專題3全等三角形中動態(tài)問題中的幾何變換與動點問題(原卷版+解析)

專題3全等三角形中動態(tài)問題中的幾何變換與動點問題（原卷版）類型一全等三角形動態(tài)問題中的幾何變換（一）平移型1．（2023春?臨渭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，將△ABC沿AB邊所在的直線向下平移得到△DEF，BC與DF交于H，下列結(jié)論中不一定正確的（）A．AD＝BD B．AD＝BE C．∠DEF＝90° D．S四邊形ADHC＝S四邊形BEFH2．如圖（a）所示，A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過E、F分別作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求證：BD平分EF（即EG＝FG）．（2）若將DE向右平移、將BF向左平移，得到圖（b）所示圖形，在其余條件不變的情況下，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．翻折型3．（2023秋?來賓期末）如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋?高坪區(qū)校級期中）如圖，△ABE、△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的．若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，則∠EFC的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．95° D．100°5．（2019秋?孝義市期中）（1）如圖1，將兩個全等的三角板如圖擺放，其中△ABC和△ADE的直角頂點重合在點A處，∠ADE＝∠ABC＝60°，且點D在AC上，點B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于點F．求證：CF＝EF．（2）如圖2，將這兩個三角板如圖擺放，直角頂點A仍然重合，BC與DE相交于點F，AC與DE交于點M，AE和BC交于點N．猜想CF和EF還相等嗎？說明理由．（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若∠DAM＝30°．求證：線段DF和AC互相垂直平分．

旋轉(zhuǎn)型6．（2019?廣陽區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），給出以下五個結(jié)論：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③連接EF，△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四邊形AFPE＝S△APC，其中正確的有幾個（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．（2022秋?道縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，其他條件不變，請你探究線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并寫出證明過程．（2）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出你的結(jié)論，并加以證明；（3）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請直接寫出結(jié)論，不要求寫出證明過程）

8．（2020秋?東遼縣期末）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）連接BF，求證：CF＝EF．（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，如圖②，求證：AF+EF＝DE．（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③，你認為（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請直接寫出AF、EF與DE之間的數(shù)量關(guān)系．9．活動一：已知如圖1，AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且AB＝CD．求證：△ABC≌△DCE．活動二：動手操作，將兩個斜邊長相等的直角三角形紙片按圖2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△MCN．如圖3，連接MB，求證：△ACB≌△CBM．活動三：如圖4，已知點C坐標為（0，2），B為x軸上一點，△ABC是以BC為腰的在第一象限的等腰直角三角形，∠BCA＝90°，當(dāng)B點從原點出發(fā)沿x軸正半軸運動時，在圖中畫出A點運動路線．并請說明理由．

類型二全等三角形中的動點問題10．（2020秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發(fā)，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）當(dāng)CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．11．（2022秋?昭陽區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．（1）若點Q與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；（2）若點Q與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能使△BPD與△CQP全等？

12．（2022秋?淅川縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣﹣CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B出發(fā)沿折線BC﹣CA以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)．分別過P、Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點P的運動時間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點相遇時，求t的值；（2）在整個運動過程中，求CP的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時，直接寫出所有滿足條件的CQ的長．13．如圖：在∠EAF的平分線上取點B作BC⊥AF于點C，在直線AC上取一動點P，在直線AE上取點Q使得BQ＝BP（1）如圖1，當(dāng)點P在點線段AC上時，求證：∠BQA+∠BPA＝180°；（2）如圖2，當(dāng)點P在CA延長線上時，探究AQ、AP、AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）在滿足（1）的結(jié)論條件下，當(dāng)點P運動到在射線AC上時，直接寫出AQ、AP、PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為．

14．（2022春?張家港市期末）如圖，∠MAN是一個鈍角，AB平分∠MAN，點C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．（1）求證：∠BAM＝∠BCA；（2）動點P，Q同時從A點出發(fā)，其中點Q以每秒3個單位長度的速度沿射線AN方向勻速運動；動點P以每秒1個單位長度的速度勻速運動．已知AC＝5，設(shè)動點P，Q的運動時間為t秒．①如圖②，當(dāng)點P在射線AM上運動時，若點Q在線段AC上，且S△ABP=52S△BQC，求此時②如圖③，當(dāng)點P在直線AM上運動時，點Q在射線AN上運動的過程中，是否存在某個時刻，使得△APB與△BQC全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說出理由．

15．（2022秋?上杭縣期中）如圖1，直線AM⊥AN，AB平分∠MAN，過點B作BC⊥BA交AN于點C；動點E、D同時從A點出發(fā)，其中動點E以2cm/s的速度沿射線AN方向運動，動點D以1cm/s的速度沿射線AM方向運動；已知AC＝6cm，設(shè)動點D，E的運動時間為t．（1）試求∠ACB的度數(shù)；（2）當(dāng)點D在射線AM上運動時滿足S△ADB：S△BEC＝2：3，試求點D，E的運動時間t的值；（3）當(dāng)動點D在射線AM上運動，點E在射線AN上運動過程中，是否存在某個時間t，使得△ADB與△BEC全等？若存在，請求出時間t的值；若不存在，請說出理由．

專題3全等三角形中動態(tài)問題中的幾何變換與動點問題（解析版）類型一全等三角形動態(tài)問題中的幾何變換（一）平移型1．（2023春?臨渭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，將△ABC沿AB邊所在的直線向下平移得到△DEF，BC與DF交于H，下列結(jié)論中不一定正確的（）A．AD＝BD B．AD＝BE C．∠DEF＝90° D．S四邊形ADHC＝S四邊形BEFH【思路引領(lǐng)】根據(jù)平移的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：∵Rt△ABC沿直線邊AB所在的直線向下平移得到△DEF，∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，∴S四邊形ADHC＝S四邊形BEFH，觀察四個選項，AD≠BD不正確，故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖（a）所示，A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過E、F分別作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求證：BD平分EF（即EG＝FG）．（2）若將DE向右平移、將BF向左平移，得到圖（b）所示圖形，在其余條件不變的情況下，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）要證明BD平分EF（即EG＝FG），可證明EG與FG所在的三角形全等（即證明△EGD≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF與∠DGE是對頂角的條件，所以解決問題的關(guān)鍵是證明有一條邊相等（DE＝BF），可通過證明△EDC與△FBA全等來實現(xiàn)，說明△EDC≌△FBA，通過AE＝CF證明CE＝AF是關(guān)鍵；（2）平移后△EDC與△FBA仍然相似，可仿照（1）進行推理證明．【解答】解：（1）∵AE＝CF，EF＝EF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE∵DE⊥AC、BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFG＝90°在Rt△ABF和Rt△CED中，AF=CEAB=CD∴△ABF≌△CED．∴ED＝BF，∵在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠BGF∠DEG=∠BFG∴△DEG≌△BFG，∴EG＝FG，即BD平分EF．（2）BD仍然平分EF．理由：∵AE＝CF，EF＝EF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE∵DE⊥AC、BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFG＝90°在Rt△ABF和Rt△CED中，AF=CEAB=CD∴△ABF≌△CED．∴ED＝BF，∵在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠BGF∠DEG=∠BFG∴△DEG≌△BFG，∴EG＝FG，即BD平分EF【總結(jié)提升】本題考查了三角形的判定和三角形的性質(zhì)．解決本題亦可連接EB、FD，證明四邊形BEDF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)說明BD平分EF．翻折型3．（2023秋?來賓期末）如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．45°【思路引領(lǐng)】根據(jù)∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數(shù)，在△AOD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOD的度數(shù)，繼而可求得∠EOF的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角定理求出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，∴設(shè)∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，則28x+5x+3x＝180°，解得：x＝5°，則∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，由折疊的性質(zhì)可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，∴∠EOF＝∠AOD＝110°，∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．4．（2021秋?高坪區(qū)校級期中）如圖，△ABE、△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的．若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，則∠EFC的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．95° D．100°【思路引領(lǐng)】由題意設(shè)∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解x值，即可求解∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，再由折疊的性質(zhì)可求得∠FBCC，∠FCB的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，∴設(shè)∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，∴28x+5x+3x＝180°，解得x＝5，∴∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，由折疊可知：∠EBA＝∠ABC＝25°，∠ACD＝∠ACB＝15°，∴∠FBC＝50°，∠FCB＝30°，∴∠EFC＝∠FBC+∠FCB＝50°+30°＝80°，故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，通過方程求解∠BAC，∠ABC，∠ACB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2019秋?孝義市期中）（1）如圖1，將兩個全等的三角板如圖擺放，其中△ABC和△ADE的直角頂點重合在點A處，∠ADE＝∠ABC＝60°，且點D在AC上，點B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于點F．求證：CF＝EF．（2）如圖2，將這兩個三角板如圖擺放，直角頂點A仍然重合，BC與DE相交于點F，AC與DE交于點M，AE和BC交于點N．猜想CF和EF還相等嗎？說明理由．（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若∠DAM＝30°．求證：線段DF和AC互相垂直平分．【思路引領(lǐng)】（1）證明△CDF≌△EBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）證明△BAN≌△DAM，得到AN＝AM，得到CM＝EN，證明△CMF≌△ENF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（3）連接AF，分別證明△ACFA≌△AEF、△ADM≌△AFM、△CFM≌AFM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB＝AD，AC＝AE∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，在△CDF和△EBF中，∠C=∠E∠CFD=∠EFB∴△CDF≌△EBF（AAS）∴CF＝EF；（2）解：相等．理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，在△BAN和△DAM中，∠BAN=∠DAMAB=AD∴△BAN≌△DAM（ASA）∴AN＝AM，∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，在△CMF和△ENF中，∠C=∠E∠CFM=∠EFN∴△CMF≌△ENF（AAS）∴CF＝EF；（3）證明：連接AF，當(dāng)∠DAM＝30°時，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，在△ACF和△AEF中，AC=AECF=EF∴△ACFA≌△AEF（SSS），∴∠CAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠EAF=12∠在△ADM和△AFM中，∠DAM=∠FAMAM=AM∴△ADM≌△AFM（ASA）∴DM＝FM，即AC平分DF，在△CFM和AFM中，∠C=∠FAMFM=FM∴△CFM≌AFM（ASA）∴AM＝CM，即DF平分AC，綜上所述，AC和DF互相垂直平分．【總結(jié)提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)型6．（2019?廣陽區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），給出以下五個結(jié)論：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③連接EF，△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四邊形AFPE＝S△APC，其中正確的有幾個（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路引領(lǐng)】①②③連接AP，證明△AEP≌△CFP（ASA）即可判斷；EF不是中位線，所以EF≠AP；證明△AFP≌△BEP（SAS），S四邊形AFPE＝S△BPE+S△CPF，即可判斷⑤；【解答】解：①如圖1：連接AP，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中點，∴AP＝CP，∠BAP＝∠C＝45°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPA+∠APF＝90°，∠APF+∠CPF＝90°，∴∠APE＝∠CPF，∴△AEP≌△CFP（ASA），∴AE＝CF；∴①②正確；③由△AEP≌△CFP（ASA），∴EP＝PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正確；④∵EF不是中位線，∴EF≠AP；故①②③正確；⑤∵AE＝CP，AP＝BP，∠B＝∠FAP＝45°，∴△AFP≌△BEP（SAS），∴S四邊形AFPE＝S△BPE+S△CPF，⑤∵AE＝CF，P是BC中點；∴過點P作△APE和△PFC的高，高是相等的，∴S△APE＝S△PFC，∴S四邊形AFPE＝S△APC，∴⑤正確；故選：C．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022秋?道縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，其他條件不變，請你探究線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并寫出證明過程．（2）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出你的結(jié)論，并加以證明；（3）當(dāng)MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請直接寫出結(jié)論，不要求寫出證明過程）【思路引領(lǐng)】（1）由條件可證明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差可證得結(jié)論；（2）同（1）可證得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性質(zhì)可求得DE＝AD﹣BE；（3）同理可證△ACD≌△CBE，則可得出答案．【解答】解：（1）結(jié)論：DE＝AD+BE．理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠BEC∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE，∴DE＝AD+BE；（2）不成立，結(jié)論：DE＝AD﹣BE．理由：同理可證得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE；（3）不成立，結(jié)論：DE＝BE﹣AD．理由：同理可證得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CD﹣CE，∴DE＝BE﹣AD，【總結(jié)提升】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，由條件證得△ADC≌△CEB是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋?東遼縣期末）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）連接BF，求證：CF＝EF．（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，如圖②，求證：AF+EF＝DE．（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③，你認為（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請直接寫出AF、EF與DE之間的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）如圖，連接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC＝BE，根據(jù)直角三角形的“HL”判定定理，易證△BCF≌△BEF，即可得出結(jié)論；（2）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AC＝AF+CF＝AF+EF，即AF+EF＝DE；（3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）證明：如圖1，連接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF；（2）如圖2，連接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）如圖3，連接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF，∵AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【總結(jié)提升】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握證明三角形全等的幾個判定定理及其性質(zhì)．解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．9．（2018秋?邗江區(qū)期末）活動一：已知如圖1，AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且AB＝CD．求證：△ABC≌△DCE．活動二：動手操作，將兩個斜邊長相等的直角三角形紙片按圖2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△MCN．如圖3，連接MB，求證：△ACB≌△CBM．活動三：如圖4，已知點C坐標為（0，2），B為x軸上一點，△ABC是以BC為腰的在第一象限的等腰直角三角形，∠BCA＝90°，當(dāng)B點從原點出發(fā)沿x軸正半軸運動時，在圖中畫出A點運動路線．并請說明理由．【思路引領(lǐng)】活動一：利用同角的余角相等，證明∠B＝∠ECD，根據(jù)ASA即可證明；活動二：根據(jù)SAS即可證明；活動三：作AH⊥y軸于H．只要證明△ACH≌△CBO，可得AH＝OC＝2，推出點A到y(tǒng)的距離為定值，推出點A在平行于y軸的射線上運動，射線與y軸之間的距離為2（如圖中虛線）．【解答】活動一：證明：如圖1，∵AB⊥AD，BC⊥CE，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∠ECD+∠BCA＝90°，∴∠ABC＝∠DCE，∵∠BAC＝∠CDE＝90°，AB＝CD，∴△ABC≌△DCE（ASA）．活動二：證明：如圖3，∵∠CNM＝90°，∠CMN＝30°，∴∠MCN＝60°，∵∠BCN＝15°，∴∠MCB＝45°，∵∠A＝45°，∴∠A＝∠BCM，∵AB＝CM，AC＝CB，∴△ACB≌△CBM（SAS）．活動三：解：作AH⊥y軸于H．∵C（0，2），∴OC＝2，∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，∴∠HAC+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCO＝90°，∴∠HAC＝∠BCO，∵AC＝CB，∴△ACH≌△CBO（AAS），∴AH＝OC＝2，∴點A的橫坐標為2，∴點A在平行于y軸的射線上運動，射線與y軸之間的距離為2（如圖中豎直虛線）．【總結(jié)提升】本題考查了三角形綜合題，全等三角形的判定及性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．類型二全等三角形中的動點問題10．（2020秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發(fā)，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）當(dāng)CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖，分點E在射線BC上移動和點E在射線CB上移動兩種情況，證△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，繼而得出BE的長，從而得出答案．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD；（2）如圖，當(dāng)點E在射線BC上移動時，∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，∴∠A＝∠ECF，在△CFE與△ABC中，∠CEF=∠ACB∠ECF=∠A∴△CEF≌△ACB（AAS），∴CE＝AC＝7，∴BE＝BC+CE＝12，∴t＝12÷2＝6（s）；當(dāng)點E在射線CB上移動時，同理△CF′E′≌△CBA（AAS），∴CE′＝AC＝7，∴BE′＝CE′﹣CB＝2，∴t＝2÷2＝1（s）總之，當(dāng)點E在射線CB上移動6s或1s時，CF＝AB．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?昭陽區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．（1）若點Q與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；（2）若點Q與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能使△BPD與△CQP全等？【思路引領(lǐng)】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時兩三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：△BPD與△CQP全等．理由：經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BPD和△CQP中，BD=PC∠ABC=∠ACB∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=15故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為154cm/s時，能夠使△BPD與△CQP【總結(jié)提升】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．12．（2022秋?淅川縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣﹣CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B出發(fā)沿折線BC﹣CA以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)．分別過P、Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點P的運動時間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點相遇時，求t的值；（2）在整個運動過程中，求CP的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時，直接寫出所有滿足條件的CQ的長．【思路引領(lǐng)】（1）由題意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q兩點相遇時，t的值；（2）根據(jù)題意即可得出CP的長為6?t(t≤6)t?6(6＜t≤14)（3）分兩種情況討論得出關(guān)于t的方程，解方程求得t的值，進而即可求得CQ的長．【解答】解：（1）由題意得t+3t＝6+8，解得t=7當(dāng)P、Q兩點相遇時，t的值為72（2）由題意可知AP＝t，則CP的長為6?t(t≤6)t?6(6＜t≤14)（3）當(dāng)P在AC上，Q在BC上時，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；當(dāng)P在AC上，Q在AC上時，即P、Q重合時，則CQ＝PC，由題意得，6﹣t＝3t﹣8，解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，當(dāng)P在BC上，Q在AC上時，即A、Q重合時，則CQ＝AC＝6，綜上，當(dāng)△PEC與△QFC全等時，滿足條件的CQ的長為5或2.5或6．【總結(jié)提升】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．13．如圖：在∠EAF的平分線上取點B作BC⊥AF于點C，在直線AC上取一動點P，在直線AE上取點Q使得BQ＝BP（1）如圖1，當(dāng)點P在點線段AC上時，求證：∠BQA+∠BPA＝180°；（2）如圖2，當(dāng)點P在CA延長線上時，探究AQ、AP、AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）在滿足（1）的結(jié)論條件下，當(dāng)點P運動到在射線AC上時，直接寫出AQ、AP、PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．【思路引領(lǐng)】（1）作BD⊥AE于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BD＝BC，證明Rt△DBQ≌Rt△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BQA＝∠BPC，證明結(jié)論；（2）作BM⊥AE垂足為M，分別證明△ABM≌△ABC、Rt△DBQ≌Rt△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）分點P在線段AC上、點P在線段AC的延長線上兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：如圖1，作BD⊥AE于D，∵AB是∠EAF的平分線，BC⊥AF，BD⊥AE，∴BD＝BC，在Rt△DBQ和Rt△CBP中，BD=BCBQ=BP∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），∴∠BQA＝∠BPC，∵∠BPC+∠BPA＝180°，∴∠BQA+∠BPA＝180°；（2）解：AQ﹣AP＝2AC，理由如下：如圖2，作BM⊥AE垂足為M，∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°，在△ABM和△ABC中，∠BMA=∠BCA∠BAM=∠BAC∴△ABM≌△ABC（AAS），∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC，在Rt△MBQ和Rt△CBP中，BM=BCBQ=BP∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），∴QM＝PC，∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝2AC；（3）當(dāng)點P在線段AC上時，如圖1，AQ﹣AP＝2PC，理由如下：∵Rt△DBQ≌Rt△CBP，∴DQ＝PC，由（2）可知，AD＝AC，∴AQ﹣AP＝AD+DQ﹣（AC﹣PC）＝DQ+PC＝2PC；當(dāng)點P在線段AC的延長線上時，如圖3，AP﹣AQ＝2PC，理由如下：作BM⊥AE垂足為M，∵Rt△MBQ≌Rt△CBP，∴MQ＝PC，由（2）可知，AM＝AC，∴AP﹣AQ＝AC+PC﹣（AM﹣MQ）＝MQ+PC＝2PC，故答案為：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．【總結(jié)提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?張家港市期末）如圖，∠MAN是一個鈍角，AB平分∠MAN，點C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．（1）求證：∠BAM＝∠BCA；（2）動點P，Q同時從A點出發(fā)，其中點Q以每秒3個單位長度的速度沿射線AN方向勻速運動；動點P以每秒1個單位長度的速度勻速運動．已知AC＝5，設(shè)動點P，Q的運動時間為t秒．①如圖②，當(dāng)點P在射線AM上運動時，若點Q在線段AC上，且S△ABP=52S△BQC，求此時②如圖③，當(dāng)點P在直線AM上運動時，點Q在射線AN上運動的過程中，是否存在某個時刻，使得△APB與△BQC全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說出理由．【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)角平分線得出∠BAM＝∠