高中數(shù)學(xué)知識點

第一章集合與函數(shù)概念一、集合1、集合的含義與表示一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素。把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)。通常用大寫字母A，B，C，D，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示元素。⑴確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，則任何一個元素在不在這個集合中就確定了。如，“中國的直轄市〞構(gòu)成一個集合，北京、上海、天津、重慶在這個集合中，杭州、南京、廣州……不在這個集合中。“身材較高的人〞不能構(gòu)成集合；因為組成它的元素是不確定的。⑵互異性：一個給定集合中的元素是互不一樣的(或說是互異的)，即，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。一樣元素、重復(fù)元素，不管多少，只能算作該集合的一個元素。⑶無序性：不考慮元素之間的順序只要元素完全一樣，就認為是同一個集合。3、集合相等只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。4、元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作。5、常見的數(shù)集及記法全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集〔或自然數(shù)集〕，記作N；所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集〔在自然數(shù)集中排除0的集合〕，記N*或；全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記Z；全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記Q；全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記R。拓展與提示：拓展與提示：⑴無序性常常作為計算時驗證的重要依據(jù)。⑵注意N與N*的區(qū)別。N*為正整數(shù)集，而N為非負整數(shù)集，即0∈N但0N*。⑶集合的分類按元素個數(shù)按元素的特征可分為：數(shù)集，點集，形集等等。特別地，至少有一個元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集〔〕，只含有一個元素的集合叫做單元素集。例解析①②解①得1這與集合中元素的互異性相矛盾。解②得-1或1(舍去)這時0∴-1，06、集合的表示方法⑴列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用花括號“〞括起來表示集合的方法叫做列舉法。適用條件：有限集或有規(guī)律的無限集，形式：⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍；再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。適用條件：一般適合于無限集，有時也可以是有限集。形式：，其中x為元素，p(x)表示特征。拓展與提示：如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確，拓展與提示：如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確，則x∈D可以省略，只寫其元素x，如可以表示為。(3)韋恩圖法：把集合中的元素寫在一條封閉曲線(圓、橢圓、矩形等)內(nèi)。例用適當?shù)姆椒ū硎疽韵录希⒅赋鏊怯邢藜€是無限集：⑴由所有非負奇數(shù)組成的集合；⑵平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合；⑶方程x21=0的實數(shù)根組成的集合。解：⑴由所有非負奇數(shù)組成的集合可表示為：，無限集。⑵平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合為：，無限集。⑶方程x21=0的判別式的Δ<0，故無實數(shù)，方程x21=0的實根組成的集合是空集。7、集合的根本關(guān)系⑴子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個無素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作，讀作“A含于B〞(或“B包含A〞)?？珊喪鰹椋杭僭O(shè)，則集合A是集合B的子集。⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作。數(shù)學(xué)表述法可描述為：對于集合A、B，假設(shè)，且，則集合A、B相等。⑶真子集：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集，記作或說：假設(shè)集合，且A≠B，則集合A是集合B的真子集。⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展與提示：(1)拓展與提示：(1)。(2)B(其中B為非空集合)(3)對于集合A，B，C，假設(shè)。(4)對于集合A，B，C，假設(shè)，C則C(5)對于集合A，B，假設(shè)。(6)含n元素的集合的全部子集個數(shù)為2n個，真子集有21個，非空子集有21個，非空真子集有22個。(7)不同，前者為包含關(guān)系，后者為屬于關(guān)系。8、集合間的根本運算拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。⑴并集：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑵交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑶全集與補集①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，則就稱這個集合為全集，通常記作U。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作。例設(shè)集合，假設(shè)A∩，求A∪B。解析由A∩得，9∈A。∴x2=9或21=9①由x2=9得，±3。當3時，，與元素的互異性矛盾。當3時，，此時，②由21=9得5.當5時，，此時，，與題設(shè)矛盾。綜上所述，⑷集合中元素的個數(shù)：在研究集合時，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素的個數(shù)問題，我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用來表示有限集合A中元素的個數(shù)。例如：.一般地，對任意兩個有限集A，B，有(A∪B)(A)(B)(A∩B).當時僅當A∩時，(A∪B)(A)(B).解與集合中元素個數(shù)有關(guān)的問題時，常用圖。例學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽的有3人，兩次運動會中，這個班共有多少名同學(xué)參賽？解：設(shè)，，則，(A∪B)(A)(B)(A∩B)=8+12-3=17答：兩次運動會中，這個班共有17名同學(xué)參賽二、函數(shù)及其表示1、函數(shù)的概念：一般地，我們說：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，則就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集。2、函數(shù)的三要素⑴函數(shù)的三要素是指定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。⑵由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域一樣，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等。提示：提示：⑴函數(shù)符號(x)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀引入的。(2)注意區(qū)別f(a)和f(x)，f(x)是指函數(shù)解析式，f(a)是指自變量為a時的函數(shù)值。3、區(qū)間：設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：⑴滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［］；⑵滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)；⑶滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點。定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間［a，b］開區(qū)間(a，b)半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間實數(shù)集常用區(qū)間表示為，“∞〞讀作“無窮大〞。“〞讀作“負無窮大〞，“+∞〞讀作“正無窮大〞集合符號數(shù)軸表示拓展與提示：(1)在數(shù)軸上，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點。拓展與提示：(1)在數(shù)軸上，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點。(2)求函數(shù)定義域，主要通過以下途徑實現(xiàn)。①假設(shè)f(x)是整式，則定義域為R；②假設(shè)f(x)為分式，則定義域為使分母不為零的全體實數(shù)；③假設(shè)f(x)為偶次根式，則定義域為使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)；④假設(shè)f(x)的定義域為［］，則f［g(x)］的定義域是a≤g(x)≤b的解集；⑤假設(shè)f［g(x)］的定義域為［a，b］，則f(x)的定義域是g(x)在下的值域。例1求以下函數(shù)的定義域解：要使有意義，則必須，即x≥-1且x≠2，故所求函數(shù)的定義域為例2⑴函數(shù)f(x)的定義域是［-1，3］，求f(1)和f(x2)的定義域⑵函數(shù)f(23)的定義域為，求f(1)的定義域解：⑴∵f(x)的定義域為［-1，3］，∴f(1)的定義域由-1≤1≤3確定，即-2≤x≤2，∴f(1)的定義域為［-2，2］.f(x2)的定義域由-1≤x2≤3確定，即∴f(x2)的定義域為[]⑵∵函數(shù)f(23)的定義域為，∴23中的x滿足-1<x≤2，∴1<23≤7.令23，則f(t)的定義域為.又1<1≤7，∴2<x≤8∴f(1)的定義域為4、反函數(shù)式子(x)表示y是自變量x的函數(shù)，設(shè)它的定義域為A，值域為C，我們從式子(x)中解出x得到(y)，如果對于y在C中的任何一個值通過式子(y)在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則式子(y)表示y是自變量x的函數(shù)，這樣的函數(shù)(y)叫做(x)的反函數(shù)，記作，一般寫成.拓展與提示：(1)函數(shù)(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域；拓展與提示：(1)函數(shù)(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域；(2)函數(shù)(x)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。5、函數(shù)的三種表示法解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。(1)函數(shù)用列表法表示時，其定義域是表中自變量所取值的全體，其值域是表中對應(yīng)函數(shù)值的全體。(1)函數(shù)用列表法表示時，其定義域是表中自變量所取值的全體，其值域是表中對應(yīng)函數(shù)值的全體。(2)函數(shù)用圖象法表示時，其定義域是圖象投射到x軸上的區(qū)域范圍，其值域是圖象投射到y(tǒng)軸上的區(qū)域范圍。6、分段函數(shù)假設(shè)函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)關(guān)系不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)，它是一類重要函數(shù)，形式是：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，對于分段函數(shù)必須分段處理，其定義域為D1∪D2∪…∪.拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集。拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集。例中國移動通信已于20063月21日開場在所屬18個省、市移動公司陸續(xù)推出“全球通〞移動資費“套餐〞，這個套餐的最大特點是針對不同用戶采用了不同的收費方法，具體方案如下：方案代號根本月租(元)免費時間(分鐘)超過免費時間話費(元/分鐘)130482981703168330426860053881000請問：“套餐〞中第3種收費方式的月話費y與月通話量t(月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和)的函數(shù)關(guān)系式。解：“套餐〞中第3種收費函數(shù)為7、復(fù)合函數(shù)假設(shè)y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即(u)(x)∈()∈()，則y關(guān)于x的函數(shù)［g(x)］，x∈()叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，u的取值范圍是g(x)的值域。8、映射設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。拓展與提示：(1)映射包括集合A、B以及從A到B的對應(yīng)法拓展與提示：(1)映射包括集合A、B以及從A到B的對應(yīng)法則f，三者缺一不可，且A、B必須非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它對應(yīng)，而B中的元素卻不一定在A中找到對應(yīng)元素，即使有，也不一定只有一個。9、函數(shù)解析式的求法⑴待定系數(shù)法。假設(shè)函數(shù)類型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后利用條件列方程或方程組，再求系數(shù)。⑵換元法。假設(shè)函數(shù)的解析式，可令，并由此求出(t)，然后代入解析式求得(t)的解析式，要注意t的取值范圍為所求函數(shù)的定義域。⑶賦值法：可令解析式中的自變量等于某些特殊值求解。⑷列方程(組)法求解。假設(shè)所給式子中含有f(x)，或f(x)()等形式，可考慮構(gòu)造另一個方程，通過解方程組獲解。⑸配湊法例解答以下各題：⑴f(x)2-43，求f(1)；⑵f(1)2-2x，求f(x)；⑶二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1(-1)=5，圖象過原點，求g(x)。解：⑴f(1)=(1)2-4(1)+32-2x⑵方法一：(配湊法)f(1)=(1)2-21-2(1)2-41=(1)2-4(1)+3，∴f(x)2-43方法二：(換元法)令1，則1，f(t)=(1)2-2(1)2-43，∴f(x)2-43.⑶由題意設(shè)g(x)2，a≠0.∵g(1)=1(-1)=4，且圖象過原點，∴解得∴g(x)=3x2-2x.三、函數(shù)的根本性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性⑴一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x12，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，如圖⑴所示。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x12，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，如圖⑵所示。如果函數(shù)(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做(x)的單調(diào)區(qū)間。拓展與提示：拓展與提示：⑴定義中的x12具有任意性，不能用特殊值代替。⑵假設(shè)f(x)在區(qū)間D1，D2上都是增(減)函數(shù)，但f(x)在D1∪D2上不一定是增(減)函數(shù)。⑶由于定義域都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推〞。⑵函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法。用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為第一步：取值。設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2。第二步：作差、變形。準確作出差值，并通過因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形。第三步：判斷f(x1)(x2)［或f(x2)(x1)］的符號。第四步：根據(jù)定義作出結(jié)論。簡記為“取值—作差—變形—定號—結(jié)論〞。②直接法。運用的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，常見結(jié)論有：ⅰ函數(shù)(x)與函數(shù)(x)的單調(diào)性相反；ⅱ當函數(shù)f(x)恒為正或恒為負時，函數(shù)與(x)的單調(diào)性相反；ⅲ在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)，其和為增函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)，其差為增函數(shù)等。③圖象法：按照作圖的方法，準確作出函數(shù)的圖象，觀察判斷函數(shù)的單調(diào)性。④假設(shè)當x∈()時，f′(x)>0，則f(x)在()上遞增；假設(shè)當x∈()時，f′(x)<0，則f(x)在()上遞減。拓展與提示：定義有如下等價形式：設(shè)x拓展與提示：定義有如下等價形式：設(shè)x12∈［］，則①上是增函數(shù)，上是減函數(shù)；②在［］上是增函數(shù)，上是減函數(shù)。例討論函數(shù)在(-2，+∞)上的單調(diào)性。解：設(shè)-2<x1<x2，則∴f(x2)(x1).又∵-2<x1<x2，∴∴當1-2a>0，即時，上式<0，即f(x2)<f(x1)；當1-2a<0時，即時，上式>0，即f(x2)>f(x1)?！喈敃r，在(-2，+∞)上為減函數(shù)當時，在(-2，+∞)上為增函數(shù)⑶復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對于復(fù)合函數(shù)［g(x)］，假設(shè)(x)在區(qū)間()上是單調(diào)函數(shù)，則(t)在區(qū)間(g(a)(b))或(g(b)(a))上是單調(diào)函數(shù)；假設(shè)(x)與(t)單調(diào)性一樣(同時為增或減)，則［g(x)］為增函數(shù)，假設(shè)(x)與(x)單調(diào)性相反，則［g(x)］為減函數(shù)，簡單地說成“同增異減〞。(t)增減增減(x)增減減增［g(x)］增增減減2函數(shù)的最大(小)值⑴定義：一般地，設(shè)函數(shù)(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足⑴對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0).則，我們稱M是函數(shù)(x)的最大值。同樣地：如果存在實數(shù)M滿足：⑴對于任意x∈I，都有f(x)≥M；⑵存在x0∈I，使得f(x0).則我們稱M是函數(shù)的最小值。⑴⑴函數(shù)的最大(小)值是函數(shù)的圖象的最高點(最低點)對應(yīng)的縱坐標。⑵一個連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間［］上一定有最大值和最小值。⑶求函數(shù)最值的常見方法為①構(gòu)造二次函數(shù)；②單調(diào)性法；③導(dǎo)數(shù)法。⑵二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)f(x)2，當a>0時，在閉區(qū)間［］上的最值可分如下討論：①假設(shè)時，則最大值為f(n)，最小值為f(m)；②假設(shè)時，則最大值為f(m)，最小值為f(n)；③假設(shè)時，則最大值為f(m)或f(n)，最小值為.例，假設(shè)f(x)2-21，在［1，3］上最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)(a)(a),求g(a)的函數(shù)表達式。解：.∵，∴.又∵∈［1，3］.∴當，f(x)(a)=當，即時，f(x)(a)(3)9a5.當時，f(x)(a)(1)1∴3、函數(shù)的奇偶性⑴偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f()(x)，則函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。⑵奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f()(x)，則函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。拓展與提示：拓展與提示：①并不是所有的函數(shù)都具備奇偶性，這些既不是奇函數(shù)又不偶函數(shù)的函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個，就是f(x)=0。②判斷函數(shù)奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱，否則稱為非奇非偶函數(shù)。2、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則：①對任意定義域的x,都有f()(x)；②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；③函數(shù)f(x)在兩個半對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相反的。⑶假設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則：①對任意定義域內(nèi)的x，都有f()(x)；②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱；③函數(shù)f(x)在兩個半對稱區(qū)間上的單調(diào)性是一樣的。⑷函數(shù)奇偶性的判定方法定義法：f(x)是奇函數(shù)；f(x)是偶函數(shù)②利用圖象的對稱性：f(x)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。f(x)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。例設(shè)函數(shù)f(x)對任意x、y∈R，都有f()(x)(y)，且x>0時，f(x)<0，f(1)2。⑴求證：f(x)為奇函數(shù)⑵試問在-3≤x≤3時，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。解：⑴∵f(x)對于任意x、y∈R，都有f()(x)(y)成立∴令0，得f(0)(0)(0)，即f(0)=0再令，得f(0)(x)()，即f()(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。⑵設(shè)x1<x2時，且x1、x2∈R，則f(x21)［x2+(1)］(x2)(1)(x2)(x1)，由x>0時，f(x)<0，∴f(x21)<0，即f(x2)(x1)<0∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上為減函數(shù)∴f(x2)在［-3，3］上，當3時，f(x)取最大值，即f(x)(-3)(3)3f(1)=6；當3時，f(x)取最小值，即f(x)(3)6.第二章根本初等函數(shù)一、運算公式1、指數(shù)冪①；②=〔a>0∈Q〕；③=〔a>0∈Q〕；④=〔a>0>0∈Q〕⑤2、對數(shù)〔a>0,且a≠1，,且，M>0>0〕①;②;③；④推論(,且,,且,,).二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域R定義域R值域y＞0值域y＞0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點〔0，1〕函數(shù)圖象都過定點〔0，1〕注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：〔1〕在[a，b]上，值域是或；

〔2〕假設(shè)，則；取遍所有正數(shù)當且僅當；

〔3〕對于指數(shù)函數(shù)，總有；三、對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念：一般地，如果，則數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：〔—底數(shù)，—真數(shù)，—對數(shù)式〕說明：⑴注意底數(shù)的限制，且；⑵；2、兩個重要對數(shù)：⑴常用對數(shù)：以10為底對數(shù)；⑵自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)。3、對數(shù)函數(shù)⑴對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是〔0，+∞〕。注意：①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意區(qū)分。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)。②對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且．⑵對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1定義域x＞0定義域x＞0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點〔1，0〕函數(shù)圖象都過定點〔1，0〕四、冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)。2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納⑴所有的冪函數(shù)在〔0，+∞〕都有定義并且圖象都過點〔1，1〕。⑵時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)。特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸。⑶時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．在第一象限內(nèi),過(1,1)點后α|越大,圖象下落的速度越快.⑷解析式，當1時，一次函數(shù)；當2時，二次函數(shù)；當1時，反比例函數(shù)；當時，。冪函數(shù)只要求掌握a為某些特殊值的時候的圖象即可。C1>1>C2>0>C4>C3第三章函數(shù)的應(yīng)用第四章空間幾何體一、空間幾何體的構(gòu)造1、柱、錐、臺、球的構(gòu)造特征⑴棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。⑵棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。表示：用各頂點字母，如五棱錐。幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。⑶棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等。表示：用各頂點字母，如五棱臺。幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形;②側(cè)面是梯形;③側(cè)棱交于原棱錐的頂點。⑷圓柱：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。⑸圓錐：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。⑹圓臺：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部。幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形〔扇環(huán)〕。⑺球體：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。二、空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：⑴正視圖：從前往后；⑵側(cè)視圖：從左往右；⑶俯視圖：從上往下。2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等。3直觀圖：斜二測畫法。4斜二測畫法的步驟：⑴在圖形中取相互垂直的軸和軸，兩軸相交于。畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點，且使，它們確定的平面表示水平面。⑵圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段；⑶圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：⑴畫軸；⑵畫底面⑶畫側(cè)棱⑷成圖三、空間幾何體的外表積與體積1、空間幾何體的外表積與體積體名棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺球外表積各面積和體積第五章點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、空間點、直線、平面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線此平面內(nèi)。應(yīng)用：判斷直線是否在平面內(nèi)。用符號語言表示：公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論的作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)

②它是證明平面重合的依據(jù)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,則它們有且只有一條過該點的公共直線。平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。公理3為：公理3作用：①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，即證假設(shè)干個點共線的依據(jù)。二、空間直線與直線之間的位置關(guān)系[共面〔平行+相交〕或異面；平行或不平行〔相交+異面〕]公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。1、異面直線①定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

②

性質(zhì)：既不平行，又不相交。③

判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。④

異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是〔0°，90°]，假設(shè)兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。2、求異面直線所成角步驟：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。②證明作出的角即為所求角③利用三角形來求角3、等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩角相等或互補。三、空間直線與平面之間的位置關(guān)系：1、三種位置關(guān)系⑴直線在平面內(nèi)：，有無數(shù)個公共點；⑵直線不在平面內(nèi)：①相交：，有一個公共點；②平行：，無公共點。2、直線與平面平行⑴判定定理：平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。。做題思路：在平面內(nèi)“找出〞一條直線與直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題〞轉(zhuǎn)化為“平面問題〞。⑵性質(zhì)定理：一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面和這個平面的交線，與該直線平行。3、直線與平面相交：斜交和垂直。⑴直線與平面所成的角，⑵直線與平面垂直①定義：如果直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則說直線和平面互相垂直，記作。②判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。做題思路：在平面內(nèi)“找出〞兩條相交直線與直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直〞轉(zhuǎn)化為“線線垂直〞③性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。四、平面與平面之間的位置關(guān)系1、⑴平行：沒有公共點；。⑵相交〔〕：有一條公共直線，斜交和垂直。2、平面與平面平行⑴判定定理：一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。做題思路：在一個平面內(nèi)“找出〞兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題〞轉(zhuǎn)化為“線面平行問題〞。⑵性質(zhì)定理：如果兩平行平面同時與第三個平面相交，則它們的交線平行。3、平面與平面垂直⑴判定定理：一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面垂直。做題思路：轉(zhuǎn)化①二面角為直角；②“找出〞一條直線與另一平面垂直，將“面面垂直問題〞轉(zhuǎn)化為“線面垂直問題〞⑵性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個平面垂直。做題思路：解決問題時，常添加的輔助線是在一個平面內(nèi)作兩平面交線的垂線五、有關(guān)概念1、異面直線所成的角:兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點○作直線我們把所成的銳角〔或直角〕叫異面直線a與b所成的角〔夾角〕?！病?、直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角。3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一點O，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線、,則、構(gòu)成的叫二面角的平面角。。時直二面角4、點到平面的距離：從平面外一點引這個平面的垂線，則這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.5、直線和平面的距離：當一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.6、和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的局部，叫做這兩個平行平面的公垂線段。兩個平行平面的公垂線段都相等。公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離。第六章直線與方程一、傾斜角：直線l向上方向與x軸正向夾角α。注意0°≤α＜180°二、斜率：直線l的傾斜角的正切值。即α。注意傾斜角為90°直線斜率不存在。斜率公式〔、〕。三、直線關(guān)系判定及性質(zhì)：〔方程組的解〕1、設(shè)，①〔方程組無解〕，〔〔方程組無數(shù)解〕〕②。2、設(shè)，，且A1、A2、B1、B2都不為零，①〔方程組無解〕；〔〔方程組無數(shù)解〕〕②。四、直線的五種方程1、點斜式：(直線過點，且斜率為)。2、斜截式：(b為直線在y軸上的截距)。3、兩點式：()(、())。4、截距式：(分別為直線的橫、縱截距，)。5、一般式：(其中A、B不同時為0)。五、平面兩點(A，B)間的距離公式=六、點到直線：的距離〔兩平行線距離：可轉(zhuǎn)化為點到直線距離〕七、四種常用直線系方程1、定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．2、共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．3、平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．4、垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．第七章圓與方程一、圓的方程1、標準方程，圓心，半徑為r；點與圓的位置關(guān)系：①當>，點在圓外②當=，點在圓上③當<，點在圓內(nèi)。2、一般方程①當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為②當時，表示一個點；③當時，方程不表示任何圖形。二、求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，假設(shè)利用圓的標準方程，需求出a，b，r；假設(shè)利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。三、直線與圓的位置關(guān)系：1、直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：設(shè)直線，圓，圓心到的距離為，則有；；2、過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程(一定兩解)3、過圓上一點的切線方程：圓()2+()22，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0)()+(y0)()=r2四、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。設(shè)圓，，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。當時，兩圓外離，此時有公切線四條；當時，兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當時，兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內(nèi)含；當時，為同心圓。注意：圓上兩點，圓心必在中垂線上；兩圓相切，兩圓