC可能與E尸垂直,的面積有最大值

B.AC不可能與所垂直,的面積有最大值

CAC可能與E尸垂直,△3E尸的面積沒有最大值

D.AC不可能與E尸垂直,△5EF的面積沒有最大值

4.（2020陜西榆林期末）如圖，在ZkABC中分別為AB.AC邊的中點(diǎn)，且

=2,現(xiàn)將△AOE沿DE折起，使得A到Ai的位置，且4408=601則

A\C-.

5.（2022山東荷澤東明第一中學(xué)月考）如圖，在直三棱柱ABC-A^Ci

中,AC二二1,4AC5=90：。是AiB的中點(diǎn)，點(diǎn)”在BB、上.

⑴求證:平面AA加成

⑵在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使ASJ.平面C0F?并證明你的結(jié)

論.

①尸為38的中點(diǎn);②AB尸國(guó);③A4尸魚.

題組二直線與平面所成的角-368定點(diǎn)2

6.（2020四川樂(lè)山期末）在△A8C中，/AC8=90?是BC的中點(diǎn)，布，平面ABC,如

果PB/C與平面A5c所成的角分別為30%60：那么尸。與平面4BC所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.（多選）（2022廣東普寧期末）在正方體ABCD-AiBiCiDi中方是棱BICI的中點(diǎn)產(chǎn)

是線段C9上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)命題中是真命題的有（）

A.BAi與平面ABCD所成的角是45。

B.異面直線AG與5尸所成的角是定值

C三棱錐B-AxEF的體積是定值

D.直線AxF與平面B）CD）所成的角是定值

8.（2021江蘇南京寧海中學(xué)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CQ-ABGU中,E,F

分別是棱8C,CG的中點(diǎn),P是側(cè)面BCGS內(nèi)一點(diǎn)，若4P〃平面AEF,則點(diǎn)P的軌

跡長(zhǎng)度為直線AyP與平面BCCiBi所成角的正切值的取值范圍

是.

9.（2022湖北武漢第一中學(xué)月考）如圖，在三棱錐P-ABC中,△B4C是正三角

形,AC,3cAe是A3的中點(diǎn).

（1）求證:AC_LP￡）；

⑵若4。二8。二尸。二2,求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.

DB

題組三空間距離

10.（2020浙江鎮(zhèn)海中學(xué)月考）已知正四棱柱ABCD-AxBxQDx中,AB=2,CC尸2魚,E

為CG的中點(diǎn)，則直線ACi到平面BED的距離為（）

A.2B.V3C.V2D.1

11.（多選）（2022廣東廣州培英中學(xué)月考）正方體ABCD-A^B^C^D^的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P

在正方體的體對(duì)角線D山上（包括端點(diǎn)），點(diǎn)Q在正方體的棱CG上（包括端點(diǎn)），則

（）

A.直線D\B與CCi的距離為2

B.點(diǎn)P在DxB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),|PQ|的最小值為魚

C.當(dāng)P.Q分別為DiB,CCi的中點(diǎn)時(shí),PQ到平面ABCD的距離為1

D.當(dāng)點(diǎn)Q在棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在DiB上運(yùn)動(dòng)時(shí),存在點(diǎn)P,使得平面BDDiBi

12.（2022江西吉安期末）如圖，在三棱錐P-ABC^,PA=PB=PC,ABLBC,D是棱AC

的中點(diǎn)，

（1）求證/。_1_5。；

⑵若43二2/,以5。=4,點(diǎn)E在棱BC上，且BE=2EC,求點(diǎn)、C到平面PDE的距離.

P370定點(diǎn)3

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B對(duì)于A,l還可能在a內(nèi),或/與雄斗交;對(duì)于B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和平行

線的性質(zhì)可知B正確;對(duì)于C/即還可能異面;對(duì)于還可能相交或異面.

易錯(cuò)警示

當(dāng)/與平面訥的一條直線垂直時(shí)，不能保證/與平面懣直;當(dāng)I與平面壞垂

直時(shí),/可能與的的無(wú)數(shù)條平行直線垂直.要注意〃直線垂直于平面內(nèi)的所有直線〃

的說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線〃不是一回事.

2.DPO_L平面A5cAeu平面ABC.PO1AC.

又AC_L80,且BOAPO=0,

?,.AC1平面PBD,/.直線PB,PD,PO,BD都與AC垂直.故與AC垂直的直線有4條

3.BC由題意知，題圖2中AH1HE,AH1HF,

根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AH1平面EFH,/.B正確；

過(guò)點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直,??.A不正確；

易知AG±EF.AH±EF,AGAAH=A,/.EFL平面AGH,AC正確；

HG與AG不垂直,HG與平面AEF不垂直,D不正確

故選BC.

4.答案4

解析,.乂8是圓0的直徑,??./AC8=901即ZXABC是直角三角形.

?/PA1平面A6CAC,A“Cu平面ABC,

???PAJLAC.PA1AB,PA1BC,

???^PAC.LPAB是直角三角形.

又PAQAC=A,PAtAC^l§iPAC,

3C_L平面PAC,

又PCu平面PAC,「.BC±PC,

???△PBC是直角三角形.

???/\PAB.△%C,△ABC,△PBC都是直角三角形.

5.證明(l)vPA1平面ABC,BCu平面ABC.

PAIBC.

???ZABC=9O%-.AB1BC

又ABQPA=A,/.BCA.平面PAB.

⑵由⑴知BCJ,平面PAB,

又AEu平面PAB,/.BCLAE.

?/PB1AE.BCQPB^B,/.AE1PBC.

(3)由(2)知AE_L平面PBC,

又PCu平面PBC,?.AE1PC.

vAFlPQAEDAF^A,/.PC_L平面AEF.

解析令二時(shí)，能使平面證明如下：

6.CL|1ACG3D

如圖，連接4c,4G,設(shè)AC和BD交于點(diǎn)0,連接G0.

???四邊形ABCD是菱形,?.AC上BD,BC=CD,

又..乙BCC\二乙DCC、,CiC二CiC,

ACiBC^ACiDC

:.C\B-C\D,*.*DO-OB,CxOX.BD,

又ASBDACna。二o,

?,.瓦〃平面A4QC,又ACu平面AAlCiC,

.?.4C_L8。當(dāng)穿二1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形,

同BDlAiC的證法可得8GLAC,又BDCBG二B,

?,.AiC_L平面CiBD.

7.D連接4G.

???4AG4為直線AG與平面所成的角.

,/AA\-\,AB-BC-l,AG=3,

sin乙AGAi=綜1=

8.B解法一：可設(shè)A所在的緯線圈的圓心為O；OO垂直于緯線所在的圓面,由圖可

得乙OH4為唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角，又乙OAO上30咀O4_LA”,在RM0H4

中,0A_LOH..??Z0H4=Z.。4。匕30

解法二:畫出截面圖，如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線,/是點(diǎn)A處的水平

面的截線,

B

由題意可得。411.AB是號(hào)針?biāo)谥本€即是署面的截線，

由題意唇面和赤道面平行，唇針與唇面垂直,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得加〃CD

根據(jù)線面垂直的定義可得45,機(jī)，由于440C=30M〃CD,

...乙O4G二4AOC=30]

由于4OAG+乙GAE=ZBAE+ZGAE=9U°f

???乙8AE=4OAG=30：即暑針與A處的水平面所成角為乙BAE=301

故選B.

9.答案I

解析連接AC,交3。于點(diǎn)O,

?.?PA±平面ABC。,底面ABCD是正方形,

???BDLPA.BDLAC,'：ACHPA^A,

???8O_L平面B4C,即8O_L平面PAC,

連接OP,貝”8P。即是直線PB與平面PAC所成的角,

又...如二48=2,PB=2aBO=V2,

.,.si"8P。=器=薨=6?4BP0=*

10.解析⑴證明:因?yàn)镾D1平面ABCQCQu平面ABC。所以SD1CD.

取C。的中點(diǎn)O,連接EO尸0.

因?yàn)镋,F分別為AB.SC的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，

所以EO//AD.FO//SD,

所以EOJ_C。產(chǎn)O_LCD,

又E0G尸O=O,EO,bOu平面OEF,

所以CQ,平面OEF.

又ER=平面0￡居所以EFLCD.

⑵由(1)可知,FO〃SO,

因?yàn)镾。，平面ABCD,所以尸。，平面ABCD,

所以乙FEO即為直線所與平面ABCD所成的角.

在RtAFEO中,0尸鳥SL>=4,0E=AO=4,乙尸0E二901所以乙在0二45。

所以直線政與平面"CO所成角的正弦值為sin45。二冬

1I.B設(shè)點(diǎn)E到平面8G。的距離為九

Vf-BQ%=唳-E"i，

gp|x|xBC1xC1D1x=ix|xAiDixCiDixBBb

故選B.

12.B連接AE.:AB1BC.AB1BD,BCCBD二B,

*,*ABJ_BCD'

???CQu平面BCD,ABVCD.

???BC=BD,E為CO的中點(diǎn),/.CD1BE.

又CDVAB,ABC\BE-B,ABE,

二?AB在平面ACD上的射影在直線AE上，

^BAE就是直線AB與平面ACD所成的角.

在RtAABE中，由3E二VZsin乙=聶可得4E=39,4?=4.

O

設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h,

x

VABCD=VBACDr**?△BCDxAB=lS^ACDh,

即拉打2乂2乂4=""2/^3/乂力,解得力".故選B.

Oo

13.答案2

解析連接BG,易知MN〃BG,

???5C]U平面平面BCGBi,

二?MM〃平面BCCiBi.

二?MV到平面BCCiBi的距離等于點(diǎn)N到平面BCCiBi的距離，

又點(diǎn)N到平面BCCiBi的距離為NB書AB=2,

二.MN到平面BCCiBi的距離為2.

14.解析⑴證明:在長(zhǎng)方體ABOABC。中,A4i〃38,

又BBiU平面B8QiO,A4i。平面BBDD,

所以AiA〃平面BB\D\D.

⑵由(1)知4A〃平面BBQQ,

則直線AiA上任意一點(diǎn)到平面BBDD的距離都相等.如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH1BD交

BD于H,

D,

邊一…Jc

I，一“I?

Lr「一

易知平面ABC。，

因?yàn)锳Hu平面ABC。所以BByLAH.

因?yàn)?31G30=8,

所以AH_L平面BBiD】D,

即AH的長(zhǎng)為直線4A到平面BBQD的距離.

在△AB。中,48二4/。二3,

貝IJBD=5.

由等面積法得A"二券泮=等二S

所以AiA到平面BBDD的距離為手

解題模板

當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等,都是線面距離，所

以求線面距離的關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.

能力提升練

1.D對(duì)于A,由三垂線定理知AB1MN,AB1NQ,AB1MQ,所以ABJ,平面MNQ；

對(duì)于B,易得ABIA/N/BJLMQ,又MNCMQ二M,

?..AB_L平面MNQ；

對(duì)于C,同B可得ABJL平面MNQ；

對(duì)于D,易得AB與MN所成的角為60。故AB不垂直于平面MNQ.故選D.

2.D連接AO,BO,CO,/PA±PB.PA1PC,PBCPC二P,PB,PCu平面PBC,??.必_L平

面PBC

又3Cu平面PBC,PA1BC.

由題意知P。，平面ABC,

??,BCu平面ABC,；.PO1BC.

又％GPO=P,：,BCL平面PAO,

又OAu平面PAO./.BC1OA.

同理可證ABLOC.ACA.OB,

故。為△43C的垂心.故選D.

3.D彳段設(shè)AC.LEF,/BEIAQEFD=平面BEF./.AC1平面BEF.

???5尸(=平面BEF,.,.AC1BF.

又?.?B/UgACGAOy/Ou平面ACD,

二.BFL平面ACD,BF1CD.

由AB_L平面BCD,得AB1CD,

?/ABAABD,

/.CD±平面ABD,..CD1BD,

而5c二5D=2,故CD與BD不可能垂直，故AC不可能與EF垂直，故A、C錯(cuò)誤.

設(shè)。。=x,xE(0,4),由題意可得易知AC=AD=y/2+4=y[6fBF=

命=嘴=奈反=*=等="&.?.即=1

貝IJB產(chǎn)+B尸-E產(chǎn)二之+得一號(hào)＞0，

Z.FBE為銳角風(fēng)啊二興.x蔣xsin乙FBE=|sinZFBE,

當(dāng)XBEF的面積最大時(shí)，所最大，又一4時(shí),石尸二梟—>.EF沒有最大值,??.△BEF

的面積沒有最大值，故B錯(cuò)誤.故選D.

4普案2左

解析易知。后，3。,。后，4。,因?yàn)??？?。=。所以平面43D

因?yàn)?408=6014。二8。二2,所以43=2.

易知BC〃DE,所以BC1平面A山。，

所以5C,45從而AiC=j22+22=2/2.

5.解析⑴證明:由題意得AC二8G=1,且乙4Gs二90：

二,。是的中點(diǎn),「.C\DA.A\B\,

又A4i±平面45iG,CQu平面431G,??.M_LC\D,

又AiBiGA4I=AI,AI8I,AAIU平面AA\B\B,

??.G￡>J_平面A4山山.

⑵選①③能證明A3」平面GDF.

連接?！?3,如圖所示：

貝IJDF//AiB,^^ABC中,AC=BC二1,4ACB=90：貝IJ48=虎，又441=&,.,?四邊形

AA^B^B為正方形，

A\BA.AB\,DFA.AB\,

*/G。_L平面A4i3iB,ABiU平面AA\B\B,

C\DA-AB\,

又。產(chǎn)AGO=QGDO/u平面CiDF,

平面"CiDF.

選①②不能證明ABil平面CM

連接如圖，

2

貝IJ。尸〃AiB,在△ABC中,AC二5c二1,44。5二90：貝11AB=>/2fAAl=\AB\-AB^\.

???四邊形AAyBxB是長(zhǎng)方形,/.AiB與ABi不垂直，即DF與ABi不垂直，

「.ABi不垂直于平面C\DF.

選②③不能證明A3」平面CyDF.

在IXABC中,AC二3c二1,4ACB=90;貝ljAB二氏,

又ABi=jAB2+AAl=2。月,矛盾，

?二不能證明A8U平面CiDF.

綜上,選①③能證明ABil平面CiDF.

6.B連接易知乙40P是PD與平面ABC所成的角，設(shè)弘二「?以，平面

ABC「PB,PC與平面ABC所成的角分別是30牙口60。,/.LABP=30°,乙AC尸二60。,

；.PB=2ABM,ACT，

「?CD-\BC=|XJ3T=當(dāng),

/.AD=JAC2+CD2=

」.tan乙AOP二弟二1,???AADP=45。,

???PD與平面ABC所成角的大小為45。故選B.

7.ABC對(duì)于A,由題意可得A4U平面ABC。,

??.乙A山A是BAx與平面ABCD所成的角，

四邊形ABB\A\是正方形,AZAiBA=45:故A正確；

對(duì)于B,連接BG,由題意可得AB1平面BCCiBi,

?「BCu平面BCC\B\,^ABLB\C,

又3|C_LBC\tABC\BC\—BiB|C-LABC\t

而AGu平面A3G,3—],同理可證BiDilACi,

??,8Cn8O]二場(chǎng),8C8O]U平面BiCDi,??.AGJ"平面B\CD\,

又8bu平面BiCDi,.-.ACil8尸，故B正確；

對(duì)于C,VB^EF=聯(lián)一叫尸,?.?E為BC的中點(diǎn),△B4F在平面BA1D.C內(nèi)，

???點(diǎn)石到平面R4QC的距離為定值，而S"力口服。??三棱錐氏4石廠的體

積是定值，故C正確；

對(duì)于D,丁點(diǎn)4到平面BCDi的距離d為定值，設(shè)直線4F與平面B1CD1所成的角

為⑨

則sin戶卷,而線段4F的長(zhǎng)不為定值，

??.直線A.F與平面B.CDi所成的角不是定值，故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

8.答案f;[2,2/2]

解析如圖，分別取棱8即的中點(diǎn)M,N,連接AiMAN,MN,BCi,NE.

D

c

AB

???M,N,E,F分別是其所在棱的中點(diǎn)，

??.MN//BC\,EF//BC\,MN//EF.

???MN。平面1尸u平面AEF,

二?MM〃平面AEF.

易知A4/N&44=NE,?,.四邊形AENAi為平行四邊形,.,.4N〃AE

???AiNC平面AEQAEu平面AEF,

「.AN〃平面AEF.

,:AiNCMN=N,???平面4MN〃平面AEF,

./P是側(cè)面3CGS內(nèi)一點(diǎn)，且AP〃平面AEF,

???點(diǎn)P必在線段MN上,???點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為MN*C1=冬

?「A歸1_L平面BCC\B\,

??.44尸5即為直線4P與平面8CGB所成的角，則tan乙4lPB=鬻.

???點(diǎn)P的軌跡為MN,.??當(dāng)PBJMN時(shí),囪的長(zhǎng)最小，為辛，當(dāng)P與M或N重合時(shí)

,PB1的長(zhǎng)最大，為方

???直線4P與平面BCCB所成角的正切值的最小值為4=2,最大值為*=2區(qū)

2T

???直線4P與平面BCCiBi所成角的正切值的取值范圍是［2,2口］.

9.解析⑴證明:取AC的中點(diǎn)。，連接。P,。。

???。為48的中點(diǎn)1.OO〃BC,

\'AClBCf^ACLOD.

??.AB4C是正三角形,POLAC.

又ponoo=O,「.AC_L平面POD,

??,PDu平面POD,/MCIPD.

⑵解法一:取PA的中點(diǎn)N,連接ON,作OMLAB于點(diǎn)M連接PM,

作OHLPM于點(diǎn)”，連接NH,

???/\PAC為等邊三角形，。刀分別為AC,AB的中點(diǎn),AC=3C=2,

.??尸0二萬(wàn),0。二1,又。。二2,

。。2+0￡>2=小?po±OD,

又POLAC,ACQ0D=0,???P01平面ABC,

?..PO.LAB.

又AB_LOM,POnOM=0,二.A八平面POM,

.?.A8_LOH,又OHIPM,ABCPM二M,

???0"J,平面PAB.

.-0,N分別為AC,%的中點(diǎn),「.ON〃尸C

???PC與平面PAB所成的角即為ON與平面PAB所成的角,

???4。_15。,4。二3。二2,。為4。的中點(diǎn),。加143,

2x2_42

OM今吟"南一7

又PO_LOM,PM=JPO2+OM2=〔3+2=孚

在Rt/\OHN中，。心1,0"=惴=駕=孥，

~2~

」.sin乙OAW=器=聿=亨，

即直線PC與平面PAB所成角的正弦值為早.

解法二:由解法一知P01平面ABC,P0=B,PM=零,48=242,

易知Vp-A配=設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d,

51ljixix2x2x/3=|xix2/2x半xd,解得d=

設(shè)直線尸。與平面鞏B所成的角為8則si