愛提分中考復(fù)習(xí) 2一輪-方程與不等式-第03講 一元二次方程(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜一元二次方程知識精講知識精講一．一元二次方程的解法1．直接開平方法若，則叫做的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．2．配方法（1）配方法：把方程化成左邊是一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，再利用直接開平方法求解的這樣一種方法就叫做配方法（2）配方法的一般步驟：①二次項系數(shù)化；②常數(shù)項右移；③配方（兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方）；④化成的形式．3．公式法一元二次方程，用配方法將其變形為：根的判別式，，是方程的兩根，若，則．4．因式分解法當(dāng)一元二次方程的一邊是，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以用分解因式的方法求解，這種用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．二．含參的一元二次方程1．參數(shù)與根數(shù)：含參的一元二次方程的判別式經(jīng)常為某一參數(shù)的代數(shù)式，此時可能需要對此代數(shù)式進行分類討論或者根據(jù)根的情況求解參數(shù)的范圍或值；2．參數(shù)與整數(shù)根：一元二次方程整數(shù)根問題，就是利用判別式或求根公式將參數(shù)代入，再對參數(shù)與根的整除性進行討論和分析．三．一元二次方程的應(yīng)用1．韋達定理：關(guān)于的一元二次方程，有兩根，，則有，．2．列方程解應(yīng)用題：列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問題，進而建立方程模型，解決問題．方法點撥一．一元二次方程整數(shù)根的解法1．因式分解法：利用因式分解求解含參的一元二次方程的兩個根，分別用參數(shù)表示，再討論參數(shù)整除性；2．韋達定理：利用韋達定理將參數(shù)以分式的形式表示出來，討論整除性；3．反表示：用方程中未知數(shù)去表示參數(shù)，分離常量，對分式的整除性進行討論．二．韋達定理簡單的變形1．；2．；3．；4．．三點剖析一．考點：一元二次方程的解法；含參的一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用二．重難點：含參的一元二次方程；一元二次方程與整數(shù)根問題三．易錯點：1．含參一元二次方程中，注意看清題目中是關(guān)于的方程還是一元二次方程，若是關(guān)于的方程需要對二次項系數(shù)進行分類討論，若是關(guān)于的一元二次方程則一定嚴(yán)格要求系數(shù)不為；2．含參一元二次方程中，運用韋達定理求解關(guān)于根與系數(shù)之間關(guān)系的問題時，一定要對判別式進行驗證，舍掉的解；3．實際問題中一定要根據(jù)未知數(shù)的實際意義進行舍取根．一元二次方程的解法例題例題1、解方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解析】（1）、（3）、（4）利用十字相乘因式分解即可求解；（2）直接開平方即可求解．例題2、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A.B.C.且D.且【答案】C【解析】方程為一元二次方程，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，，，故且．例題3、方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=4【答案】C【解析】移項得x2=4，開方得x=±2，∴x1=2，x2=﹣2．例題4、如果等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣10x+21=0的兩根，那么它的周長為（）A.17B.15C.13D.13或17【答案】A【解析】∵等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣10x+21=0的兩根，∴方程x2﹣10x+21=0的兩個根分別是x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰長為7，底邊長為3，∴等腰三角形的周長為：7+7+3=17．故選：A．例題5、二次三項式x2-4x-1寫成a（x+m）2+n的形式，則a=____，m=____，n=____．【答案】（1）1（2）-2（3）-5【解析】原式=x2-4x+4-5=（x-2）2-5．隨練隨練1、若，且有兩個一元二次方程及，則，．【答案】；．【解析】，，又，所以，可以看作是方程的兩個根．由韋達定理，得：，．隨練2、方程（x-1）2=4的解為（）A.1B.3C.3或-1D.-3或1【答案】C【解析】（x-1）2=4，即x-1=±2，所以x1=3，x2=-1．隨練3、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A.（x+5）2=16B.（x+5）2=1C.（x+10）2=91D.（x+10）2=109【答案】A【解析】方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16.隨練4、方程x2+x﹣12=0的兩個根為（）A.x1=﹣2，x2=6B.x1=﹣6，x2=2 C.x1=﹣3，x2=4D.x1=﹣4，x2=3【答案】D【解析】x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，則x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．隨練5、設(shè)方程的較大根為，方程的較小根為，則的值為__________【答案】【解析】，所以，，所以，故含參數(shù)的一元二次方程例題例題1、n為正整數(shù)，方程有一個整數(shù)根，則__________【答案】3【解析】不妨設(shè)已知方程的整數(shù)根為a，則整理，得因為為整數(shù)，所以為整數(shù)也一定是整數(shù)，要使為整數(shù)，必有由此得，即，解得或（舍去）．例題2、已知：關(guān)于x的方程．（1）求證：方程總有實數(shù)根；（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時，關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根均為負整數(shù)？【答案】（1）見解析（2）或【解析】該題考查的是一元二次方程綜合．（1）當(dāng)時，方程為，有實數(shù)根；當(dāng)時，方程為一元二次方程，，∴方程有兩個不等實數(shù)根，綜上所述，方程總有實數(shù)根．（2）若兩個實數(shù)根均為負整數(shù)．∴方程為一元二次方程，∵，即，，∵方程有兩個實數(shù)根均為負整數(shù)，∴是負整數(shù)，即k是3的約數(shù)，∴，，當(dāng)，3時根不是負整數(shù)，∴或．例題3、已知一元二次方程：x2-3x-1=0的兩個根分別是x1、x2，則x12x2+x1x22的值為（）A.-3B.3C.-6D.6【答案】A【解析】∵一元二次方程：x2-3x-1=0的兩個根分別是x1、x2，∴x1+x2=3，x1?x2=-1，∴x12x2+x1x22=x1x2?（x1+x2）=-1×3=-3．故選A．例題4、已知方程有兩個質(zhì)數(shù)根，則常數(shù)__________【答案】3994【解析】設(shè)方程的兩個質(zhì)數(shù)根為，，（）由根與系數(shù)的關(guān)系得，顯然，．于是．例題5、設(shè)實數(shù)分別滿足，并且，求的值【答案】【解析】由可知，，故．又，，故、是方程的兩根，從而可知，，故．注意：此處方程是構(gòu)造成還是主要是根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特點而定，待求式含，構(gòu)造方程更快．其實構(gòu)造成也可，不過此時兩根變?yōu)楹?，由根系關(guān)系可知，，故隨練隨練1、試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根【答案】或【解析】（1）當(dāng)時，得不是整數(shù)；（2）當(dāng)時，設(shè)方程的兩根為，（），則，，于是，有，因為，都為整數(shù)，且，解得或，則或一元二次方程的應(yīng)用例題例題1、[背景資料]低碳生活的理念已逐步被人們接受．據(jù)相關(guān)資料統(tǒng)計：一個人平均一年節(jié)約的用電，相當(dāng)于減排二氧化碳約18kg；一個人平均一年少買的衣服，相當(dāng)于減排二氧化碳約6kg．[問題解決]甲、乙兩校分別對本校師生提出“節(jié)約用電”、“少買衣服”的倡議．2009年兩校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)共60人，因此而減排二氧化碳總量為600kg．（1）2009年兩校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)分別是多少？（2）2009年到2011年，甲校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)每年增加相同的數(shù)量；乙校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)每年按相同的百分率增長．2010年乙校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)是甲校響應(yīng)本校倡議人數(shù)的2倍；2011年兩校響應(yīng)本校倡議的總?cè)藬?shù)比2010年兩校響應(yīng)本校倡議的總?cè)藬?shù)多100人．求2011年兩校響應(yīng)本校倡議減排二氧化碳的總量．【答案】（1）20人和40人；（2）2040千克．【解析】（1）方法一：設(shè)2009年甲校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)為x人，乙校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)為y人，依題意得：解之得x=20，y=40．方法二：設(shè)2009年甲校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)為x人，乙校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)為（60-x）人，依題意得：18x+6（60-x）=600，解之得：x=20，60-x=40．∴2009年兩校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)分別是20人和40人．（2）設(shè)2009年到2011年，甲校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)每年增加m人；乙校響應(yīng)本校倡議的人數(shù)每年增長的百分率為n．依題意得：由①得m=20n，代入②并整理得2n2+3n-5=0解之得n=1，n=-2.5（負值舍去）．∴m=20，∴2011年兩校響應(yīng)本校倡議減排二氧化碳的總量：（20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）．答：2011年兩校響應(yīng)本校倡議減排二氧化碳的總量為2040千克．隨練隨練1、甲乙兩件服裝的進價共500元，商場決定將甲服裝按30%的利潤定價，乙服裝按20%的利潤定價，實際出售時，兩件服裝均按9折出售，商場賣出這兩件服裝共獲利67元．（1）求甲乙兩件服裝的進價各是多少元；（2）由于乙服裝暢銷，制衣廠經(jīng)過兩次上調(diào)價格后，使乙服裝每件的進價達到242元，求每件乙服裝進價的平均增長率；（3）若每件乙服裝進價按平均增長率再次上調(diào)，商場仍按9折出售，定價至少為多少元時，乙服裝才可獲得利潤（定價取整數(shù)）．【答案】（1）300，200（2）10%（3）296【解析】（1）設(shè)甲服裝的進價為x元，則乙服裝的進價為（500-x）元，根據(jù)題意得：90%?（1+30%）x+90%?（1+20%）（500-x）-500=67，解得：x=300，500-x=200．答：甲服裝的進價為300元、乙服裝的進價為200元．（2）∵乙服裝的進價為200元，經(jīng)過兩次上調(diào)價格后，使乙服裝每件的進價達到242元，∴設(shè)每件乙服裝進價的平均增長率為y，則200（1+y）2=242，解得：y1=0.1=10%，y2=-2.1（不合題意舍去）．答：每件乙服裝進價的平均增長率為10%；（3）∵每件乙服裝進價按平均增長率再次上調(diào)，∴再次上調(diào)價格為：242×（1+10%）=266.2（元），∵商場仍按9折出售，設(shè)定價為a元時，0.9a-266.2＞0，解得：a＞．故定價至少為296元時，乙服裝才可獲得利潤．隨練2、如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三邊長，易知，這時我們把形如的方程稱為關(guān)于x的“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）構(gòu)造一個“勾系一元二次方程”：_____________________________________.（2）證明：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根.（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）見解析（3）1【解析】該題考查的是一元二次方程．（1）構(gòu)造的方程要求滿足如3,4,5，則有方程（2）故方程必有實根（3）將代入到方程中，得到四邊形周長且有得到有拓展拓展1、已知方程，求．【答案】【解析】此題乍一看為二元一次方程組的題，但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn)兩個方程可以看為方程，和看為此方程的兩個根，再利用韋達定理即可求得．拓展2、下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（）A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣1=0【答案】A【解析】A、△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，有兩個相等實數(shù)根；B、△=22﹣4×1×5=﹣16＜0，沒有實數(shù)根；C、△=（﹣2）2﹣4×1×0＞0，有兩個不相等實數(shù)根；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，有兩個不相等實數(shù)根．拓展3、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0時，下列變形正確的為（）A.（x+3）2=1B.（x﹣3）2=1C.（x+3）2=19D.（x﹣3）2=19【答案】D【解析】方程移項得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19拓展4、已知，，是不全為0的3個實數(shù)，那么關(guān)于的一元二次方程的根的情況（）A.有2個負根B.有2個正根C.有2個異號的實根D.無實根【答案】D【解析】方程的判別式為：∵，，不全為，∴．∴原方程無實數(shù)根．故選D拓展5、若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_______個【答案】5【解析】當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，當(dāng)時，解得，，當(dāng)時，是整數(shù)，這時；當(dāng)時，是整數(shù)這時綜上所述，時原方程的解為整數(shù)拓展6、已知（）是方程的兩個實數(shù)根，是方程的兩實數(shù)根，且，，求的值？【答案】，【解析】根據(jù)題意，對方程有對方程有，又，由⑴得：，代入⑵得：⑶又，，對⑶兩邊平方得：，即：，整理得：解得：，當(dāng)時，與矛盾，舍去．當(dāng)時，，此時，，．，拓展7、在中，a，b，c分別為，，所對的邊，我們稱關(guān)于x的一元二次方程為“的☆方程”．根據(jù)規(guī)定解答下列問題：（1）“的☆方程”的根的情況是_____（填序號）；=1\*GB3①有兩個相等的實數(shù)根=2\*GB3②有兩個不相等的實數(shù)根=3\*GB3③沒有實數(shù)根（2）如圖，AD為的直徑，BC為弦，于E，，求“的☆方程”的解；（3）若是“的☆方程”的一個根，其中a，b，c均為整數(shù)，且，求方程的另一個根．AABCDEO【答案】（1）②（2）（3）【解析】該題考查的是一元二次方程．（1）故選②．（2）由垂徑定理易得△ABC是等邊三角形，設(shè)邊長為m，即，方程的解為．（3）將代入到☆方程中可得，化簡可得；結(jié)合，可得；由可知ac需能被4整除，又，∴，從而，又a、c為正整數(shù)