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文檔簡介
2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點沖刺復(fù)習(xí)
向量法求空間角與距離課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必
備
知
識1.兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別為u,v,則cosθ=|cos〈u,v〉|=______=________.2.直線和平面所成的角直線AB與平面α相交于B,設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sinθ=|cos〈u,n〉|=________=________.
3.平面與平面的夾角(1)兩平面的夾角:平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)兩平面夾角的計算:設(shè)平面α,β的法向量分別是n1,n2,平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos〈n1,n2〉|=________=________.
夯
實
基
礎(chǔ)1.思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(
)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(
)(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面的夾角.(
)(4)直線l平行于平面α,則直線l上各點到平面α的距離相等.(
)×××√
答案:A
4.設(shè)M,N分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點,則直線MN與平面A′BCD′所成角的正弦值為________.
課堂互動探究案掌握向量法求空間角與距離的公式,并會應(yīng)用,提高學(xué)生空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力.題型一
直線與平面所成的角例1[2024·河南焦作模擬]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=2BC=CC1=2,D,E,F(xiàn)分別是棱A1C1,BC,AC的中點,∠ACB=60°.(1)證明:平面ABD∥平面FEC1;(2)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.
題后師說利用空間向量求線面角的解題步驟
題型二
平面與平面的夾角例2(12分)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時,求B2P.
[滿分答卷·評分細(xì)則]解析:(1)以C為坐標(biāo)原點,CD,CB,CC1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖, →正確建系得1分
題后師說利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量:分別求出兩個平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小.鞏固訓(xùn)練2如圖,在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=2A1B1=4.(1)證明:AC⊥BD1;(2)若正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為3,過BD1的平面α與CC1平行,求平面α與平面BCC1B1夾角的余弦值.
題型三
空間距離例3[2024·安徽滁州模擬]如圖,在三棱錐M-ABC中,MB⊥平面ABC,∠ACB=90°,MB=2,AB=4.(1)求證:平面MAC⊥平面MBC,(2)若直線AB與平面MBC所成角為45°,點E為AM的中點,求點A到平面BCE的距離.
題后師說利用向量法求點到平面的距離的步驟鞏固訓(xùn)練3[2024·湖南長沙模擬]斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為2,∠A1AB=60°,點A1在下底面ABC的投影為AB的
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