2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2課時(shí) 分式的乘方教學(xué)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)分式的乘方教學(xué)目標(biāo)課題15.2.1第2課時(shí)分式的乘方授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練分式的乘除法法則，能進(jìn)行分式的乘除法混合運(yùn)算.2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的法則，并能運(yùn)用乘方法則進(jìn)行分式的乘方運(yùn)算. 3.經(jīng)歷探索分式的乘方運(yùn)算法則的過(guò)程，并能結(jié)合具體情境說(shuō)明其合理性. 教學(xué)重點(diǎn)分式的乘方運(yùn)算，分式的乘方與乘除法混合運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)分式的乘方與乘除法混合運(yùn)算，分式乘法、除法、乘方運(yùn)算中符號(hào)的確定.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：知識(shí)回顧，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖通過(guò)回憶上節(jié)課的舊知和師生互動(dòng)，引出本課新知，讓學(xué)生體會(huì)到新知是在舊知的基礎(chǔ)上生成的.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分式乘除，我們來(lái)看看下面的計(jì)算對(duì)嗎？如果不對(duì)，應(yīng)該怎樣改正？(1)eq\f(－x,2b)·eq\f(6b,x2)＝eq\f(3b,x)；不對(duì)，改正：原式＝－eq\f(3,x)；(2)eq\f(4x,3a)÷eq\f(a,2x)＝eq\f(2,3).不對(duì)，改正：原式＝eq\f(4x,3a)·eq\f(2x,a)＝eq\f(8x2,3a2).借這個(gè)題我們回憶一下分式乘除法的法則.分式的乘法法則：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).分式的除法法則：eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c)那么你會(huì)計(jì)算eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)嗎？就讓我們一起進(jìn)入今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)吧！【教學(xué)建議】教師出示題目后，可請(qǐng)學(xué)生上去板書(shū)，其他同學(xué)在下面做，待板書(shū)同學(xué)完成后講解和總結(jié)，并引出分式乘除混合運(yùn)算的題.活動(dòng)二：合作交流，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)學(xué)生合作探究完成活動(dòng)一的問(wèn)題，提升學(xué)生自主探究的能力，再通過(guò)例題和練習(xí)鞏固教師總結(jié)的內(nèi)容.探究點(diǎn)1分式的乘除混合運(yùn)算大家小組討論一下eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)如何計(jì)算，然后請(qǐng)一位同學(xué)回答.eq\f(x,y)÷eq\f(y,x)·eq\f(x,y)＝eq\f(x,y)·eq\f(x,y)·eq\f(x,y)＝eq\f(x3,y3).教師總結(jié)：分式的乘除混合運(yùn)算，乘除是同一級(jí)運(yùn)算，如果沒(méi)有其他附加條件(如括號(hào)等)，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算．一般地，乘除混合運(yùn)算可以統(tǒng)一成乘法運(yùn)算.例(教材P138例4)計(jì)算eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x＋3).解：eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x＋3)＝eq\f(2x,5x－3)·eq\f(25x2－9,3)·eq\f(x,5x＋3)＝eq\f(2x2,3).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P139練習(xí)第1題．【教學(xué)建議】教師需強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)，即有學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地以為先算eq\f(y,x)·eq\f(x,y)＝1，再用eq\f(x,y)÷1＝eq\f(x,y)..這是不符合同級(jí)運(yùn)算從左到右的運(yùn)算順序的.教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖通過(guò)提取舊知以及觀察若干特例后，再歸納出分式乘方的運(yùn)算法則．在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)比較、聯(lián)想、探索，從直觀中歸納出理性的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用從特殊到一般的思維方法認(rèn)識(shí)事物.探究點(diǎn)2分式的乘方與乘除混合運(yùn)算問(wèn)題1an表示的意義是什么？其中a表示什么？n表示什么？an中的a可以是數(shù)，也可以是整式，那a可不可以是一個(gè)分式呢？思考根據(jù)乘方的意義和分式的乘法法則，可得：一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，這就是說(shuō)，分式的乘方要把分子、分母分別乘方．例1[教材P139例5(1)]計(jì)算：解：運(yùn)算依據(jù)：步驟①分式的乘方；步驟②積的乘方．問(wèn)題2我們學(xué)過(guò)了有理數(shù)的混合運(yùn)算，大家說(shuō)說(shuō)是先乘方還是先乘除呢？(先乘方，再乘除．)那么分式呢？(式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除．)例2[教材P139例5(2)]計(jì)算：【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】計(jì)算：(1)教材P139練習(xí)第2(1)題．(2)教材P139練習(xí)第2(2)題．(3)【教學(xué)建議】教師需展開(kāi)講一下乘方結(jié)果的符號(hào)問(wèn)題：,分式乘方時(shí)，先確定乘方結(jié)果的符號(hào)，這與實(shí)數(shù)乘方確定符號(hào)的方法相同：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．【教學(xué)建議】分式乘方時(shí)，一定要把分子、分母分別乘方，不要把寫(xiě)成；分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體．【教學(xué)建議】對(duì)于例題，教師需強(qiáng)調(diào)一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，即系數(shù)和符號(hào)不能漏乘.【教學(xué)建議】教師可提示學(xué)生在做混合運(yùn)算時(shí)先確定結(jié)果的符號(hào)，再觀察各個(gè)式子的特征，看看它們分別包含哪些運(yùn)算，然后確定運(yùn)算法則與運(yùn)算順序，最后進(jìn)行計(jì)算．教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)三：知識(shí)升華，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖此例題在上面一個(gè)例題的基礎(chǔ)上加大了難度，也是知識(shí)的補(bǔ)充，意在強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力.例計(jì)算：(eq\f(y－x,x＋y))2÷(x－y)3·eq\f(x2＋2xy＋y2,x－y).解：原式＝eq\f(（x－y）2,（x＋y）2)·eq\f(1,（x－y）3)·eq\f(（x＋y）2,x－y)＝eq\f(1,（x－y）2).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】(eq\f(2x－4y,x＋2y))3·eq\f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq\f(2y－x,x＋2y))2.解：(eq\f(2x－4y,x＋2y))3·eq\f(x2－4xy＋4y2,x2－4y2)÷(eq\f(2y－x,x＋2y))2＝eq\f(8（x－2y）3,（x＋2y）3)·eq\f(（x－2y）2,（x＋2y）（x－2y）)·eq\f(（x＋2y）2,（x－2y）2)＝eq\f(8（x－2y）2,（x＋2y）2).【教學(xué)建議】教師應(yīng)告訴學(xué)生含整式的分式混合運(yùn)算，可以把整式看作分母是1的“分式”，然后依照分式乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算.在觀察式子的時(shí)候，如果將能因式分解的多項(xiàng)式先因式分解，這樣能更快地發(fā)現(xiàn)公因式進(jìn)行約分.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.分式的乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是什么樣的？2.分式乘方的原理是什么？法則是什么？3.分式乘方、乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是什么樣的？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P146習(xí)題15.2第3題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)第2課時(shí)分式的乘方1.分式乘除混合運(yùn)算：按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算 2.分式的乘方法則：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)3.分式的乘方、乘除混合運(yùn)算：先乘方，再乘除教學(xué)反思本節(jié)課先復(fù)習(xí)分式的乘除法，引入分式乘除混合運(yùn)算．在分式乘方的教學(xué)中，通過(guò)回憶乘方的定義，讓學(xué)生利用乘方的定義和分式的乘法法則進(jìn)行具體的計(jì)算，進(jìn)而歸納出分式的乘方法則，再通過(guò)一組練習(xí)強(qiáng)化對(duì)乘方法則的理解和應(yīng)用．本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)運(yùn)算法則的推理過(guò)程占了相當(dāng)多的時(shí)間，因此，對(duì)基本法則的理解和熟練運(yùn)用還有待在后續(xù)的練習(xí)中予以加強(qiáng).解題大招一與分式乘方、乘除混合運(yùn)算有關(guān)的化簡(jiǎn)求值的解法先算乘方再算乘除，將原式化為最簡(jiǎn)分式，再將值代入計(jì)算即可．例1化簡(jiǎn)求值：(eq\f(2xy2,x＋y))3÷(eq\f(xy3,x2－y2))2·[eq\f(1,2（x－y）)]2，其中x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3).解：原式＝eq\f(8x3y6,（x＋y）3)·eq\f(（x＋y）2（x－y）2,x2y6)·eq\f(1,4（x－y）2)＝eq\f(2x,x＋y).將x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)代入，得原式＝－6.解題大招二與分式乘除有關(guān)的無(wú)關(guān)型問(wèn)題的解法解這類(lèi)無(wú)關(guān)型問(wèn)題，一般是先將原式化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果應(yīng)該是與抄錯(cuò)的那個(gè)量無(wú)關(guān)，所以即使抄錯(cuò)也對(duì)結(jié)果沒(méi)影響．例2有這樣一道題：“計(jì)算eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq\f(x－1,x2＋x)·eq\f(1,x)的值，其中x＝2040.”甲同學(xué)把“x＝2040”錯(cuò)抄成“x＝2004”，但他的計(jì)算結(jié)果也正確，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)這是怎么回事？解：原式＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x（x＋1）,x－1)·eq\f(1,x)＝1，故計(jì)算結(jié)果是定值1，所以與x的取值無(wú)關(guān)．培優(yōu)點(diǎn)一分式乘方的求值問(wèn)題例1已知eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)，求(eq\f(a－b,a))1000·(eq\f(a,b－a))1001的值．分析：觀察已知式，把所求式向已知式靠攏，故取(eq\f(a,b－a))1001的倒數(shù)將乘法改為除法(乘一個(gè)數(shù)等于除以這個(gè)數(shù)的倒數(shù))，即可把原式化為(eq\f(a－b,a))1000÷(eq\f(b－a,a))1001.解：原式＝(eq\f(a－b,a))1000÷(eq\f(b－a,a))1001＝(1－eq\f(b,a))1000÷(eq\f(b,a)－1)1001.把eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)代入上式，得原式＝(1－eq\f(4,5))1000÷(eq\f(4,5)－1)1001＝(eq\f(1,5))1000÷(－eq\f(1,5))1001＝－(eq\f(1,5))1000÷(eq\f(1,5))1001＝－5.培優(yōu)點(diǎn)二與x±eq\f(1,x)有關(guān)的核心素養(yǎng)類(lèi)探究題例2同學(xué)們，在學(xué)習(xí)中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“x＋eq\f(1,x)”與“x－eq\f(1,x)”有著緊密的聯(lián)系．請(qǐng)你認(rèn)真觀察等式：(x＋eq\f(1,x))2＝x2＋2＋eq\f(1,x2)，(x－eq\f(1,x))2＝x2－2＋eq\f(1,x2)，解決如下問(wèn)題：(1)填空：(a＋eq\f(1,a))2－(a－eq\f(1,a))2＝4.(2)①若(a＋eq\f(1,a))2＝20，求a－eq\f(1,a)的值；②若a2＋a－1＝0，求a＋eq\f(1,a)的值；③已知|eq\f(1,a)|－a＝1，求|eq\f(1,a)|＋a的值．分析：(1)利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．(2)①利用(1)的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答；②根據(jù)已知易得a－eq\f(1,a)＝－1，然后利用(1)的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答；③分兩種情況即eq\f(1,a)>0和eq\f(1,a)<0，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：(1)解析：(a＋eq\f(1,a))2－(a－eq\f(1,a))2＝a2＋2＋eq\f(1,a2)－(a2－2＋eq\f(1,a2))＝a2＋2＋eq\f(1,a2)－a2＋2－eq\f(1,a2)＝4.(2)①∵(a－eq\f(1,a))2＝(a＋eq\f(1,a))2－4＝20－4＝16，∴a－eq\f(1,a)＝±4.②∵a2＋a－1＝0，∴a＋1－eq\f(1,a)＝0，∴a－eq\f(1,a)＝－1，∴(a＋eq\f(1,a))2＝(a－eq\f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，∴a＋eq\f(1,a)＝±eq\r(5).③當(dāng)eq\f(1,a)>0時(shí)，此時(shí)a>0，則|eq\f(1,a)|－a＝eq\f(1,a)－a＝1，∴a－eq\f(1,a)＝－1.∵(a＋eq\f(1,a))2＝(a－eq\f(1,a))2＋4＝(－1)2＋4＝5，