波動率微笑（寬客大師教你建模）

\h波動率微笑寬客大師教你建模目錄\h第1章總覽\h介紹\h布萊克-斯科爾斯-默頓模型及其缺陷\h隱含波動率微笑速覽\h不存在無用的模型\h模型的目的\h第2章復(fù)制的原則\h復(fù)制\h對標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險建模\h投資的關(guān)鍵問題\h衍生品不是獨(dú)立的證券\h■章末問題\h第3章靜態(tài)復(fù)制和動態(tài)復(fù)制\h完全靜態(tài)復(fù)制\h動態(tài)復(fù)制簡述\h■章末問題\h第4章方差掉期復(fù)制的一課\h期權(quán)的波動率敏感性\h波動率和方差掉期\h復(fù)制波動率掉期\h在BSM模型環(huán)境下，用期權(quán)復(fù)制一個方差掉期\h權(quán)重為1/K2的普通期權(quán)組合的對數(shù)損益\h證明當(dāng)S*=S0時，對數(shù)合約的公允價值就是未來的實際方差\hVIX波動率指數(shù)\h■章末問題\h第5章在布萊克-斯科爾斯-默頓模型條件下，期權(quán)對沖的損益情況\h布萊克-斯科爾斯-默頓等式\h對沖交易策略的損益情況\h在BSM模型環(huán)境中，不同對沖策略的效果\h■章末問題\h第6章離散對沖對于損益的影響\h離散再調(diào)整的復(fù)制誤差\h示例\h結(jié)論：精確復(fù)制和對沖非常困難\h■章末問題\h第7章交易成本對損益的影響\h交易成本的影響\h對交易成本影響的近似解析\h■章末問題\h第8章微笑曲線關(guān)于曲線形狀的要點(diǎn)和相應(yīng)的解釋\h微笑曲線、期限結(jié)構(gòu)、曲面和斜度\h如何繪制微笑曲線\hDelta值和微笑曲線\h微笑曲線對于交易的影響\h■章末問題\h第9章微笑曲線的無套利邊界\h微笑曲線的無套利邊界介紹\h■章末問題\h第10章微笑模型調(diào)查\h符合微笑曲線的模型概覽\h微笑曲線帶來的困擾\h■章末問題\h第11章隱含分布與靜態(tài)復(fù)制\h隱含分布\hBreeden-Litzenberger公式\h靜態(tài)復(fù)制：用隱含分布來對任意一個期限固定的衍生品進(jìn)行估值\h布萊克-斯科爾斯-默頓模型的風(fēng)險中性概率密度\h■章末問題\h第12章弱式靜態(tài)復(fù)制\h到目前為止的本書總結(jié)\h弱式靜態(tài)復(fù)制的介紹\h障礙期權(quán)靜態(tài)復(fù)制問題的一些要點(diǎn)\h另一種方法：上升出局看漲期權(quán)的靜態(tài)復(fù)制\h■章末問題\h第13章二叉樹模型及其擴(kuò)展\h股價變動方式的二叉樹模型\h期權(quán)估值的二叉樹模型\h布萊克-斯科爾斯-默頓模型的擴(kuò)展\h■章末問題\h第14章局部波動率模型\h股票動態(tài)波動率模型\h二項局部波動率模型\h局部波動率與隱含波動率的關(guān)系\h二叉樹模型的難點(diǎn)\h擴(kuò)展閱讀\h■章末問題\h第15章局部波動率的影響\h局部波動率的DUPIRE公式\h理解公式\hDUPIRE公式的二叉樹推導(dǎo)式\hDUPIRE公式的嚴(yán)格證明\h局部波動率和隱含波動率之間的嚴(yán)格關(guān)系式及相關(guān)應(yīng)用\h■章末問題\h第16章局部波動率模型對沖比率及奇異期權(quán)估值\h局部波動率模型中的對沖比率\h局部波動率下奇異期權(quán)的理論價值\h■章末問題\h第17章關(guān)于局部波動率的一些總結(jié)\h局部波動率的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)\h指數(shù)期權(quán)的局部波動率模型檢驗\h第18章波動率變動的各種模式\h曲線斜度及動態(tài)變化之間的啟發(fā)性聯(lián)系\h向隨機(jī)波動率模型發(fā)展\h■章末問題\h第19章隨機(jī)波動率模型入門\h隨機(jī)波動率介紹\h在布萊克-斯科爾斯-默頓模型中引入隨機(jī)波動率的啟發(fā)式方法\h■章末問題\h第20章一些隨機(jī)波動率模型的近似解\h局部波動率模型的擴(kuò)展\hBSM模型擴(kuò)展：根據(jù)復(fù)制原則對隨機(jī)波動率期權(quán)進(jìn)行估值\h隨機(jī)波動率模型的特征解\h■章末問題\h第21章隨機(jī)波動率模型無相關(guān)性時的微笑曲線\h無相關(guān)性時的微笑曲線由貨幣性決定\h無相關(guān)性下的微笑曲線呈現(xiàn)對稱性\h案例：兩狀態(tài)隨機(jī)路徑波動率\h無相關(guān)性下，幾何布朗運(yùn)動隨機(jī)波動率的微笑曲線\h■章末問題\h第22章隨機(jī)波動率模型均值回歸假設(shè)及存在相關(guān)性時的微笑曲線\h無相關(guān)性且波動率服從均值回歸\h存在相關(guān)性時的隨機(jī)波動率模型\h布萊克-斯科爾斯-默頓模型、局部波動率模型以及隨機(jī)波動率模型中的對沖比率的對比\h根據(jù)隨機(jī)波動率模型只對股票進(jìn)行最優(yōu)對沖\h結(jié)論\h延伸閱讀\h■章末問題\h第23章跳-躍擴(kuò)散模型的微笑曲線：介紹\h跳躍\h純跳躍模型\h■章末問題\h第24章全跳-躍擴(kuò)散模型\h跳躍加擴(kuò)散\h跳躍-擴(kuò)散三叉樹模型及其調(diào)整\h用跳躍-擴(kuò)散模型對看漲期權(quán)進(jìn)行估值\h混合公式\h跳躍-擴(kuò)散微笑曲線的定性分析\h簡化跳躍-擴(kuò)散模型：單次大幅小概率跳躍\h延伸思考與閱讀\h■章末問題\h后記\h附錄A關(guān)于布萊克-斯科爾斯-默頓模型的一些有用的推導(dǎo)式\h附錄B倒向伊藤積分\h附錄C方差掉期分段線性復(fù)制策略\h章末問題答案第1章總覽·金融大危機(jī)期間的模型·期權(quán)定價的難點(diǎn)·波動率微笑介紹·金融科學(xué)和金融工程·模型的目的和運(yùn)用介紹在本書中，我們的主要目標(biāo)是用一種簡單直接、易于理解的方式介紹波動率微笑的模型。在1987年全球股票市場崩盤之前，布萊克-斯科爾斯-默頓（Black-Scholes-Merton，BSM）期權(quán)定價模型在期權(quán)市場上的應(yīng)用已經(jīng)頗得人心。在崩盤之后，各個股票指數(shù)期權(quán)市場都出現(xiàn)了波動率微笑曲線，很顯然，這種現(xiàn)象是違背BSM模型原理的。自此以后，全世界的量化分析師都在竭力擴(kuò)展這一模型，使之能夠反映這一異?，F(xiàn)象。在本書中，我們的重點(diǎn)將是期權(quán)定價，學(xué)習(xí)BSM模型及其局限性，并深入介紹BSM模型的各種拓展形式，根本目的也是為了解釋這些異?，F(xiàn)象。本書的大部分內(nèi)容都是圍繞這些課題的。促成本書成稿的第2個原因是2007～2008年的金融危機(jī)，這場金融危機(jī)始于住房貸款擔(dān)保債務(wù)憑證（CDO）市場的崩盤，這些恰恰都是通過金融工程方法進(jìn)行估值的結(jié)構(gòu)化信貸產(chǎn)品。在危機(jī)開始的時候，就有一些專家認(rèn)為是金融工程的運(yùn)用導(dǎo)致了住房貸款市場的崩塌。保羅·沃克爾（PaulVolcker）的外孫就是一個金融工程師，老人家在2009年的一場演講中就有過這樣的一段話：一年多以前，我的女兒曾看到過……我在一些筆記中對于金融工程提出了批評。她將這些筆記發(fā)給我的外孫，實際上我跟他之間的交流并不多。我的外孫給我寫了封郵件，提到：“外公，不要把這些都怪到我們的頭上！我們只是按照老板的指示干活?！蔽椅ㄒ荒茏龅木褪墙o他回了封郵件，寫道“我才不接受這些借口呢”。將金融模型比作納粹戰(zhàn)爭罪行似乎有些過了，但實際上，從那時候起，搞模型的人在金融危機(jī)中扮演了什么樣的角色就變得更加微妙。西班牙和愛爾蘭也經(jīng)歷了房地產(chǎn)市場的泡沫，但跟美國的情況不一樣，它們并沒有充斥著復(fù)雜的金融工程產(chǎn)品。保羅·克魯格曼（PaulKrugman）曾經(jīng)提出，這場金融危機(jī)的根源在于，1998年貨幣危機(jī)之后，西方國家快速從亞洲抽回資本，導(dǎo)致亞洲國家從此過度依賴出口、儲蓄以及貯藏，并過度使用信貸，使得投機(jī)活動愈演愈烈。當(dāng)然，也有很多與此相對立的觀點(diǎn)。畢竟所有人類社會中的復(fù)雜事件，都不可能是由單因素導(dǎo)致的。然而，在危機(jī)演化發(fā)展的過程中，模型確實起到了一定的助推作用。在安全收益率極低的環(huán)境下，已經(jīng)失靈的金融模型將投資人吸引到（有時是誤導(dǎo)或者誘騙到）那些結(jié)構(gòu)化的CDO上去，這些產(chǎn)品往往承諾提供一個非常樂觀的高回報。盡管我們的模型更專注于期權(quán)定價，而不是住房抵押貸款證券化產(chǎn)品，我們?nèi)匀幌Ｍ緯軌驅(qū)Υ罱ㄏ嚓P(guān)模型提供有用的見解。布萊克-斯科爾斯-默頓模型及其缺陷斯蒂芬·羅斯（StephenRoss）就職于麻省理工學(xué)院，他是二叉樹期權(quán)定價模型和風(fēng)險中性定價理論的發(fā)明者之一，他曾經(jīng)寫道：“如果從對歷史數(shù)據(jù)的解釋能力來看的話，期權(quán)定價理論是金融領(lǐng)域乃至整個經(jīng)濟(jì)學(xué)中最為成功的理論?！保≧oss，1987）但是，即使是如此成功的模型，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)談不上完美。金融學(xué)術(shù)圈傾向于認(rèn)為期權(quán)定價問題已經(jīng)解決了，而且也已不是當(dāng)下的主流課題。但是本書的讀者中，如果有從事相關(guān)職業(yè)的話（期權(quán)交易員，不管是股票、固定收益、貨幣還是商品，或者風(fēng)險管理人員、風(fēng)險控制人員、模型審計人員），將會發(fā)現(xiàn)期權(quán)定價問題實際上根本沒有得到解決。金融市場一點(diǎn)也不尊重傳統(tǒng)的BSM公式，市場上甚至沒有注意到它們運(yùn)用的公式存在瑕疵。從業(yè)人員和交易員都在交易衍生證券，并需要確定可接受的成交價格，尤其是那些流動性非常差的衍生品，而他們最終得到的往往也只是一個差不多的定價。當(dāng)實際市場情況與模型假設(shè)不相符的時候，他們需要弄明白怎么樣修正BSM模型，而且不斷找到新的方法繼續(xù)這么做，因為市場行為會根據(jù)實際情況持續(xù)變化。在本書中，我們重點(diǎn)關(guān)注BSM模型及其缺陷。在某種意義上，BSM模型確實是個奇跡：它使得你可以用一種非常理性的方法來給證券定價，在此之前，根本沒有一個合理的或者站得住腳的定價理論。一個完全理想化的世界中（假設(shè)回報服從正態(tài)分布，股票價格服從幾何布朗運(yùn)動規(guī)律，具有充沛的流動性，可以進(jìn)行持續(xù)套期保值，并且沒有交易成本），BSM模型提供了一種動態(tài)復(fù)制期權(quán)的方法。這是一個在想象世界中工程學(xué)方法所創(chuàng)造的杰作，只是這個世界并不存在，因為市場并不總是服從所有的假設(shè)條件。這確實是個奇跡，但是它也只是一個模型，并不是實際情況。BSM模型所要求的假設(shè)中，有一些可以近似服從，有一些卻相距甚遠(yuǎn)。比如，沒有交易成本，且可以持續(xù)套期保值，這些都是可以通過調(diào)整實現(xiàn)的假設(shè)，我們將在后面章節(jié)中進(jìn)行解釋。在每天的工作中，熟練的交易員和量化分析師可以根據(jù)估計和直覺近似做到這點(diǎn)。比如說，你可以嘗試性地在期權(quán)價格中，或者BSM模型的波動率關(guān)鍵點(diǎn)位上加上幾美元，以覆蓋交易成本。從這個意義上講，模型是有效的——你可以把理想化的模型進(jìn)行一些改動，以盡可能地靠近無序的真實市場。還有一些BSM模型的假設(shè)跟實際情況就差得很遠(yuǎn)了。比如，股票價格實際上并不服從幾何布朗運(yùn)動。它們可能會出現(xiàn)跳躍，分布呈現(xiàn)肥尾，而且波動率可能會出現(xiàn)意料之外的變化。要調(diào)整這些假設(shè)條件不是件輕松的事情。我們在本書中將解決這些問題。最后，BSM模型聽起來非常合理，吸引了許多人，即使那些不相信其假設(shè)的人也愿意根據(jù)這個模型來達(dá)成他們的交易價格。隱含波動率微笑速覽BSM模型假設(shè)一只股票未來的回報波動率是穩(wěn)定的，跟行權(quán)價格或以其為標(biāo)的的期權(quán)到期日無關(guān)。如果模型是正確的，將期限相同、行權(quán)價格不同的一系列期權(quán)的隱含BSM波動率連起來，會是一條直線。圖1-1展示的是在1987年黑色星期一股市危機(jī)以前，3月期股票指數(shù)隱含波動率的走勢情況。圖1-11987年以前標(biāo)普500指數(shù)隱含波動率情況可以看出，在危機(jī)之前，BSM模型看起來能夠很好地描述期權(quán)市場，至少對不同行權(quán)價的期權(quán)是有效的。圖1-2展示的是1987年危機(jī)之后，典型的3月期期權(quán)隱含波動率的走勢。就算這條微笑曲線上的所有期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)都是一樣的，但是每個期權(quán)的隱含波動率也各不相同。這并不符合BSM模型的假設(shè)，即隱含波動率是實際波動率的預(yù)期值，而且只能有一個值。你可以將期權(quán)想象成股票未來波動率的隱喻型照片，只是拍攝角度或者層次不同。盡管從不同的角度給一棟建筑物拍照片，出來的圖片看起來或許會有差異，但是建筑的實際大小應(yīng)該是一樣的。與此相似，如果BSM模型是靠得住的，股票的隱含波動率應(yīng)該是一樣的，不管你用的是哪個期權(quán)來計算。期權(quán)的價格是從股票的價格中推導(dǎo)出來的，但是股票的波動率則不取決于期權(quán)。圖1-21987年以后，典型的標(biāo)普500指數(shù)隱含波動率曲線1987年危機(jī)以后，盡管微笑曲線最常見于股票指數(shù)期權(quán)市場，但是在貨幣期權(quán)市場也能看到這種情況。從字面上來看，稱之為微笑曲線主要是因為隱含波動率跟行權(quán)價格之間的關(guān)系像一張笑臉“”。如圖1-2所示，股票“微笑曲線”更像一條斜線或者假笑曲線，但是業(yè)內(nèi)的人都堅持稱用“微笑”來描述隱含波動率和行權(quán)價之間的關(guān)系，而不管其實際形狀如何。1987年以后，這種微笑曲線的出現(xiàn)很顯然與當(dāng)年的那場危機(jī)有關(guān)，這是自1929年以來，人們第一次驚訝地發(fā)現(xiàn)，這個巨大的市場在一天之內(nèi)的跌幅可能達(dá)到20%甚至更多，這深深地震撼了大家的內(nèi)心。市場上的參與者很快就得出結(jié)論，那就是對投資人來說，低行權(quán)價的看跌期權(quán)比高行權(quán)價的看漲期權(quán)更有價值。1987年以后，波動率微笑已經(jīng)遍布各個期權(quán)市場（貨幣、固定收益、商品等），但是在不同的市場上，微笑曲線的形式和形狀各不相同。不同產(chǎn)品領(lǐng)域的交易員和量化分析師都已經(jīng)開發(fā)出相應(yīng)市場的微笑模型。在很多公司，不僅是前臺的交易員有自己的微笑模型，公司層面的風(fēng)險管理團(tuán)隊也有自己的模型。關(guān)于波動率微笑的模型是金融模型風(fēng)險的最大來源之一。不存在無用的模型在過去的20年中，量化金融和資產(chǎn)定價變得越來越形式化、教條化。很多教科書在金融學(xué)方面引用了很多數(shù)學(xué)定理，并推導(dǎo)出相關(guān)的結(jié)論。在本書中，我們學(xué)習(xí)的是金融工程，而不是金融數(shù)學(xué)，想法和模型至少跟數(shù)學(xué)是一樣重要的。數(shù)學(xué)知識越扎實越好，但是數(shù)學(xué)只是語法，而不是語義。保羅·狄拉克（PaulDirac）是狄拉克方程的發(fā)現(xiàn)者，也是第一個預(yù)測存在反粒子的人。他曾經(jīng)提過一個很好的觀點(diǎn)：相比證明過程，我對本質(zhì)更感興趣。——保羅·狄拉克關(guān)于定理和規(guī)律數(shù)學(xué)需要公理和公設(shè)，然后數(shù)學(xué)家才能推導(dǎo)出合乎邏輯的結(jié)論。比如，在幾何學(xué)中，歐幾里得公理是指部分與整體之間不證自明的關(guān)系，他的公設(shè)是指點(diǎn)和線之間應(yīng)該成立的關(guān)系。其中一條歐幾里得公理就是說，等量與等量之間相等。再比如說，其中一條歐幾里得公設(shè)就是說，任意兩個點(diǎn)可以通過一條直線連接。歐幾里得的點(diǎn)和線是從這些本質(zhì)中抽象出來的。當(dāng)你對這些抽象概念足夠熟悉的時候，它們幾乎就變成有形的了。即使那些更為深奧的抽象（比如作為量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的無限維度的希爾伯特空間）對數(shù)學(xué)家來說都是真實可見的。不僅如此，數(shù)學(xué)上的定理都是描述抽象事物之間的關(guān)系，而不是那些激發(fā)他們想象力的現(xiàn)實事物。跟數(shù)學(xué)相比，科學(xué)給出的一條條規(guī)律。規(guī)律描述的是可觀察的行為。它們描述的是宇宙的運(yùn)行規(guī)律。牛頓定理使得我們可以將火箭發(fā)射到月球上去。麥斯威爾方程使得無線電和電視變?yōu)榭赡?。根?jù)熱力學(xué)規(guī)律，內(nèi)燃機(jī)將熱能轉(zhuǎn)化為動能。金融關(guān)注的是證券的價值和它們的風(fēng)險之間的關(guān)系，以及這些價值之間的行為模式。它關(guān)注實用性，就像物理學(xué)、化學(xué)或者電子工程。約翰·梅納德·凱恩斯曾經(jīng)這樣描述經(jīng)濟(jì)學(xué)，“如果經(jīng)濟(jì)學(xué)家能夠像牙醫(yī)那樣謙遜、稱職，那就再好不過了”。牙醫(yī)靠的是科學(xué)、相關(guān)工藝、知識經(jīng)驗的積累以及來自實踐的啟發(fā)，牙科學(xué)本身也沒有什么定理。與此相似，有人希望金融應(yīng)該更關(guān)注規(guī)律而不是定理，關(guān)注行為變化而不是假設(shè)條件。沒人可以用定理來描述市場的行為。那么我們應(yīng)該如何看待金融和金融工程的基礎(chǔ)呢？金融工程工程學(xué)關(guān)注的是如何制造機(jī)器或設(shè)備。一個設(shè)備只是宇宙中很小的一部分，或多或少獨(dú)立于其他部分，借用已經(jīng)存在的外部條件，遵從該領(lǐng)域的規(guī)律，并且運(yùn)行之后能夠?qū)崿F(xiàn)我們認(rèn)為有用的功能。首先，我們來看看幾種較為熟悉的工程學(xué)。機(jī)械工程關(guān)注的是根據(jù)力學(xué)原理（比如牛頓力學(xué)原理）制造設(shè)備，恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合那些通過經(jīng)驗總結(jié)出來的、更為復(fù)雜的力學(xué)現(xiàn)象，這些現(xiàn)象往往無法從基礎(chǔ)原理推導(dǎo)出來（比如摩擦）。電氣工程是研究如何在麥斯威爾方程和量子力學(xué)的基礎(chǔ)上，制造有用的電氣設(shè)備。生物工程是一門藝術(shù)，在生物化學(xué)、生理學(xué)以及分子生物學(xué)的原理上，創(chuàng)造出生理修復(fù)工具和生物活動設(shè)備。科學(xué)（機(jī)械學(xué)、電動力學(xué)、分子生物學(xué)等）的目的都是為了發(fā)現(xiàn)描述世界的基本原理，而且通常是為了還原世界的運(yùn)行。工程學(xué)則是根據(jù)這些原理，建造具有實用功能的設(shè)備。金融工程是什么？在一個邏輯上連續(xù)的世界中，金融工程是在堅實的金融科學(xué)基礎(chǔ)上，研究如何創(chuàng)造有用的金融工具的學(xué)科（可轉(zhuǎn)換債券、權(quán)證、波動率掉期等），并使之按預(yù)想的方式運(yùn)行。這就是金融科學(xué)，一種運(yùn)用假定推演的方法研究金融標(biāo)的基本規(guī)律的科學(xué)，這些標(biāo)的物可以是股票、利率或者任何你想用來分析的對象。只是不幸的是，這里我們要分析的對象是恐龍。金融工程需要用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括微積分、概率論、隨機(jī)過程、模擬研究以及布朗運(yùn)動。這些領(lǐng)域可以幫助洞察一些我們在市場中碰到的不確定性的本質(zhì)，但是它們無法準(zhǔn)確描述金融標(biāo)的物的行為特征。市場中充斥異常情況，它們與標(biāo)準(zhǔn)的金融學(xué)理論相悖（或者更精確地說，這些理論本身就無法從系統(tǒng)上解釋市場的真實行為）。比如，1987年股市危機(jī)的時候，當(dāng)天的虧損就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過歷史標(biāo)準(zhǔn)的平均水平，如果股市回報服從正態(tài)分布的話，這樣的虧損在我們的一生中也不可能出現(xiàn)。最近，摩根大通將“倫敦鯨”事件描述為8個標(biāo)準(zhǔn)差時間（JPMorganChase&Co.2013）。僅僅從這個例子就可以看出，股價的走勢并不服從布朗運(yùn)動的規(guī)律。\h[1]因此，盡管金融工程師擁有眾多的數(shù)學(xué)工具，但是我們并沒有找到能夠解釋這些現(xiàn)象的正確規(guī)律——現(xiàn)在沒找到，或許永遠(yuǎn)也找不到。由于我們沒有找到正確的規(guī)律，用公理化的方法來分析金融就存在問題。公理化在類似于幾何學(xué)這樣的領(lǐng)域是恰當(dāng)?shù)?，一個人可以假設(shè)任何公理，只要能夠自圓其說，甚至在牛頓力學(xué)領(lǐng)域這也是成立的，其中一些科學(xué)規(guī)律有著非常嚴(yán)格的界定，幾乎可以被看作公理。但是在金融領(lǐng)域，所有從業(yè)人員都知道，我們的“公理”甚至都談不上好不好。保羅·威爾莫特（PaulWilmott）曾寫道，“每一條金融上的公理……看起來都是錯的。真正的問題是錯在哪兒了……”（Wilmott，1998）。用公理化的方法來教授金融學(xué)，比將其用在其他真正科學(xué)上的效果要差得多。如果非要給個定義的話，金融學(xué)代表了我們生活的世界中混亂的一面。最好的方法是在你已經(jīng)具備敏銳的直覺之后再學(xué)習(xí)公理。數(shù)學(xué)很重要，你懂得數(shù)學(xué)知識越多，你離成功也就越近。但是不要過度沉溺于數(shù)學(xué)之中。金融模型所面臨的數(shù)學(xué)問題比你想象中的少。在本書中，我們的首要任務(wù)是理解概念以及其運(yùn)用，然后再將數(shù)學(xué)作為一個工具。在這里，我們并不過度追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)或計算效率，而是盡力將我們的想法梳理清楚。我們對于什么是正確的資產(chǎn)行為理解非常之少。它們是否能滿足嚴(yán)格的約束條件？這些約束條件是否具有持續(xù)性？對于假設(shè)的依賴越少越好，對于模型的依賴也是越少越好。當(dāng)我們確實需要依靠模型的時候，那么越簡單的模型越好。牢牢記住這點(diǎn)，我們一起來看下金融模型背后的一些原理。\h[1]見Mandelbrot（2004）和Gabaix等（2003）。模型的目的在檢查模型的相關(guān)概念之前，我們需要分清楚價格和價值。價格就是你買某個證券需要付的錢，或者你賣某個證券能收到的錢；價值是某證券究竟值多少錢（或者，更精確地說，你認(rèn)為這個證券應(yīng)該值多少錢）。不是每個人都能在價值上取得一致意見。當(dāng)價格等于價值的時候，這個價格就被認(rèn)為是公允的。但是什么是公允價值？你怎么去估算公允價值？要判斷價值，即使是最簡單的方法，也需要涉及建立一套模型或者理論。簡單卻經(jīng)典的金融模型假設(shè)剛剛發(fā)生了一場金融危機(jī)。華爾街正在裁員，炮臺公園附近的公寓每天都有成交記錄，但是大面積的豪宅流動性仍然很差。如果有人告訴你一套炮臺公園兩居室的價格，你怎么去估算公園大道上一套七居室豪宅的價值？市場上并沒有報價。一個合理的模型是這樣的：首先，計算出炮臺公園兩居室每平方英尺的價格；然后，乘以公園大道那套豪宅的面積；接著根據(jù)地理位置、視野、燈光、物業(yè)、設(shè)備以及其他因素進(jìn)行調(diào)整。舉個例子，假設(shè)炮臺公園的兩居室價格是150萬美元，面積是1000平方英尺\(yùn)h[1]。可以得到單價是1500美元/平方英尺?，F(xiàn)在假設(shè)公園大道的七居室面積是5000平方英尺。根據(jù)我們的模型，公園大道的豪宅大概價值是750萬美元。但是公園大道的地理位置更好，所以我們認(rèn)為應(yīng)該比炮臺公園的價格高出33%，也就是說價格估計是1000萬美元。此外，大面積的豪宅是稀缺的，也需要給一個溢價，我們將估價提高到1300萬美元。再假設(shè)公園大道的豪宅是高層的，視野特別好，而且有入戶電梯，那么我們的估價就進(jìn)一步提高到了1500萬美元。另一方面，假設(shè)公園大道房子的原房東是一位剛剛過世的老人，已經(jīng)有40年沒有翻新過這個房子了。因此要住進(jìn)這個房子還需要很多額外的工作，這會將我們的估價砍到1200萬美元。我們的模型有一個初始參數(shù)，就是推算出來的每平方英尺單價，你在炮臺公園模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了調(diào)整，然后用來估算公園大道的房產(chǎn)價格。每平方英尺單價是隱含變量；1500美元/平方英尺并不是公寓的單價，因為還有其他的變量——視野、建筑質(zhì)量、近鄰街坊等，這些都包含在那個數(shù)字里面。對于金融證券來說也是這樣，就如同公寓的這個案例，模型是在已知價格的基礎(chǔ)上，通過內(nèi)插法或者外插法去估計未知的價值——在我們的例子中，就是用炮臺公園房產(chǎn)的價格來估計公園大道房產(chǎn)的價格。大多數(shù)時候，模型是根據(jù)已知的高流動性證券價格來估算流動性相對較差的證券價格。對于結(jié)構(gòu)化期權(quán)模型和純粹套利模型來說都是這樣的。從這個意義上來講，金融模型不同于物理模型，實際上并不能用來預(yù)測未來。比如根據(jù)牛頓定理，只要知道一個火箭的初始位置和速度，你就能知道之后它的運(yùn)行方位，一個金融模型告訴你的是如何對比當(dāng)前不同的價格。BSM模型告訴你，怎樣根據(jù)股票和無風(fēng)險債券的價格，去計算出期權(quán)當(dāng)前的價值，這是將期權(quán)看作股票和債券的綜合體，再通過非常復(fù)雜而且合理的插值法計算而得。如果有個股票期權(quán)的價格是已知的，那么你就可以通過調(diào)整這只股票的隱含波動率模型，來推算出不同行權(quán)價格下的期權(quán)價值。BSM模型中的波動率就像房屋價格模型中的每平方英尺單價一樣，是隱含變量，但是所有其他變量（如交易成本、對沖誤差以及開展業(yè)務(wù)的成本等），其實都包含在波動率之中。房地產(chǎn)市場用隱含的每平方英尺單價這種方法，就是大部分金融模型的原理。使用模型的其他優(yōu)勢模型能做的不僅僅是根據(jù)高流動性資產(chǎn)的價格推導(dǎo)出低流動性資產(chǎn)的價格。1.證券排序一個證券的價格不會告訴你它值不值得買。如果價值比價格高，可能是值得買的。但有些時候，當(dāng)你面前擺了好幾個相似證券的時候，你就會想知道，買哪個最劃得來。投資人和銷售人員很多時候會用模型來給證券排序，看哪個證券最有吸引力。比如，隱含的每平方英尺價格就可以用來給那些彼此相似，但并非完全一致的公寓進(jìn)行對比和排序。再回到我們的公寓案例上來，假設(shè)現(xiàn)在我們想買一個位于金融區(qū)的全新公寓。這套公寓的要價是300萬美元，但面積只有1500平方英尺，也就是說折合每平方英尺的單價為2000美元，比炮臺公園那座房產(chǎn)的1500美元/平方英尺高出不少。為什么會存在這樣的差異？或許金融區(qū)的公寓更具特色一些。我們甚至可以更進(jìn)一步，就這些特色本身建立一個對比模型，或者就房屋特色和面積建立一個共同的對照模型，來看看這些特色的定價是否合理。隱含的每平方英尺價格只是一個簡單的、單一維度的指標(biāo)，用來給房屋價值進(jìn)行排序。僅僅根據(jù)隱含的每平方英尺單價得到的公寓價格并不能真正反映其價值，這只是一個基礎(chǔ)參數(shù)，在此之上，還需要考慮各種因素。同樣地，我們可以通過債券的到期收益率來比較很多相似但并非完全一致的債券價值，每只債券的票息率、到期日以及/或違約率都各不相同，將這些債券的收益率從高到低排序，就知道哪些債券更有吸引力了。與此相同，對于股票，我們可以用到市盈率（P/E），對抵押貸款或者可贖回債券可以使用期權(quán)調(diào)整價差（OAS）。通過這些矩陣，可以將一個具有多維度特征的證券映射到單一維度的標(biāo)準(zhǔn)上去。通過BSM模型篩選出期權(quán)價格，然后得到與之相對應(yīng)的隱含波動率，也是一種將具有多種特征（行權(quán)價格、到期日、標(biāo)的資產(chǎn)等）的投資工具降維至單一價值評估標(biāo)準(zhǔn)的方法。2.量化直覺模型通過量化的方法為直覺提供了方向。投資人通常對量化參數(shù)有直覺，一個模型可以將這些成線性關(guān)系的量化參數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系的貨幣價值。我們的公寓模型就是將每平方英尺單價轉(zhuǎn)化為公寓的預(yù)期價值。通常對于每平方英尺單價的直覺比對公寓的整體價值更敏銳一些。我們之前提到過，在物理學(xué)中，一個理論是可以預(yù)測未來的。在金融領(lǐng)域，一個模型將直覺轉(zhuǎn)化為當(dāng)前的貨幣價值。再舉一個例子，股票分析師在過往經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，直覺上會確定多少是合理的市盈率水平。培養(yǎng)對于到期收益率、期權(quán)調(diào)整價差、違約率或者收益波動率等的直覺可能會比培養(yǎng)對于每平方英尺單價的直覺更困難些。但是，所有這些都是跟價值直接相關(guān)的參數(shù)，而且比標(biāo)的資產(chǎn)貨幣價值本身更容易判斷。從直覺上講，這些都是可以理解的，而且隨著你的經(jīng)驗越豐富，你的直覺也會越敏銳。模型的優(yōu)勢在于，使你可以從一個簡單的、潛意識里的概念（比如波動率）開始，找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方式來描述它（幾何布朗運(yùn)動和BSM模型），進(jìn)而形成一個更豐富的概念（波動率微笑），然后不斷積累經(jīng)驗（微笑曲線的不同形狀），最終形成一個模型（比如說隨機(jī)波動率模型），用來描述這一概念的各種擴(kuò)展形式。模型的風(fēng)格：哪些有用哪些沒用此前用到的公寓模型是一個相對價值（relativevaluation）模型。根據(jù)相對價值模型，給定了已知價格，就可以用這個模型判斷其他一些證券的價格。也有的模型可以用來計算絕對價值（absolutevaluation）而不是相對價值。在物理學(xué)中，牛頓定理就是絕對定理。它給出了一條物體運(yùn)動的公式，F(xiàn)=ma，以及特殊的力學(xué)定理，也就是引力平方反比定律，使得人們可以計算一個行星的運(yùn)行軌道。幾何布朗運(yùn)動以及其他那些關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)（股票、商品等）運(yùn)動方式的更為精確的假設(shè)，看起來都像是絕對估值，但實際上它們都是假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動方式就像是物理擴(kuò)散現(xiàn)象一樣。其實它們的準(zhǔn)確性比物理學(xué)定理或公式差很多。物理學(xué)定理通常是用來描述真實世界的——描述的范圍非常之廣，以至于人們通常會忽略數(shù)學(xué)等式與現(xiàn)象之間的差距，金融模型描述的是想象中的世界，這與我們實際生活的世界存在非常大的差距。由于絕對估值法在金融領(lǐng)域并不是很管用，在本書中我們主要還是集中于分析相對估值的各種方法。相對估值法尤其適用于衍生證券的估值。為什么業(yè)內(nèi)都喜歡用相對估值法來對衍生品進(jìn)行估值？因為衍生品更像是由基本原子組合而成的分子，我們通過觀察衍生品構(gòu)成要素的行為方式來判斷衍生品的價值。BSM模型的高明之處在于可以通過股票和債券來構(gòu)建一個衍生品。期權(quán)交易平臺本身可以完成這一工作。它們獲得基礎(chǔ)的原材料（比如說股票和國債），然后再用這些原材料構(gòu)建出一個期權(quán)。更為專業(yè)一些的交易平臺甚至可以通過相對簡單的期權(quán)組合之后，形成較為復(fù)雜的期權(quán)。還有一些交易員做的事恰恰相反，他們將復(fù)雜期權(quán)分拆為簡單的產(chǎn)品，并進(jìn)行交易。不管采用什么方法，相對價值都很重要，因為交易員的目標(biāo)就是通過買賣的價差獲利——也就是你買進(jìn)原材料花的錢和賣出產(chǎn)成品的收入。相對價值模型本身也沒什么神秘的，可以比作一個較為復(fù)雜的水果沙拉問題：有了蘋果、橘子和桃子的價格，那么整個水果沙拉該賣多少錢呢？或者相反的問題：知道了水果沙拉、蘋果和橘子的價格，那么隱含的桃子的價格該是多少呢？你可以理解為，大部分期權(quán)估值模型都是在嘗試解決與此相似的問題。在本書中，我們將主要從一個交易員或者做市商的視角出發(fā)，他們買進(jìn)那些其他人想賣的東西，或者賣出那些其他人想買的東西，他們不在乎買賣的方向，總是希望得到一個相對安全的利潤，要么用各種原材料給一個客戶想要的產(chǎn)品，要么將客戶賣給他們的東西分拆成各種原材料，留著自己用或者賣出去。如果交易員都這么想的話，那么估值就一直是一個相對的概念。\h[1]1平方英尺＝0.092903平方米。第2章復(fù)制的原則·一價定律：相似資產(chǎn)的價格也相似·復(fù)制：證券估值時唯一靠得住的方式·在衡量股票風(fēng)險的時候，用簡單的自下而上模型，只關(guān)注預(yù)期回報μ和波動率σ·在一價定律的基礎(chǔ)上通過資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）分析股票·通過一價定律復(fù)制衍生品復(fù)制復(fù)制是指構(gòu)建一個證券組合，使其盡可能模仿另一只證券行為的策略。在本章中，我們將看到如何通過復(fù)制策略對感興趣的證券進(jìn)行估值。我們將分析不同風(fēng)格的復(fù)制策略，并討論這種估值方法的作用和局限性。量化金融的一致性定律希勒爾（Hillel）是一位有名的猶太智者，有一次有人讓他單腿站立闡釋上帝的圣言，他回答道：己所不欲，勿施于人。剩下的都是世人的解讀。自己去探索學(xué)習(xí)吧。麻省理工學(xué)院的羅聞全（AndrewLo）教授也曾指出，在物理學(xué)中，只要3條定理就可以解釋99%的現(xiàn)象了，而在金融學(xué)中，99條定理也只能解釋3%的現(xiàn)象。這當(dāng)然是拿金融學(xué)開個玩笑的例子，實際上確實有那么一兩條定律，構(gòu)成了幾乎整個量化金融學(xué)的基礎(chǔ)。解讀金融學(xué)的本質(zhì)有很多方法，你也可以像希勒爾一樣，單腿站立：如果你想知道一只證券的價值，看另一只相似證券的價格，或者構(gòu)建一個能模擬該證券的組合就可以了。剩下的就是模型了。去建模就可以了。這就是相似定律：如果想要知道某個東西的價格，拿它跟那些你已經(jīng)知道價格的東西做個對比就行了。對于這一定律，金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常喜歡另外一種說法，他們稱之為一價定律：如果不管出現(xiàn)什么情況，未來兩個證券的回報都是一樣的，那么這兩個證券當(dāng)前的價格也應(yīng)該是一樣的。如果兩個回報完全一樣的證券（或者證券組合）的價格不一樣，你可以買入便宜的那個，賣出更貴的那個，立刻就可以有盈利入賬，未來也不會有現(xiàn)金流入或者流出，因為這兩個證券的回報是一樣的，最終的盈虧會互相抵消。實踐中，我們很難構(gòu)建一個完美的組合，在所有的情況下都能復(fù)制另一只證券的表現(xiàn)。我們只能做到在大多數(shù)情況下，近似地模擬另一只證券。這里提到的兩種情況意味著沒有套利機(jī)會，因為一旦存在這種機(jī)會，就意味著存在沒有任何風(fēng)險的收益。一價定律的另一個版本也就是不存在無風(fēng)險套利的機(jī)會，或者說：假設(shè)獲得某一證券不需要承擔(dān)任何風(fēng)險，不管未來出現(xiàn)任何情況，該證券都不會出現(xiàn)虧損，并且至少存在一種實現(xiàn)正回報的情況。這種假設(shè)的情景應(yīng)該是不可能的。這一定律指出的是，市場厭惡套利機(jī)會。這跟一價定律是一致的，因為如果兩只證券未來的回報情況完全一樣，而現(xiàn)在的價格不同，那么買入便宜的證券，同時賣出更貴的證券，這就會創(chuàng)造一個套利機(jī)會。只要有足夠的時間和信息，在一價定律和不存在無風(fēng)險套利機(jī)會的原則下，市場上的參與者就會通過買入便宜的證券，賣出高估的證券而迅速獲利，同時也抹平套利機(jī)會。從長期來看，在一個流動性的市場中，一價定律總是成立的。但是一價定律并不是一條自然衍生的定律。它能夠指出價格應(yīng)該是什么樣的，而不是價格必須是什么樣的。在實踐中，從短期來看，一個流動性較差的市場或者在金融危機(jī)/恐慌中，甚至在一些事件中，一價定律也不一定成立。一價定律的前提要求是不管未來出現(xiàn)什么情況，兩只證券的回報都是一樣的。試圖考慮未來出現(xiàn)的每一種情況幾乎是不可能的。盡管市場并非完全隨機(jī)的，但是多變的市場很難用簡潔的想象、言語或者公式來描述。實踐中，極端甚至難以想象的情況（比如2001年的9月11日）只在真正發(fā)生的時候才為人所知。在這些情況發(fā)生之前，大家都認(rèn)為它們根本不可能發(fā)生。通過復(fù)制來估值怎樣通過一價定律來進(jìn)行估值？如果你想要預(yù)測目標(biāo)證券的價值，那就需要找到一個復(fù)制的組合，組合中包含一系列流動性更好的證券，價格已知，而且未來不管出現(xiàn)什么情況，其回報都跟目標(biāo)證券一致。因此，目標(biāo)證券的價值就跟這個價值已知的復(fù)制組合一樣。模型的作用在哪兒？需要通過模型來證明，未來不管出現(xiàn)什么情況，目標(biāo)證券和復(fù)制組合在未來的回報都是一致的。為了說明兩者之間的相似性，你需要①明確對于每一只證券來說，“不管出現(xiàn)什么情況”是什么意思，以及②找到復(fù)制組合的方法，不管出現(xiàn)什么情況，所構(gòu)建的復(fù)制組合的回報都跟目標(biāo)證券一致。第一步需要用到科學(xué)方法進(jìn)行簡化。我們需要考慮一些非常復(fù)雜的因素，如經(jīng)濟(jì)環(huán)境和金融市場，將這些因素未來可能出現(xiàn)的變化用數(shù)學(xué)等式描述出來。第二步需要用到工程學(xué)的方法，進(jìn)行構(gòu)建和整合。我們需要用一系列高流動性的證券構(gòu)建一個復(fù)制組合，使其回報在未來任何情況下都能夠跟目標(biāo)證券一致。復(fù)制的風(fēng)格復(fù)制組合分為靜態(tài)和動態(tài)兩種。在靜態(tài)復(fù)制組合中，權(quán)重在一開始就已經(jīng)確定了，且保持不變，而且復(fù)制組合的收益與目標(biāo)證券始終保持一致。構(gòu)建靜態(tài)復(fù)制組合只需要在開始的時候買入或者賣出必要的證券，在目標(biāo)證券整個存續(xù)期間內(nèi)都不需要額外的交易。假設(shè)已經(jīng)完成復(fù)制組合的構(gòu)建，那么未來唯一可能出現(xiàn)的問題來自信用風(fēng)險，即你的交易對手可能在該付你錢的時候違約了。靜態(tài)復(fù)制是最簡單、也是最直觀的估值方法，但適用的范圍很窄，因為很難用高流動性的證券復(fù)制出目標(biāo)證券的收益情況。盡管復(fù)制很難做到完美，但是靜態(tài)組合的概念還是非常重要，交易員也經(jīng)常通過構(gòu)建靜態(tài)組合近似地模擬出目標(biāo)證券的收益情況。我們將在第12章分析障礙期權(quán)的時候再解釋這點(diǎn)。而動態(tài)復(fù)制則不同，復(fù)制組合的成分和比重需要不斷調(diào)整。隨著時間的變化，組合成分資產(chǎn)的價格也在不斷變化，我們需要不斷地買賣證券，這樣才能在理論上實現(xiàn)精確復(fù)制。做過交易的人都知道，不管理論上還是實踐中，動態(tài)復(fù)制有時候會非常復(fù)雜。一部分的困難在于，現(xiàn)實中的市場行為跟模型中的市場行為（科學(xué)）相距甚遠(yuǎn)。如果真能實現(xiàn)動態(tài)復(fù)制，那么這種方法使得我們可以對很多證券進(jìn)行估值，并且其中某些證券用其他方法完全無法估值。1973年，費(fèi)希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯以及羅伯特·默頓分別獨(dú)立發(fā)表論文，解釋如何通過標(biāo)的股票和無風(fēng)險債券，構(gòu)建一個動態(tài)組合，以復(fù)制一個股票期權(quán)的表現(xiàn)。這使得交易員可以通過分析標(biāo)的股票價格、當(dāng)前的利率水平以及對于未來股票價格波動率的預(yù)測，來計算一個期權(quán)的價格。這一復(fù)制組合的方法被證明是行之有效的，這一發(fā)現(xiàn)對于金融領(lǐng)域的影響是深刻的。這一發(fā)現(xiàn)最終幫助斯科爾斯以及默頓獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。而布萊克不幸在這之前去世，與該獎項失之交臂。動態(tài)復(fù)制非常優(yōu)美，在過去40年間，幾乎所有衍生品行業(yè)的創(chuàng)新都是基于這一思想。動態(tài)復(fù)制意味著，你可以通過持續(xù)調(diào)整一個組合內(nèi)資產(chǎn)的成分和權(quán)重，而復(fù)制出一個復(fù)雜的證券。復(fù)制的局限性如我們在第1章中提到的，所有的金融模型都是基于假設(shè)的。模型就如同玩具一樣，描述一個理想化的世界。盡管模型可以做到跟實際情況盡可能相似，但它們始終無法精確描述我們所生活的世界。因此，最好的模型也只能做到盡量接近實際情況。理解模型的假設(shè)是理解復(fù)制策略局限性的關(guān)鍵。復(fù)制的第一步就需要用到科學(xué)：盡可能準(zhǔn)確地描述未來可能出現(xiàn)的各種情況，包括標(biāo)的資產(chǎn)、利率以及其他相關(guān)因素。金融行業(yè)對于復(fù)雜數(shù)學(xué)的應(yīng)用，往往是由于我們希望可以定義并且描述未來可能出現(xiàn)的各種情況。對于金融行業(yè)來說，完全精確幾乎是不可能的。我們希望金融模型盡可能簡潔，并且同時可以描述標(biāo)的資產(chǎn)走勢的本質(zhì)特點(diǎn)。選擇金融模型，往往是選擇復(fù)雜程度恰到好處的那一個。第二步，構(gòu)建一個復(fù)制組合，基本就是一項工程活動。理論上來說，有了必要的證券，構(gòu)建一個復(fù)制組合并不復(fù)雜，只需要在任何一個時點(diǎn)決定組合的成分和構(gòu)成就可以了。動態(tài)套期保值的效果取決于對于標(biāo)的資產(chǎn)價格走勢的把握，同時還需要假設(shè)執(zhí)行復(fù)制策略的那個人能夠通過調(diào)整組合權(quán)重，迅速抓住每一次的價格變化。實踐中，通過在市場上進(jìn)行交易而實現(xiàn)調(diào)整組合的目的，這可能有些問題。買賣價差、流動性、市場沖擊等因素都可能會影響到復(fù)制策略。如果我們想買一只證券，我們可能把它的價格推高，等我們要賣的時候就很難在市場價賣出。如果要做空一只證券，我們需要考慮融券成本，如果融券困難，相應(yīng)成本就會提高。各個公司的融資成本、交易成本以及運(yùn)營風(fēng)險等都不相同。相比靜態(tài)套期保值，動態(tài)套期保值更容易受到這些問題的影響，因為動態(tài)套期保值需要持續(xù)不斷的交易。最后，動態(tài)套期保值通常需要我們預(yù)測某些參數(shù)，但是在市場上很難，甚至幾乎不可能觀察到這些參數(shù)值。其中，最重要的一個參數(shù)就是期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的波動率，這也是本書的核心課題。只要可行，在做證券估值的時候，我們都首先采用靜態(tài)復(fù)制的方法。如果不行，我們將使用動態(tài)復(fù)制。在實踐中，市場上并不是總有復(fù)制策略。在這種情況下，只能求助于經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。這是最后一種方法，通常需要假設(shè)市場參與者對于風(fēng)險和回報的感受——也就是他們的效用函數(shù)。效用函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的隱藏變量，量化的方法從來都發(fā)現(xiàn)不了，我們在本書的分析中也不對其進(jìn)行討論。期權(quán)理論的魅力很大一部分在于可以不受個體偏好的影響。對標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險建模如上文提到的，復(fù)制是基于科學(xué)方法的，是描述標(biāo)的資產(chǎn)行為的模型?，F(xiàn)代模型理論是基于有效市場假設(shè)理論（EMH），在經(jīng)歷了2007～2008年那場嚴(yán)重的金融危機(jī)之后，這一理論框架就倍受批評，亟須更新。我們先來看看這一理論講了些什么。有效市場假設(shè)從經(jīng)驗上來看，沒人總能準(zhǔn)確預(yù)測股票價格，不管是用魔法還是用扎實的基本面分析。當(dāng)然了，過去確實是有一些投資人的業(yè)績大幅超越市場。不管你認(rèn)為他們的業(yè)績是由于運(yùn)氣，還是技術(shù)，要大幅跑贏市場并不需要你能夠準(zhǔn)確預(yù)測股價。只要準(zhǔn)確率能到55%～60%，一直保持下去，最終的盈利也是很不得了的。在20世紀(jì)60年代，以芝加哥大學(xué)的尤金·法瑪（EugeneFama）為代表的一些學(xué)者注意到了對于股價預(yù)測的無效性，他們提出后來被人熟知的有效市場假設(shè)理論。這么多年來，這一理論中的很多表達(dá)形式都發(fā)生了變化，其中有些在數(shù)理上變得更加嚴(yán)格，而另一些放寬了條件要求。經(jīng)濟(jì)學(xué)家們定義了強(qiáng)式有效、弱式有效以及其他各種有效性。無論我們?nèi)绾味x，有效市場假設(shè)理論一定程度上是認(rèn)同生活中存在的這樣一種情況：基于今天所有的信息，你很難或者幾乎不可能成功、持續(xù)地預(yù)測一只股票明天的價格變化。有效假設(shè)理論將這一理念更為正式地描述出來，即長期來看，投資者不可能戰(zhàn)勝市場，因為當(dāng)前的價格已經(jīng)反映了所有經(jīng)濟(jì)信息和市場信息。將系統(tǒng)性股票價格預(yù)測的失敗轉(zhuǎn)化為一個假設(shè)理論，實際上經(jīng)濟(jì)學(xué)家們打了個極其聰明的太極。他們在嘗試將弱項轉(zhuǎn)化為強(qiáng)項：“我不懂這是怎么一回事，所以我認(rèn)為不懂這件事本身就是一個定律?！辈淮_定性、風(fēng)險和回報看起來，有效市場假設(shè)指出，股票的價格和價值是一致的，不需要知道更多的信息。但實際情況并非如此。我們一起來看下，應(yīng)該如何理解有效市場理論的一些假設(shè)，以及如何將這些假設(shè)運(yùn)用在證券估值模型中去。在金融領(lǐng)域中，未知的未來就如同大象一樣充斥著整個空間，除此之外全都是人類自己。未知暗示著風(fēng)險，風(fēng)險意味著危險，而危險則意味著可能出現(xiàn)損失。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)過長期的思考，人們已經(jīng)開始將不確定性區(qū)分為可量化的和不可量化的。不可量化的不確定性包括俄羅斯在兩年內(nèi)出現(xiàn)革命、一個恐怖分子在年內(nèi)襲擊了曼哈頓市中心或者在另外一個行星發(fā)現(xiàn)了智慧生物等。不僅僅是因為這些事情是否出現(xiàn)充滿了不確定性，而且我們開發(fā)的任何一種試圖預(yù)測這些事件的模型可能都是無效的。沒有什么辦法可以準(zhǔn)確地預(yù)測這些事情發(fā)生的可能性。這種可能性通常就是指不確定性，或者奈特不確定性（Knightianuncertainty）。我們只能說這些事件可能或者不可能，或者幾乎不可能發(fā)生，除此之外，也沒有其他的描述辦法了。在一些很罕見以及一定程度上理想化的案例中，不確定性是可以量化的。一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家傾向于將風(fēng)險定義為可量化的不確定性。一個很好的例子就是拋擲一枚均勻的硬幣：要么是正面要么是背面。拋一個硬幣出現(xiàn)正面朝上的可能性和背面朝上的可能性是相等的，都是1/2。相似地，你也可以確定，連續(xù)拋擲五次硬幣，頭兩次背面朝上，后三次正面朝上的可能性是（1/2）5也就是1/32。這是概率論上的一個定義，在無限拋擲硬幣的前提下，出現(xiàn)正面或者背面的預(yù)期概率就是如此。你可能會提出，可量化的不確定性是不現(xiàn)實的。一方面，一枚絕對均勻的硬幣只存在于柏拉圖的理想國中，沒有哪個硬幣是完美的。另一方面，從理論上來說，拋硬幣的結(jié)果是可預(yù)測的。如果我們能知道拋擲的速度和角度、硬幣在空中旋轉(zhuǎn)時空氣對其的作用力以及硬幣落地后的反彈等，我們預(yù)測硬幣的正反面就有很高的準(zhǔn)確度。如果我們希望忽略量子力學(xué)原理，那基本就可以說沒有真正的隨機(jī)事件，都是偽隨機(jī)事件。跳出實驗室，即使不考慮量子力學(xué)的影響，在實踐中也有很多因素影響到拋硬幣的結(jié)果，這些因素在我們看來可能都是隨機(jī)事件。只要有人的作用在里面，真正服從概率論原理的事件很少。世界處于不斷變化之中，在重復(fù)實驗的時候很難會有完全相同的初始條件。重要的是，人類習(xí)慣于從經(jīng)驗中學(xué)習(xí)。比如說，金融危機(jī)之后的信用市場跟金融危機(jī)之前的信用市場完全不一樣，因為我們都從金融危機(jī)中獲得了新的經(jīng)驗，即使這些經(jīng)驗只是暫時的?；蛘邠Q一種說法，人類社會都是滯后的：他們目前的狀態(tài)都是基于整個過去的歷史。盡管這個世界的歷史不會影響拋硬幣的結(jié)果，但是歷史確實會影響一些事件，比如說出現(xiàn)政治革命的可能性或者一只股票的價格走勢。股價走勢的不確定性跟拋硬幣的不確定性從本質(zhì)上講是不一樣的，因為人類的行為跟硬幣的行為是完全不一樣的。股票市場出現(xiàn)崩盤的可能性也跟拋硬幣連續(xù)得到5次背面朝上的可能性不一樣，因為市場崩盤是社會事件，而人們總是會記住上一次的崩盤，并且害怕再經(jīng)歷一次。硬幣不會害怕出現(xiàn)連續(xù)5次背面，而且也不會受到你口袋里其他硬幣的影響。股票的行為方式一家公司（以蘋果公司為例）是異常巨大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的。蘋果有上萬雇員，在很多國家都擁有或者租賃著樓房，設(shè)計各種各樣的產(chǎn)品，從電源插頭和電線，到臺式機(jī)和筆記本，還有蘋果手機(jī)、平板電腦以及蘋果手表等。其中的一些產(chǎn)品是蘋果自己制造的，還有一些是外包給其他制造商的。銷售渠道既包括蘋果網(wǎng)站和零售門店，也包括第三方結(jié)構(gòu)，蘋果還在網(wǎng)上賣音樂、視頻和書籍。蘋果的業(yè)務(wù)還包括做廣告、提供產(chǎn)品售后服務(wù)、維護(hù)網(wǎng)站以及進(jìn)行研發(fā)活動。令人驚奇的是，從理論上來說，這家公司的全部經(jīng)濟(jì)價值加總在一起會成為一個數(shù)字，就是蘋果公司的股價\h[1]。股價就是根據(jù)股票最近一次交易的結(jié)果，再額外買賣一份公司股票所需要的錢。金融模型的目標(biāo)就是將整個公司的企業(yè)價值轉(zhuǎn)化為股價這個數(shù)字，并以此來反映價值。它會告訴你，根據(jù)公司未來的表現(xiàn)，今天要買一份股票應(yīng)該付多少錢。要預(yù)測股價未來可能的走勢聽起來非常困難，而且越來越困難。為了預(yù)測股價未來的走勢，僅僅掌握公司的情況以及其在整個經(jīng)濟(jì)中的位置是不夠的。除此之外，我們還需要了解市場上所有參與者對于這個公司的觀點(diǎn)是什么。就像凱恩斯曾經(jīng)寫到，預(yù)測股價走勢，就如同預(yù)測一個選美大賽的獲勝者一樣；你要做的不是找到最吸引人的候選者，而是要找到那個評委們認(rèn)為最吸引人的候選者（Keynes，1936）。從長期來看，基本面、經(jīng)濟(jì)所處的狀態(tài)以及公司的狀態(tài)是影響股價走勢的決定性因素。情緒只能在一定期間內(nèi)影響股價走勢。從短期來看，人們的觀點(diǎn)和情緒對股價走勢起更主要的作用。但是，股價短期走勢也會影響到其長期走勢。一家公司短期股價的變化會影響到它的行為、客戶以及債權(quán)人；心理現(xiàn)實和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實會互相影響，而且這種關(guān)系是看不見的\h[2]。2008年年末，當(dāng)人們認(rèn)為雷曼兄弟有可能倒閉的時候，他們就不再給雷曼兄弟提供貸款了，然后它就真的倒閉了。只要足夠坦誠，并且善于反思，你想得越多，你就越能意識到，估值是一個非常復(fù)雜的問題，它涉及經(jīng)濟(jì)、政治以及心理學(xué)（也就是整個世界），而且要從短期和長期兩個維度來思考。有效市場假設(shè)給出的涉及估值的一般情況，這是需要注意的。這個理論實際上忽略了很多特殊情況。股票的風(fēng)險股票最重要的特點(diǎn)就是回報的不確定性。拋硬幣的風(fēng)險就是一個最簡單的不確定性模型。圖2-1就是一個類似的簡化模型——一個股票回報的二叉樹模型，假設(shè)回報波動率為σ，預(yù)期回報為μ以及短期時間Δt\h[3]。這段時間內(nèi)的平均回報為μΔt，其中有50%的可能性回報會上行，即，還有50%的可能性回報會下行，即。圖2-1股票未來回報的二叉樹模型波動率σ就是衡量股票風(fēng)險的一個指標(biāo)。如果σ很大，那么回報率上行和下行之間的距離就會很大。這個簡單的模型實際上非常有用。通過增加節(jié)點(diǎn)，如圖2-2所示，并且縮短期間Δt，我們可以在一定程度上模擬出價格的連續(xù)運(yùn)動方式，這就像電影技術(shù)一樣，以每秒24幀的速度更換圖像，使其看起來就像是動態(tài)的一樣。假設(shè)連續(xù)期間內(nèi)的回報彼此不相關(guān)，同時假設(shè)Δt無限趨近于0，那么回報在t時間內(nèi)就服從正態(tài)分布，其平均總回報為μt，回報的標(biāo)準(zhǔn)差為。不同形狀的正態(tài)分布曲線如圖2-3所示。圖2-2回報的四階段二叉樹模型圖2-3正態(tài)分布示例這個模型是針對風(fēng)險證券的，它的特點(diǎn)就是證券的全部行為只需要用兩個數(shù)字就能描述，也就是預(yù)期回報μ和波動率σ。這一假設(shè)非常有力，在之后會繼續(xù)用到；結(jié)合一價定律運(yùn)用，可以得到新古典主義金融學(xué)中一些非常著名的結(jié)論，特別是資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）以及在其之后的，著名的布萊克-斯科爾斯-默頓期權(quán)定價模型。我們這個簡單模型給出來的是對稱型的分布，這跟我們觀察到的情況并不相符，幾乎所有證券的回報都呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布，而且存在肥尾情況。盡管如此，二叉樹模型是個很好的風(fēng)險模型基礎(chǔ)。雖然證券的實際行為更加復(fù)雜且不可預(yù)測，但二叉樹模型提供了一個簡單易懂、符合直覺，并且數(shù)學(xué)上站得住腳的風(fēng)險解決方法。真正的風(fēng)險比模型的結(jié)果更為劇烈，也不是正態(tài)分布假設(shè)可以解決的。一定要記住這點(diǎn)。在本書的后面幾章，我們將一起來研究一些更為全面的、可以繞過這些假設(shè)的模型。無風(fēng)險債券在二叉樹模型中，假設(shè)σ為0，那么上行回報和下行回報就是一樣的，風(fēng)險也就消失了。我們將無風(fēng)險證券帶來的收益稱為無風(fēng)險利率，用r來表示。在整個經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中，無風(fēng)險利率無處不在，這是復(fù)制和期權(quán)估值的核心。圖2-4展示的就是一個無風(fēng)險證券的二叉樹模型。盡管我們分別畫出了樹的兩個分叉，但實際上它們是完全一致的。不管我們沿著哪個分叉，最終的價值都是一樣的。圖2-4無風(fēng)險證券的二叉樹模型對任意一個風(fēng)險證券來說，無風(fēng)險利率都是位于上行回報和下行回報之間的區(qū)域。如果不是這樣（比如，假設(shè)上行回報和下行回報都高于無風(fēng)險利率），你就可以構(gòu)建一個組合，買入100美元的股票，同時賣出100美元的無風(fēng)險債券，這個交易沒有任何成本，但是，根據(jù)二叉樹模型，不管未來出現(xiàn)什么情況，你都可以獲得一個無風(fēng)險的正回報，這是自相矛盾的。如果有哪個模型能得出這樣的結(jié)論，那它一定是有問題的，因為這意味著可以立刻獲得無風(fēng)險收益的機(jī)會，這樣的套利機(jī)會將違反不存在無風(fēng)險套利原則。在實踐中我們?nèi)绾未_定無風(fēng)險利率？一個可能的方法就是使用沒有違約風(fēng)險的債券收益率作為無風(fēng)險利率，比如美國短期國債收益率，通常被認(rèn)為是絕對安全的資產(chǎn)。通常，我們會說買賣無風(fēng)險債券，而不是說按照無風(fēng)險利率借入或者借出資金。確定無風(fēng)險利率的問題于是就變成了如何定義并找到一個無風(fēng)險債券。這聽起來很簡單，但在現(xiàn)實中，無風(fēng)險利率究竟應(yīng)該是多少可能會變得非常復(fù)雜，尤其是在危機(jī)重重的市場環(huán)境中。此處，我們將簡單假設(shè)無風(fēng)險利率是已知的。\h[1]為了更清楚一些，有時分析師會將公司的總價值稱為一個公司的企業(yè)價值，包括公司的股票和負(fù)債。跟很多大公司一樣，蘋果也發(fā)行債券。事實上，在2013年蘋果發(fā)行了在當(dāng)時看來是有史以來最大規(guī)模的債券。一個公司負(fù)債的價值往往是固定且可預(yù)期的，除非出現(xiàn)信用危機(jī)。在大多數(shù)情況下，確定一家公司價值的重點(diǎn)在于確定其股權(quán)的價值。盡管有一些更高級的模型會將企業(yè)價值整體作為標(biāo)的資產(chǎn)，我們在這里關(guān)注更多的仍然是股權(quán)價值。\h[2]OleBjerg是SlavojZize學(xué)派的一位哲學(xué)家，他認(rèn)為公司是“真實的”，而股價是其“符號”，這看起來是對的。Bjerg頗為感興趣的是充斥在真實和符號之間的幻想和意識形態(tài)，這在他的MakingMoney：ThePhilosophyofCrisisCapitalism一書中有所討論（VersoPress，2014）。\h[3]在本書中，在分析一只證券的回報和波動率時，如果沒有特別說明，你都可以認(rèn)為這些變量適用的期間都是1年。在這個例子里，當(dāng)我們提到“……的預(yù)期回報是μ”時，也就是說“……的預(yù)期年化回報為μ”。投資的關(guān)鍵問題我們并不知道未來是怎樣的。在生活中，包括在金融領(lǐng)域，一個非常重要的問題就是當(dāng)風(fēng)險和不確定性出現(xiàn)的時候，我們應(yīng)該怎么做。如前文提到的，在金融中，我們將證券理解為其預(yù)期的風(fēng)險和回報。因此，投資的關(guān)鍵問題也就是：承擔(dān)了特定的預(yù)期風(fēng)險，未來能獲得的預(yù)期回報是什么？一價定律提出，如果不管未來出現(xiàn)什么情況，兩個證券的收益都是相同的，那么它們的價格也應(yīng)該是一樣的。在此前提到的二叉樹模型中，一個債券的收益全部取決于其波動率σ和預(yù)期回報μ。沿用二叉樹的框架，現(xiàn)在我們將要關(guān)注的，也是金融領(lǐng)域的關(guān)鍵問題就變成了：μ和σ之間是什么關(guān)系？要回答這個問題，我們就必須要更深入地研究風(fēng)險和回報?？梢员苊獾耐顿Y風(fēng)險根據(jù)一價定律，不管未來出現(xiàn)什么情況，未來收益相同的兩個證券的當(dāng)前價格是一樣的，也就是具有相同的預(yù)期回報。如果能夠?qū)⒁粌r定律改為，風(fēng)險相同的證券，預(yù)期回報也是相同的，這一結(jié)論將非常誘人。但實際上沒這么簡單。不是所有的風(fēng)險都是相同的。一個證券的風(fēng)險取決于它跟其他證券之間的關(guān)系。比如說，兩個證券的波動率σ值相同，但是它們跟標(biāo)普500指數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)是不同的，因此，如果要對沖這兩個證券對于標(biāo)普500指數(shù)的敞口，它們的風(fēng)險就是不同的。換句話說，如果有不止一只股票，僅靠σ一個參數(shù)就不足以描述風(fēng)險。在生活中，有一些風(fēng)險我們是可以避免、改變或者自愿承擔(dān)的，還有一些風(fēng)險是無法避免的。金融市場也是如此。通過金融工程將不同的資產(chǎn)結(jié)合在一起，我們可以改變、避免或者消除很多種金融風(fēng)險。只有那些無法避免的投資風(fēng)險才是真正的基礎(chǔ)風(fēng)險。因此，我們必須要考慮風(fēng)險是否可以避免。通常而言，在后文中我們也將提到，有3種改變或者避免風(fēng)險的方法：稀釋、分散以及對沖掉常見的風(fēng)險因子。我們認(rèn)為，只有一項投資的風(fēng)險是無法避免或者無法減弱的時候，你才能預(yù)期獲得高于無風(fēng)險利率的超額回報。對某一資產(chǎn)來說，無法減弱或者無法避免的風(fēng)險是與其他資產(chǎn)無關(guān)的風(fēng)險。因此，我們可以將一價定律改寫成：完全相同且無法避免的風(fēng)險對應(yīng)著相同的預(yù)期回報。為了研究一個證券的μ和σ之間的關(guān)系，我們以股票的波動率σ和回報μ為例。我們將在一個條件逐漸收緊的模型環(huán)境中評估證券的風(fēng)險，初始條件比較寬松，接著會變得越來越接近真實，我們將研究如何通過稀釋、分散以及對沖等方法來避免證券的風(fēng)險。剩下的就是無法避免的風(fēng)險，我們的假設(shè)條件包括：①在相同規(guī)模下，無法避免的風(fēng)險所帶來的回報是相同的，以及②復(fù)制定律適用于所有證券。特別地，我們將通過復(fù)制定律證明，無風(fēng)險組合應(yīng)該能獲得無風(fēng)險的回報。這使得我們可以得到任意一只股票的風(fēng)險和回報之間的關(guān)系。我們現(xiàn)在用到的3個模型環(huán)境包括：·環(huán)境#1：相對簡單，假設(shè)有數(shù)量有限的彼此不相關(guān)的股票以及一個無風(fēng)險債券?！きh(huán)境#2：有無數(shù)彼此不相關(guān)的股票以及一個無風(fēng)險債券?！きh(huán)境#3：有無數(shù)與市場M相關(guān)的股票以及一個無風(fēng)險債券。我們先用環(huán)境#1和環(huán)境#2做個熱身練習(xí)，通過一價定律來推導(dǎo)μ和σ之間的關(guān)系。在這些環(huán)境下我們得到的結(jié)論從邏輯上看是一致的，但是這并不代表在真實市場上μ和σ之間的關(guān)系。我們用在這些環(huán)境中得到的結(jié)論來支持我們在環(huán)境#3中的分析，這是一個更加復(fù)雜的環(huán)境，這樣我們的邏輯也會更清晰。環(huán)境#3是最接近我們所生活的世界的一種情況。根據(jù)重新定義的一價定律，我們將發(fā)現(xiàn)在這種環(huán)境下，如何得到一種全新的風(fēng)險和預(yù)期回報的關(guān)系，也就是資本資產(chǎn)定價模型\h[1]或者套利定價理論（APT）（Ross，1976）。在所有分析中，我們都假設(shè)證券回報服從二叉樹模型，因此每一個證券都可以用波動率σ和預(yù)期回報μ來描述\h[2]。環(huán)境#1：數(shù)量有限、彼此不相關(guān)的股票以及一個無風(fēng)險債券在這個簡單的環(huán)境中，股票數(shù)量是有限的，還有一個無風(fēng)險債券。每一個股票跟其他股票（以及任何一個其他股票的組合）之間都沒有相關(guān)性。換句話說，在這種環(huán)境中，股票只存在不可避免的風(fēng)險。假設(shè)我們想要投資一只股票S，其波動率是σ，預(yù)期回報是μ。由于在這個環(huán)境中，只有有限數(shù)量的互不相關(guān)的股票，我們無法通過對沖或者分散的方法去完全避免風(fēng)險。但是，我們可以通過在組合中加入無風(fēng)險債券的風(fēng)險降低整體的投資風(fēng)險。比如，如果有100美元的資金，不要將其全部投資到風(fēng)險股票上，我們可以用40美元來買股票，剩下的60美元來買無風(fēng)險債券。這可以看作通過稀釋的方法來降低股票的風(fēng)險。更通常地說，我們要稀釋投資于股票S的風(fēng)險，可以將組合中的w投資于風(fēng)險股票，將（1-w）投資于無風(fēng)險債券。如果w等于1，我們的組合就是全部投資于風(fēng)險證券。如果w等于0，我們的組合就是全部投資于無風(fēng)險債券。如果o<w<1，我們的組合就是風(fēng)險證券與無風(fēng)險債券的混合。如果w大于1，那么（1-w）就小于0，也就是按照無風(fēng)險利率借入資金，以杠桿的方式投資于風(fēng)險證券。圖2-5展示了一個包含風(fēng)險證券和無風(fēng)險債券的組合回報的二叉樹。組合的預(yù)期回報μP，就是風(fēng)險證券回報和無風(fēng)險債券回報的加權(quán)平均數(shù)：圖2-5風(fēng)險股票S和無風(fēng)險債券組合的二叉樹形圖μP=wμ+（1-w）r=r+w（μ-r）（2-1）由于無風(fēng)險債券波動率為0，組合的波動率σP就等于wσ。在波動率從σ降低到wσ的同時，預(yù)期回報降至w（μ-r），超額回報就是一個證券或者組合的回報減去無風(fēng)險利率。引入一個新的變量λ，將其定義為一個證券的超額回報與其波動率的比值，于是就有了：變量λ就是著名的夏普比率（Sharperatio）。至此，對一個式（2-1）所描述的組合而言，既包含了風(fēng)險證券又包括無風(fēng)險債券，那么它的夏普比率就是：組合的夏普比率等于風(fēng)險證券的夏普比率。通過投資于無風(fēng)險債券來稀釋組合風(fēng)險，對于組合的夏普比率無影響（注：我們假設(shè)w>0。如果允許w為負(fù)數(shù)，相當(dāng)于允許賣空風(fēng)險資產(chǎn)，那么σP=|w|σ=-wσ，但是μP仍然等于w（μ-r），夏普比率。賣空風(fēng)險資產(chǎn)對應(yīng)的夏普比率絕對值依然是相等的，只是符號相反。）?，F(xiàn)在考慮另一個不相關(guān)的股票S′，假設(shè)其波動率跟組合P一樣，也是wσ。這只股票的風(fēng)險在數(shù)值上等于由股票S和無風(fēng)險債券構(gòu)成的組合P的風(fēng)險，但是，因為這只股票的風(fēng)險有其單獨(dú)的來源，與股票S沒有相關(guān)性，所以這兩個風(fēng)險（股票S′和組合P）都是無法避免的。根據(jù)新的一價定律，任何一個證券，其不可避免的風(fēng)險為wσ時，對應(yīng)的預(yù)期超額回報即為w（μ-r）。因此，S′的回報也應(yīng)該跟P一樣。于是：式（2-4）說明，證券S′和S的夏普比率是相等的。因此，在環(huán)境#1中，所有股票的夏普比率都應(yīng)該是相等的。通過調(diào)整圖2-5中的w值，我們可以得到任意風(fēng)險水平σP的組合P。根據(jù)式（2-3）可知，任何沒有相關(guān)性的證券的超額回報都與其波動率成正比。這跟大家熟知的一句格言一致“風(fēng)險越高，回報越高”，或者更嚴(yán)格地來說，“不可避免的風(fēng)險越高，預(yù)期回報就越高”。夏普比率λ是威廉·夏普于1966年首先提出的，這是個非常受歡迎的風(fēng)險績效衡量方法。夏普比率衡量的是每單位風(fēng)險創(chuàng)造的超額回報?；\統(tǒng)地說，這就是你的風(fēng)險給你賺的錢。一個組合經(jīng)理總是可以通過承擔(dān)更多的風(fēng)險（可以是少稀釋風(fēng)險，或者加杠桿）來獲得更高的預(yù)期回報。但是，為了創(chuàng)造更高的夏普比率，組合經(jīng)理要么在不增加風(fēng)險的情況下提高超額回報，要么保持超額回報不變，盡量降低風(fēng)險，或者既提高超額回報又降低風(fēng)險。在所有其他條件不變的情況下，理性投資人都更傾向于夏普比率更高的投資。資產(chǎn)管理人經(jīng)常用到杠桿，而夏普比率作為績效評估標(biāo)準(zhǔn)的一大特點(diǎn)就是，假如你可以按照無風(fēng)險利率借入資金，那么最終的夏普比率不受杠桿水平高低的影響。如果一個組合經(jīng)理借入跟初始組合（其參數(shù)為μ和σ）相等規(guī)模的資金，兩倍投資于該組合，那么她的預(yù)期回報就會提高到2μ-r，也就是初始回報的兩倍在減去無風(fēng)險利率。加杠桿后的組合超額回報也就是2μ-2r。但是組合的波動率也提高了一倍，因此夏普比率保持不變。這看起來很合理，即基金績效不會因為加了杠桿就發(fā)生變化。注意，夏普比率并不是無因次的。在計算夏普比率的時候，我們通常使用年化的數(shù)字。平均回報是指平均每年的回報，波動率是年平均回報標(biāo)準(zhǔn)差的開方，因此λ的單位就是（年）-1/2。夏普比率也取決于計算回報的時間單位。如果我們以日或者月為單位來計算平均回報和波動率，我們可能得到一個不同的夏普比率。通常而言，夏普比率的單位是（年）-1/2。在模型環(huán)境#1中，存在數(shù)量有限且彼此不相關(guān)的股票，根據(jù)一價定律，波動率相同的證券的預(yù)期回報也是相同的。換句話說，一價定律要求所有互不相關(guān)證券的夏普比率都是相等的。值得注意并且非常重要的是，一價定律，到目前為止，并沒有告訴我們夏普比率的大小應(yīng)該是多少，只告訴我們所有互不相關(guān)證券的夏普比率應(yīng)該相等?！虬咐治鰡栴}：假設(shè)一個新興市場指數(shù)的預(yù)期年化回報為24%，年化波動率是30%。有個投資人想要投資于新興市場，但是期望的波動率為15%。你為這個投資人設(shè)計了一個定制化的投資組合，包括一定量的無風(fēng)險債券和這個指數(shù)。假設(shè)借貸的成本為無風(fēng)險利率4%。這個組合的預(yù)期回報是多少？答案：該指數(shù)的夏普比例為2/3：由于你可以按照無風(fēng)險利率借入資金，夏普比率就跟杠桿水平無關(guān)。因此，就算是預(yù)期回報和波動率會不一樣，但是組合的夏普比率跟指數(shù)的夏普比率是相等的。根據(jù)式（2-2），這個組合就變成：因此，這個組合的預(yù)期回報是14%。我們也能算出在這個指數(shù)之外應(yīng)該投資多少于無風(fēng)險債券。無風(fēng)險債券的波動率為0，因此，為了將整體波動率從30%降低至15%，組合中指數(shù)的權(quán)重就應(yīng)該降低到1/2。剩下的1/2必須是無風(fēng)險債券。組合中指數(shù)和債券的比重是50∶50，其中指數(shù)的回報是24%，債券的回報是4%，那么整個組合的預(yù)期回報就是50%×24%+50%×4%=12%+2%=14%。環(huán)境#2：有無數(shù)彼此不相關(guān)的股票以及一個無風(fēng)險債券在環(huán)境#1中我們已經(jīng)證明了，所有股票的夏普比率都是相等的?，F(xiàn)在，假設(shè)將環(huán)境#1的條件擴(kuò)展至環(huán)境#2，也就是假設(shè)市場上彼此之間沒有相關(guān)性的股票數(shù)量是無限的。在這個環(huán)境中，跟在環(huán)境#1中一樣，我們也可以通過稀釋的方法改變風(fēng)險特征。在這個環(huán)境中，我們還可以做一些在環(huán)境#1中無法做到的事情：我們可以通過分散的方法消除風(fēng)險。分散化無疑是最基礎(chǔ)的降低風(fēng)險的策略。將很多彼此沒有相關(guān)性的股票組合在一起，我們可以創(chuàng)造一個新的組合，使其波動率低于任何一只單獨(dú)的證券。我們現(xiàn)在就來證明，結(jié)合一價定律來運(yùn)用這種降低風(fēng)險的方法是有一定要求的，那就是，在這個簡化的模型環(huán)境中，所有證券的夏普比率都是相等的，而且都等于0！如果這聽起來很奇怪，請記住，那是因為我們只是在一個虛擬的模型環(huán)境中，這跟現(xiàn)實世界相差很遠(yuǎn)。我們先從一種特殊情況入手，假設(shè)一個組合中所有證券的波動率都是σ。如果我們有n個證券，那么組合的波動率就是（請記住，在這里我們假設(shè)相關(guān)性為0）。當(dāng)n趨近于無窮大的時候，組合的波動率就趨近于0。在這種極限情況下，如果組合的波動率是0，那么組合就沒有任何風(fēng)險，也就相當(dāng)于一個無風(fēng)險債券。因此，根據(jù)一價定律，組合的預(yù)期回報就應(yīng)該是無風(fēng)險回報r。因為組合的回報實際上就是所有組合中所有股票回報的加權(quán)平均數(shù)，這就意味著組合中的每只股票的預(yù)期回報也必須等于無風(fēng)險利率\h[3]。因此，在環(huán)境#2中，如果我們能夠通過分散化的方式將風(fēng)險降低至0，那么組合中任意一只股票的預(yù)期回報就應(yīng)該等于無風(fēng)險利率?，F(xiàn)在，根據(jù)式（2-2），對于任意一只股票來說，都有存在μ-r=λσ。如果這個等式左側(cè)等于0，而單只股票的波動率不等于0，那么我們就可以得到結(jié)論，即λ等于0。也就是說，在這個模型環(huán)境中，每只股票的夏普比率都等于0。請記?。喝绻@聽起來很奇怪，是因為我們?nèi)匀辉谝粋€模型環(huán)境中處理問題，在這一環(huán)境中，所有股票之間都是互不相關(guān)的。環(huán)境#3：有無數(shù)與市場相關(guān)的股票，以及一個無風(fēng)險債券環(huán)境#2不是我們生活的真實世界。實際上，我們不可能僅僅通過增加股票數(shù)量就可以將一個股票組合的波動率降低至0，因為大部分股票彼此之間的相關(guān)性很高。在2013年7月和2014年7月，標(biāo)普500指數(shù)成分股的平均波動率為21%，而作為一個整體的指數(shù)波動率只有10%。分散化的效應(yīng)有助于降低波動率，但是還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有到極致，就是假設(shè)這500只股票彼此之間不存在任何相關(guān)性時指數(shù)可能的波動率水平。這是因為影響股票回報的宏觀經(jīng)濟(jì)因子都是一樣的：經(jīng)濟(jì)增長率、消費(fèi)支出、稅收政策、利率以及其他等。綜合在一起，我們將這些因子統(tǒng)稱為“市場因子”?；蚨嗷蛏?，所有股票的回報都受市場因子的影響。因此，即使一個組合中包含了大量股票，對于波動率的降低作用也是有限的。分散化不可能完全消除市場性風(fēng)險?，F(xiàn)在我們將環(huán)境#2的條件擴(kuò)展至環(huán)境#3。假設(shè)在環(huán)境#3中，所有股票都跟另一個證券M相關(guān)，而M跟蹤的是整個市場的走勢，代表影響所有股票的“市場因子”。那么，盡管我們無法僅僅通過分散化將波動率降為0，但我們也可以有其他更巧妙的辦法實現(xiàn)這一目標(biāo)。首先，我們可以通過賣空一定數(shù)量的證券M，將每只股票與市場相關(guān)的風(fēng)險對沖掉。每一個小組合的持倉包括持有一只股票多頭和足夠數(shù)量的M空頭，可以消除掉這個組合的市場風(fēng)險，我們稱之為市場中性（marketneutral）組合。隨著市場中性股票數(shù)量的增加，這種先對沖后分散化的組合的風(fēng)險就可以接近0，進(jìn)而組合的預(yù)期回報也接近0。因此，在一個包含無數(shù)市場中性股票的組合中，其夏普比率等于0，預(yù)期回報也等于0。這一結(jié)果就跟我們所熟悉的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）\h[4]相一致。我們沿著這個邏輯繼續(xù)往下思考。用Si代表第i個股票的價值，其預(yù)期回報和波動率分別是μi和σi。同樣地，用M代表市場因子證券的價值，其預(yù)期回報和波動率分別為μM和σM。用ρi表示第i個股票和M之間的相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)在，由于所有股票都跟市場相關(guān)，你可以通過賣空Δi份M證券，同時持有1份Si，這樣就可以為Si建立一個市場中性組合，其中Δi等于：其中βi=ρiσi/σM。我們將第i個股票的市場中性組合表示為，其中：這樣一來，就沒有針對M的敞口，跟M也沒有相關(guān)性。我們所構(gòu)建的這些市場中性的股票跟M之間是沒有相關(guān)性的。它們的風(fēng)險都是其特有的風(fēng)險?，F(xiàn)在，我們假設(shè)這些特有風(fēng)險彼此之間沒有相關(guān)性（如果它們都有相關(guān)性的話，我們就可以用不同于M的因子將這些相關(guān)性對沖掉，這就使得我們從環(huán)境#3進(jìn)一步擴(kuò)展到了環(huán)境#4……）。在這種情況下，我們可以構(gòu)建一個大型的、多元化的組合，組合擁有n個市場中性股票，而且隨著n趨近于正無窮，組合的波動率趨近于0。由于這個組合將復(fù)制出一個無風(fēng)險債券，我們可以證明，就像在之前的環(huán)境#2中一樣，每個市場中性股票的預(yù)期回報都是無風(fēng)險利率r，其夏普比率必須是0。令式（2-7）中的，那么就有：這一結(jié)論就是廣為人知的Sharpe-Lintner-Mossin資本資產(chǎn)定價模型，之后斯蒂芬·羅斯將這個模型擴(kuò)展為套利定價模型。這個模型提出，對投資人來說有用的只是μ和σ，只要不可避免的風(fēng)險相等，那么預(yù)期回報也應(yīng)該是相等的，買一只股票能獲得的超額回報也就是該股票可對沖風(fēng)險因子所對應(yīng)超額回報的β倍，在這個案例中，也就是市場回報的β倍。換句話說，你對每個股票的預(yù)期回報只是不可避免的風(fēng)險帶來的，因為其他所有風(fēng)險都已經(jīng)被對沖掉了。你也可以將這種方法擴(kuò)展到有很多風(fēng)險因子的環(huán)境中去。盡管CAPM模型和APT模型是新古典金融學(xué)的核心，但是經(jīng)濟(jì)學(xué)家從未停止對于這些模型假設(shè)條件的討論，即它們跟真實的市場環(huán)境究竟有多相關(guān)。投資人是否理性，市場是否有效，這些都是值得討論的。你不用成為一個多么資深的專家就能發(fā)現(xiàn)，投資人的行為并非總是理性的，市場也并非總是有效的?！虬咐治鰡栴}：ABC股票跟市場的貝塔值是2.50，波動率是130%，市場預(yù)期回報是10%，無風(fēng)險利率是4%。市場的波動率是20%。根據(jù)剛剛學(xué)到的模型，ABC股票的預(yù)期回報是多少？答案：根據(jù)式（2-8），ABC的預(yù)期回報是19%。ABC的貝塔是2.50，但是ABC的預(yù)期回報不及市場回報的2倍。請記住，根據(jù)我們的模型，證券的超額回報是（19%-4%=）15%，這是市場超額回報（10%-4%=）6%的2.50倍。\h[1]后文涉及的更為完整的論證可以參考E.Derman的論文“ThePerceptionofTime，RiskandReturnduringPeriodsofSpeculation，”QuantitativeFinance2（2002）：282-296.\h[2]在本節(jié)及以后的章節(jié)中，我們都假設(shè)在進(jìn)行證券估值的時候，唯一重要的就是其波動率σ和預(yù)期回報μ。在實際市場中，證券的回報可能會出現(xiàn)高階矩和交叉階矩。在真實世界中，兩個證券有可能跟其他所有證券都沒有相關(guān)性，并且標(biāo)準(zhǔn)差是相等的，但是斜度和/或峰度是不同的。證券還有可能在流動性、稅收處理或者任何其他投資者關(guān)心的方面存在差異。這些因子反過來可能導(dǎo)致預(yù)期回報提高或者降低。在本章的推導(dǎo)過程中，當(dāng)我們提到相等的不可避免風(fēng)險時，基本上我們都假設(shè)所有這些其他的風(fēng)險因子都不重要。這是這個模型的一個隱含假設(shè)，就是所有對估值有用的因子只需要前兩個矩就可以了。\h[3]這是因為一只不存在相關(guān)性的股票的預(yù)期回報不可能低于無風(fēng)險利率。與其