高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)高考大題滾動(dòng)練（三）

高考大題滾動(dòng)練(三)1．(2017·江蘇無錫期中)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，求證：(1)BD1∥平面EAC；(2)平面EAC⊥平面AB1C.證明(1)連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以EO∥BD1.又BD1?平面EAC，EO?平面EAC，所以BD1∥平面EAC.(2)因?yàn)锳C⊥BD，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，所以AC⊥BD1，同理可證AB1⊥BD1.又AC∩AB1＝A，所以BD1⊥平面AB1C，所以BD1垂直于平面AB1C內(nèi)的任意一條直線．因?yàn)镋O∥BD1，所以EO垂直于平面AB1C內(nèi)的任意一條直線．所以EO⊥平面AB1C.又EO?平面EAC，所以平面EAC⊥平面AB1C.2．(2017·江蘇揚(yáng)州期中)如圖，某市在海島A上建了一水產(chǎn)養(yǎng)殖中心．在海岸線l上有相距70公里的B，C兩個(gè)小鎮(zhèn)，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有3百人，C鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有5百人．現(xiàn)欲在BC之間建一個(gè)碼頭D，運(yùn)送來自兩鎮(zhèn)的員工到養(yǎng)殖中心工作，又知水路運(yùn)輸與陸路運(yùn)輸每百人每公里運(yùn)輸成本之比為1∶2.(1)求sin∠ABC的大小；(2)設(shè)∠ADB＝θ，試確定θ的大小，使得運(yùn)輸總成本最少．解(1)在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(900＋4900－6400,2×30×70)＝－eq\f(1,7)，所以sin∠ABC＝eq\f(4\r(3),7).(2)在△ABD中，由eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(AB,sinθ)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得eq\f(30,sinθ)＝eq\f(AD,\f(4\r(3),7))＝eq\f(BD,－\f(1,7)sinθ＋\f(4\r(3),7)cosθ)，所以AD＝eq\f(120\r(3),7sinθ)，BD＝eq\f(\f(120\r(3),7)cosθ－\f(30,7)sinθ,sinθ)＝eq\f(120\r(3)cosθ,7sinθ)－eq\f(30,7).設(shè)水路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M(fèi)用為k元，陸路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M(fèi)用為2k元，則運(yùn)輸總費(fèi)用y＝(5CD＋3BD)×2k＋8×k×AD＝2k[5(70－BD)＋3BD＋4AD]＝20keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(35－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12\r(3)cosθ,7sinθ)－\f(3,7)))＋4×\f(12\r(3),7sinθ)))＝20keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(35＋\f(6,7)＋\f(24\r(3),7)·\f(2－cosθ,sinθ)))，令H(θ)＝eq\f(2－cosθ,sinθ)，則H′(θ)＝eq\f(1－2cosθ,sin2θ)，設(shè)H′(θ)＝0，解得cosθ＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,3)，當(dāng)0<θ<eq\f(π,3)時(shí)，H′(θ)<0，H(θ)單調(diào)遞減；當(dāng)eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)時(shí)，H′(θ)>0，H(θ)單調(diào)遞增，所以當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，H(θ)取最小值，同時(shí)y也取得最小值．此時(shí)BD＝eq\f(120\r(3)cosθ,7sinθ)－eq\f(30,7)＝eq\f(90,7)，滿足0<eq\f(90,7)<70，所以點(diǎn)D落在BC之間，所以當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，運(yùn)輸總成本最?。甬?dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，運(yùn)輸總成本最小．3．已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(30,2a))，A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)0,b1)).(1)求a，b的值；(2)求A的特征值．解(1)因?yàn)锳A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(30,2a))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)0,b1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,\f(2,3)＋aba))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,\f(2,3)＋ab＝0，))解得a＝1，b＝－eq\f(2,3).(2)由(1)得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(30,21))，則A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(λ－30,－2λ－1))＝(λ－3)(λ－1)．令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3.4．(2017·江蘇蘇州中學(xué)質(zhì)檢)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．解將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是y＝x－4，將圓C的極坐標(biāo)方程ρ