必修第一冊人教A版第三章單元測試卷

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)y=x2+1的值域是(A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(1,+∞)2.已知2≈1.41421,如果對應(yīng)關(guān)系f將n對應(yīng)到2的小數(shù)點后第n位上的數(shù)字,則f(2)+f(4)= ()A.5 B.6 C.3 D.23.已知函數(shù)f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a2)+fA.-6 B.-3 C.3 D.64.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+1是定義在[-1-a,2a]上的偶函數(shù),則f(x)的最大值為()A.5 B.4 C.3 D.25.如圖1是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[-3,3]內(nèi)的大致圖象,則該函數(shù)是()圖1A.y=-x3+3xx2+1 B.y=x3-xx26.已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+32)=f(12-x),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x3,則f(52)=(A.-278 B.-18 C.18 7.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(1)<f(52)<f(72) B.f(72)<f(5C.f(52)<f(1)<f(72) D.f(72)<f(1)<f8.已知函數(shù)f(x)=x2,x≥0,-2|x+1|+2,x<0,若存在唯一的整數(shù)x,使得(2022f(x)-2021)(x-a)<0A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(4,2),則()A.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù) B.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C.當(dāng)x>1時,f(x)>1 D.當(dāng)0<x1<x2時,f(x1)+10.函數(shù)f(x)=x1+x,x≥0,A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)為增函數(shù)C.?x∈R,|f(x)|<1D.?x0∈R,|f(x0)|>111.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),稱y=[x]為高斯函數(shù),如:[1.2]=1,[-1.2]=-2,因而y=[x]又被稱為取整函數(shù),在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用,諸如停車收費,出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費.以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述,正確的是()A.?x∈R,[2x]=2[x]B.?x∈R,[x]+[x+12]=[2xC.?x,y∈R,若[x]=[y],則有x-y>-1D.方程x2=3[x]+1的解集為{7,10}三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若函數(shù)f(x)=1x-2+-x2+x+2,則13.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2,則f(-3)=,不等式f(1-2x)<f(3)的解集是.(本題第一空2分,第二空3分)

14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x),且當(dāng)x∈[2,4]時,f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,g(x)=ax+1,若對于任意x1∈[-2,0],存在x2∈[-2,1],使得g四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知f(x)=ax2+23x+b是奇函數(shù)(1)求實數(shù)a,b的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上的單調(diào)性,并加以證明.

16.(15分)在①f(a)=5,②f(12)=4a,③4f(1)-2f(2)=6這三個條件中任選一個,補充到橫線中,并解答.已知一次函數(shù)y=f(x)滿足f(x-1)=2x+a,且(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值為2,求實數(shù)λ的值.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

17.(15分)因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一魚塘中,為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在魚塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度y(單位:克/升)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a·f(x),其中f(x)=168?x-1(0≤x≤4),5?12x(4<x≤10),若多次投放,(1)若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?(2)若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放a個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求a的最小值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):2取1.4)

18.(17分)已知函數(shù)f(x)=-x2+mx-m.(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實數(shù)m的值.(2)若函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,求實數(shù)m的取值范圍.(3)是否存在實數(shù)m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出實數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

19.(17分)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)滿足：對任意x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，則稱函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=g(x)在集合D上的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=g(x)在集合D上的“約束函數(shù)”.(1)若f(x)=|x|，D=R，判斷函數(shù)y=g(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(x)=ax2+2x+1，g(x)=x2+ax，其中a>0，D=(0，+∞)，求實數(shù)a的取值范圍.

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試卷參考答案1.B由題意知,函數(shù)y=x2+1的定義域為R,則x2+1≥1,∴y≥2.C根據(jù)題意,對應(yīng)關(guān)系f將n對應(yīng)到2的小數(shù)點后第n位上的數(shù)字,則f(2)=1,f(4)=2,則f(2)+f(4)=3,故選C.3.A因為f(1)=2且f(a2)+f(1)=0,所以f(a2)=-2<0,所以f(a2)=1+a2=-2,解得a=-64.A因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+1是定義在[-1-a,2a]上的偶函數(shù),所以-1-a+2a=0,所以a=1,所以函數(shù)f(x)的定義域為[-2,2].因為函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=0,所以b=0,故f(x)=x2+1,所以當(dāng)x=±2時函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為5.5.A由函數(shù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),易知C選項中的函數(shù)為偶函數(shù),故排除C;對于選項B,當(dāng)x=1時,y=0,與圖象不符,故排除B;對于選項D,當(dāng)x=3時,y=35>0,與圖象不符,故排除D.故選A6.B∵定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+32)=f(12-∴f(x+32)=f(12-x)=-f(x-12),即f(x+2)=-f(x),則f(52)=f(2+12)=-f(12)=-(12)37.D因為函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以f(1)=f(3).因為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減.因為2<52<3<72<4,所以f(72)<f(3)<f(52),即f(72)<f(1)8.B作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖D1所示,圖D1對于(2022f(x)-2021)(x-a)<0,當(dāng)2022f(x)-2021<0,即f(x)<20212022時,x-a>0,即x>a,記A={x|x>a對于f(x)<20212022則x2<20212022,x≥0可得f(x)<20212022的整數(shù)解集為B={x∈Z|x≤-2或x=0}由題意可得,集合A∩B只有一個元素,即A∩B={0},則-2≤a<0,滿足條件的整數(shù)a的取值為-2,-1.當(dāng)2022f(x)-2021>0,即f(x)>20212022時,x-a<0,即x<a,記C={x|x<a對于f(x)>20212022則x2>20212022,x≥0可得f(x)>20212022的整數(shù)解集為D={x∈Z|x≥1或x=-由題意可得,集合C∩D只有一個元素,即C∩D={-1},則-1<a≤1,滿足條件的整數(shù)a的取值為0,1.綜上所述,所有滿足條件的整數(shù)a的取值集合為{-2,-1,0,1}.9.ACD由題意可得,4α=2,解得α=12,所以函數(shù)解析式為f(x)=x,易得函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且為非奇非偶函數(shù),故A正確,B錯誤;因為函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時,f(x)=x>1,故C正確;由函數(shù)圖象(圖略)易得點(x1+x22,f(x1+x22))在點(x110.ABC函數(shù)f(x)的定義域為R,f(0)=0,當(dāng)x>0時,-x<0,則f(-x)=-x1+x=-f(x),當(dāng)x<0時,-x>0,則f(-x)=-x1?x=-f(x),所以,對任意的x∈R,都有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)當(dāng)x≥0時,f(x)=x1+x=1-11+x,則函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)在(-∞,0)上也為增函數(shù),故函數(shù)f(x)在R當(dāng)x≥0時,f(x)=1-11+x∈[0,1),因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),則當(dāng)x<0時,f(x)=-f(-x)∈(-1,0),故f(x)∈(-1,1),所以,?x∈R,|f(x)|<1,C對,D錯.故選11.BCD對于A,取x=12,則[2x]=[1]=1,2[x]=2[12]=0,故A對于B,設(shè)[x]=x-a,a∈[0,1),所以[x]+[x+12]=[x]+[[x]+a+12]=2[x]+[a+12],[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],當(dāng)a∈[0,12)時,a+12∈[12,1),2a∈[0,1),則[a+12]=0,[2a]=0,則[x]+[x+12]=2[x],[2x]=2[x],故當(dāng)a∈[0,12)時,[x]+[x+12]=[2x]成立;當(dāng)a∈[12,1)時,a+12∈[1,32),2a∈[1,2),則[a+12]=1,[2a]=1,則[x]+[x+12]=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,故當(dāng)a∈[12,1)時,[x對于C,設(shè)[x]=[y]=m,則x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,則|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正確.對于D,由x2=3[x]+1知,x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0,所以[x]≥-13,所以[x]≥0,所以x≥0,由[x]2≤x2<([x]+1)2,得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,由[x]2≤3[x]+1,解得3?132≤[x]≤3+132≈3.3,只能取0≤[x]≤3,由3[x]+1<([x]+1)2,解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,當(dāng)[x]=2時,x=7,當(dāng)[x]=3時,x=10,所以方程x2=3[x]+1的解集為{7,10故選BCD.12.[-1,2)由題意可得x-2≠0,-x2+x+2≥0,解得-1≤13.-3(-1,+∞)由f(x)為奇函數(shù)且x≥0時,f(x)=x2,可得f(-3)=-f(3)=-3.因為x≥0時,f(x)=x2單調(diào)遞增,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知,f(x)在R上單調(diào)遞增,故由f(1-2x)<f(3)可得,1-2x<3,解得x>-1,故不等式f(1-2x)<f(3)的解集為(-1,+∞).14.(-∞,-14]∪[18,+∞)當(dāng)x∈[2,4]時,f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,可知f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減,在(3,4]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[2,3]上的值域為[3,4],在(3,4]上的值域為(113,92],所以f(x)在[2,4]上的值域為[3,92],因為f(x+2)=2f(x),所以f(x)=14當(dāng)a=0時,g(x)為常函數(shù),值域為{1},不符合題意;當(dāng)a>0時,得-2a+1≤34,當(dāng)a<0時,得-2a+1≥98,a綜上,a的取值范圍是(-∞,-14]∪[18,+∞15.(1)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即ax2+2-3x+b=又f(2)=53,∴4a+26=53(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3+23x,則f(x)在(設(shè)x1<x2≤-1,則f(x1)-f(x2)=23(x1-x2)(1-1x∵x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,1-1x1x∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增.16.(1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(x-1)=k(x-1)+b=2x+a,則k=2,a=b-k=b-2,所以f(x)=2x+a+2.若選①f(a)=5,則f(a)=2a+a+2=5,解得a=1,f(x)=2x+3.若選②f(12)=4a,則f(12)=1+a+2=4解得a=1,f(x)=2x+3.若選③4f(1)-2f(2)=6,則4(4+a)-2(6+a)=6,解得a=1,f(x)=2x+3.(2)由(1)得,f(x)=2x+3,則g(x)=xf(x)+λf(x)+x=2x2+3x+2λx+3λ+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,g(x)的圖象開口向上,對稱軸方程為x=-2+λ當(dāng)-2+λ2≤1,即λ≥-4時,g(x)max=g(2)=16+7解得λ=-2;當(dāng)-2+λ2>1,即λ<-4時,g(x)max=g(0)=3解得λ=23(舍)綜上,λ=-2.17.(1)因為a=4,所以y=64則當(dāng)0≤x≤4時,由648?x-4≥4,解得x≥0,所以此時0≤x當(dāng)4<x≤10時,由20-2x≥4,解得x≤8,所以此時4<x≤8.綜上所述,若一次投放4個單位的藥劑,有效治污時間可達8天.(2)當(dāng)6≤x≤10時,y=2×(5-x2)+a[168?(x-6)-1]=10-x+16a14?x-a=(14-x易知14-x∈[4,8],因為1≤a≤4,所以4a∈[4,8],故y≥2(14-x)·16a14?x-a-4=8a-a-4,當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4a,即x=14-4a時,y取得最小值8令8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,所以a的最小值為24-162≈1.6.18.(1)f(x)=-(x-m2)2-m+m24,則當(dāng)x=m2時,f(x)取得最大值-m+m24,則-m+m24=0,即m2-4m=(2)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是直線x=m2,要使f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,應(yīng)滿足m2≤-1,解得m≤-2,故實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-(3)①當(dāng)m2≤2即m≤4時,f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減若存在實數(shù)m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],則f(2)=3,f(3)=2,即②當(dāng)m2≥3即m≥6時,f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,則f(2)=2,f(3)=3,即-4+2③當(dāng)2<m2<3即4