1.3.1等比數列及其通項公式（2知識點6題型強化訓練）（原卷版）

1.3.1等比數列及其通項公式課程標準學習目標（1）通過生活中的實例,理解等比數列的概念和通項公式的意義;（2）能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數列的等比關系,并解決相應的問題。（1）掌握等比數列的概念，會證明某數列是等比數列;（2）掌握等比數列的通項公式，會求某等比數列通項公式.（難點)（3）利用等比數列解決實際生活問題。知識點01等比數列的概念如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，記為q.代數形式：anan-1=q(q是常數，n≥2)或解析(1)公比是每一項與它的前一項的比，常數指的是與n無關;(2)等比數列中an≠0,q≠0(否則數列會出現(xiàn)0,不可能符合等邊數列定義(3)anan-1an+1anan+1a【即學即練1】已知an,bA．an+bn B．an?知識點02等差數列的通項公式等比數列an的首項為a1，公比為q，則an解析(1)證明由等比數列的定義可得，an所以a2a1=q,a3a把以上n-1個等式累乘可得ana1=當n=1時，a1=故an以上的方法稱之為累乘法.(2)通項公式an=a1q(3)等比數列的通項公式可整理為an=a1qn-1=a1q?qn,當(4)偶數項的正負、奇數項的正負相同(a2na2n-1=【即學即練2】已知等比數列an的前三項和為13，a6-6a5A．81 B．243 C．27 D．729【題型一：由定義判定等比數列】例1．已知數列an是等比數列，則下列數列一定是等比數列的是（

A．a2n BC．an+a變式11．設命題p：數列an是等比數列，命題q：數列a2k-1和a2kk∈N*均為等比數列，則A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式12．等差數列an的前項n和為Sn，且an∈NA．數列2an一定是等比數列 B．數列C．數列Snn一定是等差數列 D．數列【方法技巧與總結】證明某數列an是等比數列，可采取定義法，只需要證明anan-1【題型二：由遞推公式證明等比數列】例2．已知數列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an-3}變式21．已知數列an滿足an+1=3an+2，則“a1=-1”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式22．在數列an中，a1=1．若命題p:an+1+an=A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【方法技巧與總結】要由遞推公式證明某數列是等比數列，常見的方法也是采取定義法.【題型三：求等比數列的通項公式】例3．若等比數列an的各項均為正數，且3a5，1A．3 B．6 C．9 D．18變式31．設x,x+10,x-5是等比數列an的前三項，則an=A．-4×-32n-1 B．-4×-3變式32．等比數列an中，a1=1，a5=-8a2A．(-2)n-1 B．-(-2)n-1 C．(-2)變式33．已知數列an滿足a1=2，a2=-1，數列3anA．3n-1+(-2)n-1C．2n-1+(-3)【方法技巧與總結】要求等比數列的通項公式，首先要確定數列是等比數列，由通項公式an=a1qn-1【題型四：等比數列通項公式的基本量計算】例4．在各項均為正數的等比數列an中，6a1，12a2，-aA．14 B．28 C．42 D．56變式41．在等比數列an中，a1+a4=8，A．19 B．49 C．1 D變式42．已知an是正項等比數列，若4a1,1A．3 B．4 C．5 D．6變式43．數列an的前n項和Sn滿足Sn=12SA．-7 B．-6 C．6 D．7【方法技巧與總結】求等比數列的基本量，往往采取列方程組的方法求出首項a1和公比q便可，后面學了等比數列的性質還有更簡便的方法【題型五：實際問題中的等比數列】例5．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數列的問題，即一個數列an本身不是等差數列，但從數列an中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列bn，則稱數列an為一階等差數列，或者bn仍舊不是等差數列，但從bn數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列cn，則稱數列an為二階等差數列，依次類推，可以得到高階等差數列．類比高階等差數列的定義，我們亦可定義高階等比數列，設數列1，1，2，8，A．210 B．215 C．221變式51．折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年.在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為1的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A．28 B．18 C．24變式52．分形的數學之美，是以簡單的基本圖形，凝聚擴散，重復累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖所示，為正方形經過多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個正方形的對應邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長為9，則第3個正方形的邊長為（

）

A．4 B．8168 C．6 D【方法技巧與總結】在實際問題中，理解題意是關鍵，能在題中提煉出等比數列的有效信息，把自然語言化為等比數列的符號語言，把實際問題轉化為求等比數列基本量的問題求解.【題型六：等比數列通項公式綜合運用】例6．設數列an的前n項和為Sn．已知a1(1)求數列an(2)若bn是公比為4的等比數列，且b1+a1，b2+a2變式61．已知等比數列an滿足a1?a5=4aA．12 B．13 C．14 D．15變式62．正項數列an中，an+1=kan（k為實數），若aA．3,9 B．3,9 C．3,15 D．3,15變式63．設數列an的前n項和為Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4變式64．已知數列an滿足a1=2(1)證明：數列an(2)在ak與ak+1之間插入k個數，使得這k+2個數組成公差為3k變式65．在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”．如數列1，2第1次“和擴充”后得到數列1，3，2，第2次“和擴充”后得到數列1，4，3，5，2．設數列a，b，c經過第n次“和擴充”后所得數列的項數記為Pn，所有項的和記為S(1)求P1(2)若Pn≥2024，求(3)是否存在實數a,b,c，使得數列{Sn}一、單選題1．已知正項等比數列an，a2-a1=1，當A．an=2C．an=22.在遞增的等比數列an中，a1，a5是方程x2-34x+64=0A．4 B．12 C．24 D．12或243.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結構，減少風荷載影響，設計師可能會將建筑設計成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為43m，第n層高度記為anm，an是公比為32的等比數列，若第k層高度小于A．6 B．5 C．4 D．34.數列an的前n項和為Sn，若a1=1，Sn+1A．32023-2 BC．32025-2 D5.已知等比數列an是遞減數列，且a3+a4A．12,1 B．13,1 C．6.設為Sn等差數列an的前n項和，已知S1、S2、S4成等比數列，S2=2A．6 B．7 C．8 D．97.在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得新數列按照同樣的方法進行構造，可以不斷形成新的數列．現(xiàn)對數列1，2進行構造，第1次得到數列1，3，2；第2次得到數列1，4，3，5，2；…依次構造，記第n（n∈N*）次得到的數列的所有項之和為Tn，則TA．1095 B．3282 C．6294 D．98438.已知公比為負數的等比數列an的前n項積為Tn，且a2=-16,a6=-1，記Tn的最大值為A．4 B．32 C．16 D．8二、多選題9．已知等差數列an的前n項和為Sn，等比數列bn的前n項積為TA．an+bn不可能為等比數列C．Snn是等差數列D．10.在數列an中，已知a1=3．當n∈N*A．a2=3 B．a4-a3=2711.已知數列an，bn滿足an=bA．b3=4a1+2 BC．當b1=0時，an是等差數列 D．當b三、填空題12．公差大于零的等差數列an中，a5，7a3，a11成等比數列，若13.已知數列an滿足an+2=3an+1-2an，a114.已知某種細菌培養(yǎng)過程中，每小時1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌.則1個正常細菌經過8小時的培養(yǎng)，可分裂成的細菌的個數為（用數字作答）.四、解答題15．已知等比數列an的公比q>0，且a3+(1)求an(2)若數列bn滿足bn=λ?3n16.已知數列an的首項a1=3，且滿足a(1)求證：數列an(2)記bn=log2an-1，求數列117.已知公比大于1的等比數列an滿足a3=8，且a1、(1)求數列an(2)記bm為an在區(qū)間0,m（