高中數(shù)學(xué)圓的基本知識與分類練習(xí)

高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)之一——圓一．基本知識之關(guān)于圓的方程1.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.特殊地，當(dāng)時，圓心在原點的圓的方程為：.2.圓的一般方程，其中.圓心為點，半徑，3.二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①項項的系數(shù)相同且不為，即；②沒有項，即；③.4.圓：的參數(shù)方程為(為參數(shù)).特殊地，的參數(shù)方程為(為參數(shù)).5.圓系方程：過圓：與圓：交點的圓系方程是(不含圓),當(dāng)時圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.二．基本知識之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相切相交相離幾何特征代數(shù)特征將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：直線截圓所得弦長的計算方法：①利用弦長計算公式：設(shè)直線與圓相交于，兩點，則弦；②利用垂徑定理和勾股定理：(其中為圓的半徑，直線到圓心的距離).3.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解三．分類例題練習(xí)1.關(guān)于圓的方程：例1：求滿足下列各條件圓的方程：(1)以，為直徑的圓；(2)與軸均相切且過點的圓；(3)求經(jīng)過，兩點，圓心在直線上的圓的方程；(4)求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：（1）（2）或（3）（4）2.關(guān)于點和圓的位置例2：(1)已知點在圓的內(nèi)部,求的取值范圍.(2)直線與直線的交點在圓上，求的值.(3)已知直線與圓相交，問點的圓位置關(guān)系如何？解：(1)；(2)；(3)圓外3.圓上的點的用法例3：(1)已知實數(shù)、滿足方程.分別求，，及的最大值和最小值.(2)平面上兩點、，在圓：上取一點，求使取得最小值時點的坐標(biāo).(3)圓上到直線的距離為的點共有個.(4)求圓上的動點到直線距離的最小值.解：(1)；(2)，；(3)3個；(4)2.4.關(guān)于直線和圓的位置例4：(1)求圓在點處的切線方程.(2)求過點的圓的切線方程.(3)已知直線過點，當(dāng)直線與圓有兩個交點時，其斜率的取值范圍.(4)已知直線：與曲線：有兩個公共點，求的取值范圍.(5)已知直線：和圓；①時，證明與總相交；②取何值時，被截得弦長最短，求此弦長.解：(1)；(2)或；(3)；(4)；(5)①直線：恒過的點在圓之內(nèi)，故對有與總相交；；②5.關(guān)于圓與圓的位置例5：(1)判斷兩圓和(為參數(shù))的位置關(guān)系.(2)已知圓：與：相交于兩點，①求公共弦所在的直線方程；②求圓心在直線上，且經(jīng)過兩點的圓的方程；③求經(jīng)過兩點且面積最小的圓的方程.解：（1）相交(2)①公共弦所在的直線方程為：；②圓心在直線上，且經(jīng)過兩點的圓的方程為：；③經(jīng)過兩點且面積最小的圓的方程為：.6.關(guān)于對稱問題例6：(1)求圓關(guān)于原點對稱的圓的方程.(2)求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程.(3)點A(－3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，反射光線與圓相切，求光線l所在直線方程.(4)直線與圓交于、兩點，且、關(guān)于直線對稱，求弦的長.解：（1）；（2）（3）和；（4）7.關(guān)于軌跡例7：(1)已知為原點，定點，點是圓上一動點.①求線段中點的軌跡方程；②設(shè)的平分線交于，求點的軌跡方程.(2)過圓與軸正半軸的交點A作圓的切線，M為上任意一點，再過M作圓的另一切線，切點為Q，當(dāng)點M在直線上移動時，求三角形MAQ的垂心的軌跡方程.(3)已知圓，是軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點，求動弦AB的中點P的軌跡方程.(4)過圓內(nèi)一點作一弦交圓于兩點,過點分別作圓的切線，兩切線