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高思愛提分演示(KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜二次函數(shù)(2)知識精講一.二次函數(shù)與三角形等腰三角形存在性問題:題型說明:本類題型考察的方向有兩個(gè);①考查“分類討論”的基本思想;②考查“方程的思想”.分類討論主要討論誰為腰,然后利用兩腰相等或勾股定理建立方程.解決此類問題的基本思路:①分類討論看是否存在多種可能;②將各邊用參數(shù)表示出來;③建立方程;④檢驗(yàn)是否符合題意.直角三角形的存在性問題:題型說明:本類題型考察的方向有兩個(gè);①考查“分類討論”的基本思想;②考查“勾股定理”.解決此類問題的基本思路:①分類討論看是否存在多種可能,哪個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn).②利用勾股定理和相似構(gòu)造方程.等腰直角三角形存在性問題:題型說明:本類題型主要考查等腰直角三角形的特殊性,如45°,斜邊上的高等于斜邊的一半等,往往這些條件都是解決本類問題的關(guān)鍵條件.相似三角形存在性問題題型說明:本類題型主要考察相似三角形的對應(yīng)關(guān)系,保證對應(yīng)頂點(diǎn)對應(yīng)在起來,這樣就涉及到分類討論的思想,分類的標(biāo)準(zhǔn)就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的對應(yīng).二.二次函數(shù)與四邊形平行四邊形存在性問題題型說明:在解決此類問題時(shí),需要注意“平行四邊形”的四個(gè)頂點(diǎn)中是有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或二個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則先求點(diǎn)坐標(biāo),然后代入檢驗(yàn);如果有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則常用的方法有兩個(gè),①引入坐標(biāo)代入函數(shù)解析式后建立方程,注意最后要檢驗(yàn);②從已知條件直接進(jìn)行分析動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形存在性問題常見模型:兩固兩動(dòng)型:兩個(gè)固定點(diǎn),兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形=1\*romani考慮分類討論,分成兩個(gè)固定點(diǎn)連線為平行四邊形對邊和對角線來討論,利用對邊平行且相等找出所有的存在的情況.=2\*romanii設(shè)出一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)公式法算出另外一個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式,代入另一個(gè)點(diǎn)所在函數(shù)關(guān)系式.②三固一動(dòng)型:三個(gè)固定點(diǎn),一個(gè)動(dòng)線構(gòu)成平行四邊形=1\*romani考慮分類討論,可以利用大三角的方法來找出所有的點(diǎn)大三角:(見圖1)連接三個(gè)固定點(diǎn)形成一個(gè)三角形,過每個(gè)頂點(diǎn)做對邊的平行線,三個(gè)平行線交點(diǎn)即為要找的點(diǎn).=2\*romanii利用中點(diǎn)公式法,求出點(diǎn)坐標(biāo).中點(diǎn)公式法:設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),利用線段的中點(diǎn)都為點(diǎn),即可求出點(diǎn)坐標(biāo).其他四邊形存在性問題題型說明:除了經(jīng)??疾炱叫兴倪呅蔚拇嬖谛砸约疤菪沃猓窳庑?,矩形,正方形也經(jīng)常出現(xiàn)在二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題中,充分應(yīng)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.三.二次函數(shù)與面積問題題型說明:面積中涉及求面積的方法,坐標(biāo)漏找或錯(cuò)找,坐標(biāo)與線段長度之間的聯(lián)系,坐標(biāo)在不在二次函數(shù)的圖像上,這些都是在考試中容易失分的地方.根據(jù)已有條件求坐標(biāo),首先要想到平面直角坐標(biāo)系與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系,尤其是正切的運(yùn)用.這樣直觀的可以求出坐標(biāo)(前提必須建立直角三角形),如果不是直角三角形可以想法構(gòu)建直角三角形,這是求坐標(biāo)的最好方法,此方法不通的情況下可以運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解,很少運(yùn)用相似求.掌握了求解方法再做題的時(shí)候就知道如何下手了.而次部分求面積的時(shí)候要先找到點(diǎn)的坐標(biāo)的具體位置以及如何通過面積求坐標(biāo).解決此類問題的基本思路:①直接法,若題已經(jīng)給出或能由已知條件推出個(gè)邊的長度并且通過坐標(biāo)能找到對應(yīng)的的高,那么三角形的面積能直接用公式算出來;②組合法,通過簡單的重新組合就能求出面積;③變換,同底等高或等底等高的轉(zhuǎn)換.方法點(diǎn)撥復(fù)雜事件求概率的方法運(yùn)用頻率估算概率。判斷是否公平的方法運(yùn)用概率是否相等,關(guān)注頻率與概率的整合.三點(diǎn)剖析一.考點(diǎn):二次函數(shù)與三角形,二次函數(shù)與四邊形,二次函數(shù)與面積問題,二次函數(shù)與圓,函數(shù)新定義問題.二.重難點(diǎn):二次函數(shù)與三角形,二次函數(shù)與四邊形,二次函數(shù)與面積問題,二次函數(shù)與圓,函數(shù)新定義問題.三.易錯(cuò)點(diǎn):1.事件的判斷;2.客觀規(guī)律的判斷;3.拋硬幣時(shí),正正反和正反正屬于兩種不同的情況;4.兩步以及兩步以上的簡單事件求概率的方法:利用樹狀或者列表表示各種等可能的情況與事件的可能性的比值.二次函數(shù)與三角形綜合例題例題1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點(diǎn)M(1,3)和N(3,5)(1)試判斷該拋物線與x軸交點(diǎn)的情況;(2)平移這條拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),且與y軸交于點(diǎn)B,同時(shí)滿足以A、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,請你寫出平移過程,并說明理由.例題2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+4mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,過點(diǎn)P(1,m)作直線PB⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)B,作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C(點(diǎn)B、C不重合),連結(jié)BC,當(dāng)點(diǎn)P、B不重合時(shí),以BP、BC為邊作矩形PBCQ,設(shè)矩形PBCQ的周長為l.(1)當(dāng)m=1時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)當(dāng)BC=時(shí),求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí),求l與m之間的函數(shù)關(guān)系.(4)連結(jié)CP,以CP為直角邊作等腰直角三角形PCM,直接寫出點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時(shí)m的值.例題3、如圖,拋物線y=﹣(x﹣2)2+4交x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),其頂點(diǎn)為C,將拋物線沿x軸向左平移m(m>0)個(gè)單位,點(diǎn)B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)為D、E,且兩拋物線在x軸的上方交于點(diǎn)P,連接PA、PD.(1)判斷△PAD能否為直角三角形?若能,求m的值;若不能,說明理由;(2)若點(diǎn)F在射線CE上,當(dāng)以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△PAD相似時(shí),求m的值.例題4、如圖,已知經(jīng)過點(diǎn)D(2,﹣)的拋物線y=(x+1)(x﹣3)(m為常數(shù),且m>0)與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.(1)填空:m的值為_________,點(diǎn)A的坐標(biāo)為_________________.(2)連接AD,射線AF在x軸的上方且滿足∠BAF=∠BAD,過點(diǎn)D作x軸的垂線交射線AF于點(diǎn)E.動(dòng)點(diǎn)M,N分別在射線AB,AF上,求ME+MN的最小值.(3)l是過點(diǎn)A平行于y軸的直線,P是拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作l的垂線,垂足為點(diǎn)G.請?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳c(diǎn)P,使得以P,G,A為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.隨練隨練1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為A(1,﹣1)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(5,3),且與x軸交于C,D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)).(1)求拋物線的解析式;(2)求點(diǎn)O到直線AB的距離;(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)的拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,且∠MND=∠OAB,當(dāng)△DMN與△OAB相似時(shí),請你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).隨練2、如圖,點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)、C(3,3)在拋物線y=ax2+bx+c上,點(diǎn)D在y軸上,且DC⊥BC,∠BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后兩邊與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F.(1)求拋物線的解析式;(2)CF能否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)?若能,求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,說明理由;(3)若△FDC是等腰三角形,求點(diǎn)F的坐標(biāo).二次函數(shù)與四邊形綜合例題例題1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,0)、點(diǎn)B(0,﹣8),直線AC與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣4).P是拋物線上A、B兩點(diǎn)之間的一點(diǎn)(P不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E.(l)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(2)若四邊形PBCD為平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)求點(diǎn)E橫坐標(biāo)的最大值.隨練隨練1、如圖①,在?ABCD中,BE⊥AD于點(diǎn)E,且點(diǎn)E為AD中點(diǎn),AD=BE=4,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線AD方向運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,點(diǎn)P出發(fā)后,過點(diǎn)P作AD的垂線,交折線AB﹣BC于點(diǎn)Q,以PQ為邊向左作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與?ABCD重疊部分的面積為S.(1)求點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),t的值.(2)用含t的代數(shù)式表示線段EN的長.(3)當(dāng)正方形PQMN與?ABCD重疊部分不是正方形時(shí),求S與t之間的關(guān)系式.(4)如圖②,設(shè)點(diǎn)O為BE的中點(diǎn),請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,△OQM為等腰三角形時(shí),t的值.隨練2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),tan∠OAC=.(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn),過H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,求線段PH的最大值;(3)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),連接CM,以CM為邊作正方形CMEF,是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對稱軸上?若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.隨練3、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=ax2+經(jīng)過A、B兩點(diǎn),點(diǎn)E是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn).(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(2)求△ABE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).(3)過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)M,連結(jié)CM.點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上,點(diǎn)P在拋物線上.當(dāng)以P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).隨練4、如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其對稱軸l為x=﹣1.(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上,動(dòng)點(diǎn)N在對稱軸l上.①當(dāng)PA⊥NA,且PA=NA時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí),求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).二次函數(shù)與面積綜合例題例題1、如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上.(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線上存在一點(diǎn)M,使是以AB為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn),,以BE為腰作等腰,使它與在直線AB的同側(cè),°,沿著BA方向以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)B與A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,與重疊部分的面積為S,直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.隨練隨練1、已知是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn),其中a是從l,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù).定義“點(diǎn)在直線上”為事件Qn(,n為整數(shù)),則當(dāng)?shù)母怕首畲髸r(shí),n的所有可能的值為____或____(從小到大依次填寫).隨練2、如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與雙曲線相交于點(diǎn)A,B,且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,2),點(diǎn)B在第四象限內(nèi),過點(diǎn)B作直線BC∥x軸,點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn),已知直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離的4倍,記拋物線頂點(diǎn)為E.(1)求雙曲線和拋物線的解析式;(2)計(jì)算△ABC與△ABE的面積;(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍?若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.二次函數(shù)與圓綜合例題例題1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于點(diǎn)和點(diǎn),給出如下定義:若,則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn).例如:點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是.(1)①點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是___________;②在點(diǎn),中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)是_______________;(2)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是,求的取值范圍;(3)若點(diǎn)在關(guān)于的二次函數(shù)的圖象上,其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或,其中.令,求關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍.隨練隨練1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形,點(diǎn)A,B在x軸上,△MBC是邊長為2的等邊三角形,過點(diǎn)M作直線l與x軸垂直,交⊙M于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)M,且點(diǎn)D平分.(1)求過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式;(2)求證:四邊形AMCD是菱形;(3)請問在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積等于定值5?若存在,請求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.隨練2、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A(O,4),與x軸相交于點(diǎn)B(3,O)、C(1,O),頂點(diǎn)為M.(1)求這個(gè)拋物線的解析式;(2)若拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)H,與直線AB相交于點(diǎn)N,求證:四邊形MBNC是菱形;(3)如圖2,若P是以D(﹣1,O)為圓心,以1為半徑的⊙D上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PA、PB,求使△PAB面積取得最大值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo).拓展拓展1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)求此二次函數(shù)解析式;(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.拓展2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下:若在射線CP上存在一點(diǎn)P′,滿足CP+CP′=2r,則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn),如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖.特別地,當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí),規(guī)定CP′=0.(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí).①分別判斷點(diǎn)M(2,1),N(,0),T(1,)關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在?若存在,求其坐標(biāo);②點(diǎn)P在直線y=﹣x+2上,若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在,且點(diǎn)P′不在x軸上,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)⊙C的圓心在x軸上,半徑為1,直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,若線段AB上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部,求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.拓展3、如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由.(3)拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合),使得以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.拓展4、如圖,拋物線y=﹣x﹣4與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn),P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),過P作PD∥AC,交BC于點(diǎn)D,連接CP.(1)直接寫出A、B、C的坐標(biāo);(2)求拋物線y=﹣x﹣4的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)求△PCD面積的最大值,并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時(shí),以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形.拓展5、如圖,長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)B(1,4)和點(diǎn)E(3,0)兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)D在線段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在條件(2)下,在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使得△BDM的周長為最小,并求△BDM周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);(4)在條件(2)下,從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上,是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得△PAD的面積最大?若存在,請求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.拓展6、如圖1,對于平面上小于等于90°的∠MON,我們給出如下定義:若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上,作PE⊥OM于點(diǎn)

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