專題05類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略(原卷版+解析)

專題05類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】 3【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】 8【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 11【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 18【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 20【類型七完全平方式中的配方】 23【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】 26【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】 31【類型十利用配方法構(gòu)造非負數(shù)求值】 33【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一元二次方程的兩根分別為．2．（2023秋·九年級單元測試）方程的根是．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解下列方程：．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)．(2)．7．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解下列方程：（1）；（2）．【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】1．（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）若用配方法解方程時，將其配方為的形式，則．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．4．（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用配方法解方程：6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（配方法）．7．（2023秋·上海青浦·八年級校考期末）用配方法解方程：．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】1．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）方程的根是（

）A．3和 B． C．3 D．和3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）方程的解為________．4．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）方程的解為_______．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．6．（2023秋·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：8．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海?．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考模擬預(yù)測）解方程：．【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】1．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）解方程：2．（2023秋·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．（用求根公式法）3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解下列方程：．4．（2023秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）解方程：5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解方程：．6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）公式法解方程：．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用公式法解方程：(1)．(2)9．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀?）我們發(fā)現(xiàn)，利用配方法解一元二次方程的步驟是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，對于一元二次方程，當(dāng)時，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．（2）小明在用公式法解方程時出現(xiàn)了錯誤，解答過如下：，，，（第一步）．（第二步）∴．（第三步）∴，．（第四步）小明解答過程是從第______步開始出錯的，其錯誤原因是．（3）請你寫出此題正確的解答過程．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】1．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┙夥匠蹋海?．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）解一元二次方程：．4．（2023春·北京海淀·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）解方程：5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值；解：設(shè)，則原方程可變形為．即∴得，∴或已知，求的值．3．（2023秋·九年級單元測試）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：(1)；(2)．4．（2023春·八年級單元測試）（換元法）解方程：解：設(shè)則原方程可化為解得：當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請解方程：(1)．(2)【類型七完全平方式中的配方】1．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期中）如果是一個完全平方式，那么_________．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如果是一個完全平方式，那么________3．（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤羰峭耆椒焦剑瑒t的值為________．4．（2023春·江蘇徐州·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．【知識理解】(1)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值為______；A．4

B．8

C．

D．(2)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)m的值為______；(3)配方：______；______；【知識運用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式有最小值，則最小值為______；(5)已知，則______，______．【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是（

）A．8 B． C． D．92．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時，為正數(shù) D．當(dāng)時，為負數(shù)3．（2023春·廣東清遠·八年級校考期中）多項式的最小值是_____．4．（2023春·江蘇·七年級期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問題：(1)若a為任意實數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實數(shù)②已知，求．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當(dāng)時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）若，，則A、B的大小關(guān)系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）若代數(shù)式，，則的值（）A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是負數(shù) D．一定不是正數(shù)3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則AB（填＞，＜或＝）．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．例如，求的最小值問題．解：∵，又∵，∴，∴的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。绢愋褪门浞椒?gòu)造非負數(shù)求值】1．（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）若，則．1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）“”這個結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．試利用“配方法”解決下列問題：(1)求代數(shù)式最值；(2)已知，求的值；(3)比較代數(shù)式與的大小．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀下列材料，解答問題．材料：求代數(shù)式的最小值．小明同學(xué)是這樣解答的：我們把這種解決問題的方法叫做“配方法”．問題：(1)請按照小明的解題思路，把解答過程補充完整．(2)請運用“配方法”解決問題：若，求的立方根．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀材料，再解決下列問題．例如：用配方法求代數(shù)式的最小值．原式．∵，∴當(dāng)時，有最小值是2．根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)若，當(dāng)_______時，有最_______值（填“大”或“小”），這個值是_______；(3)當(dāng)，，分別為的三邊時，且滿足時，判斷的形狀并說明理由．

專題05類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題十種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】 3【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】 8【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 11【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 18【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 20【類型七完全平方式中的配方】 23【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】 26【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】 31【類型十利用配方法構(gòu)造非負數(shù)求值】 33【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一元二次方程的兩根分別為．【答案】，【分析】運用直接開平方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，∴，，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級單元測試）方程的根是．【答案】【分析】直接利用開方法求解即可.【詳解】解：∵∴∴∴∴，故答案為：，.【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種方法是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】先開平方，再分情況求解．【詳解】解：兩邊開平方，得．①當(dāng)時，．②當(dāng)時，．綜上所述，原方程的解是：．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，兩邊開方后先將一邊加上絕對值，再分情況討論．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解下列方程：．【答案】【分析】直接將方程開方求解即可．【詳解】解：方程開方得：或，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法求解．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用直接開平方法解答即可；（2）用直接開平方法解答即可．【詳解】（1），移項，得，兩邊同時除以49，得，開方，得，則方程的兩個根為，．（2）兩邊同時除以9，得，開方，得，即或，則方程的兩個根為，．【點睛】本題主要考查了用開方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握開方法.6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1），，，解得：．（2），，∴，即，解得：或∴原方程的根是．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項，寫成的形式，然后利用數(shù)的開方解答．（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．【詳解】（1）解：移項得，，開方得，，解得，．（2）方程兩邊直接開方得：，或，∴，或，解得：，．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：（1）方程變形得，開平方，得，∴；（2）由原方程，得，開平方，得，∴．【點睛】考查了直接開平方法解一元二次方程．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】1．（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）若用配方法解方程時，將其配方為的形式，則．【答案】【分析】根據(jù)配方法進行計算即可求解．【詳解】解：∴即∴，故答案為：．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【詳解】解：，，，．，．．故答案為：．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，，，，，所以．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．【答案】【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：，∴

．∴．∴．

∴．

解得：．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用配方法解方程：【答案】，【分析】移常數(shù)項，加上一次項系數(shù)一半的平方，將方程左邊配成完全平方式，再開方求解.【詳解】解：，，，，∴，．【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（配方法）．【答案】【分析】先配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：，配方得：，即，∴，∴．【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．7．（2023秋·上海青浦·八年級?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】首先把移到等號右邊，然后再等式兩邊同時加上8，可得，然后再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：，，，則，，解得：，【點睛】此題主要考查了配方法解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】1．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】利用因式分解法直接解方程即可．【詳解】解：，可得或，解得：，．故選：C．【點睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的方法及根據(jù)每個方程的特點選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）方程的根是（

）A．3和 B． C．3 D．和【答案】A【分析】先移項，再通過提公因式法因式分解，進而求根．【詳解】解：，，或，或．選A．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)計算技巧是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）方程的解為________．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：分解因式得：，∴或，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題主要考查的知識點是解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握因式分解法解一元二次方程．4．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）方程的解為_______．【答案】【分析】先移項，再分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】移項得，，∴，∴解得．故答案為：【點睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．【答案】，【分析】先移項再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法，解題的關(guān)鍵是找準公因式．6．（2023秋·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：．【答案】，．【分析】用因式分解法解方程即可．【詳解】解:∴∴或∴，【點睛】本題主要考查解一元二次方程，用合適的方法解方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：【答案】，【分析】移項，然后用因式分解法解方程即可．【詳解】解：移項整理得：，因式分解得：，即，∴或，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．8．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥扛鶕?jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考模擬預(yù)測）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，或，，．【點睛】本題考查解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，靈活選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】1．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）解方程：【答案】，．【分析】將方程轉(zhuǎn)化為一般形式運用公式法求解即可．【詳解】解：，，，，，，則，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．（用求根公式法）【答案】，【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．【詳解】解：∵，∴，∴，；【點睛】本題考查了一元二次方程的解法（公式法），熟記求根公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解下列方程：．【答案】，．【分析】先寫出各項的系數(shù)，再利用求根公式求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記求根公式，注意各項系數(shù)的符號．4．（2023秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）解方程：【答案】或【分析】先整理方程，然后利用公式法解方程，即可得到答案．【詳解】，整理方程，得：，∵，∴，∴或．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解方程．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解方程：．【答案】【分析】利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握公式法解一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．注意，先求判別式．6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）公式法解方程：．【答案】，【分析】先求出的值，再利用公式法求出x的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式，準確進行計算．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：【答案】，【分析】根據(jù)題意先求出，再代入求根公式，即求出即可．【詳解】解：，方程的系數(shù)分別是，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用公式法解方程：(1)．(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）∵，，；

∴，∴，（2）方程整理得：．∵，，，，∴，∴，．【點睛】本題考查公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是公式法解一元二次方程時要化成一般形式．9．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀?）我們發(fā)現(xiàn)，利用配方法解一元二次方程的步驟是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，對于一元二次方程，當(dāng)時，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．（2）小明在用公式法解方程時出現(xiàn)了錯誤，解答過如下：，，，（第一步）．（第二步）∴．（第三步）∴，．（第四步）小明解答過程是從第______步開始出錯的，其錯誤原因是．（3）請你寫出此題正確的解答過程．【答案】（1）；（2）一，方程沒有化成一般式；（3），，正確的解答過程見解析【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求得；(2)根據(jù)公式法解一元二次方程，即可解答；(3)用公式法解此方程，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時，由原方程得：，得，得，故，故，故答案為：；（2）由原方程得：，，，，∴小明解答過程是從第一步開始出錯的，其錯誤原因是方程沒有化成一般式．故答案為：一，方程沒有化成一般式；（3）方程化為，，，，．∴．∴，．【點睛】本題考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，熟練掌握和運用利用配方法解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】1．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，選擇合適的解法解方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】利用因式分解法解方程．【詳解】解：，因式分解得：，∴或，解得：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）解一元二次方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：∴，∴或，解得，；【點睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·北京海淀·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：【答案】,【分析】首先移項并合并同類項，再根據(jù)因式分解法求解一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∴∴，．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法求一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，或，解得：，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝(2)【分析】（1）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解；（2）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解【詳解】（1）解：設(shè)則或解得，∴或∴或解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；（2）解：設(shè)，則，或，解得，，或，或，解得，【點睛】本題考查換元法在一元二次方程的求解中的應(yīng)用，掌握該方法是解題關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值；解：設(shè)，則原方程可變形為．即∴得，∴或已知，求的值．【答案】6【分析】設(shè)，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再進行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則原方程可變形為，即∴，解得：；又∵∴．【點睛】本題考查解一元二次方程．理解并掌握題目給出的解方程的方法，是解題的關(guān)鍵．注意：．3．（2023秋·九年級單元測試）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）把看做一個整體，設(shè)，則原方程可化為，．(2)把看做整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，．【詳解】（1）解：把看做一個整體，設(shè)則原方程可化為解得，∴或者∴，（2）解：把看做整體，設(shè)則原方程可化為解得，∴，【點睛】本題考查了換元法解二元一次方程的方法，熟練運用換元法將次是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級單元測試）（換元法）解方程：解：設(shè)則原方程可化為解得：當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請解方程：(1)．(2)【答案】(1)原方程的根是；(2)原方程的根是．【分析】(1)設(shè)，則原方程可化為，解得的值，即可得到原方程的根；(2)設(shè)，則原方程可化為，解得的值，檢驗后即可得到原方程的根．【詳解】（1）設(shè)，則原方程可化為解得∶當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，方程無解原方程的根是；（2）設(shè)，則原方程可化為去分母，可得解得當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，方程無解經(jīng)檢驗∶都是原方程的解原方程的根是．【點睛】本題主要考查了運用換元法解一元二次方程以及分式方程，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．【類型七完全平方式中的配方】1．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期中）如果是一個完全平方式，那么_________．【答案】或【分析】根據(jù)完全平方公式即可解答．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴，∴，故答案為或；【點睛】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如果是一個完全平方式，那么________【答案】4或或【分析】由于為完全平方公式，則可為平方項，也可為2倍乘積項，分情況討論即可得到答案．【詳解】解：∵是完全平方式，當(dāng)和為平方項時，即，∴；當(dāng)和為平方項時，即，∴；當(dāng)和為平方項時，即，∴．故填：4或或．【點睛】本題考查完全平方公式的運用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)校考期中）若是完全平方公式，則的值為________．【答案】5或【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：多項式是完全平方式，，解得：或，故答案為：5或．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇徐州·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．【知識理解】(1)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值為______；A．4

B．8

C．

D．(2)若多項式是一個完全平方式，那么常數(shù)m的值為______；(3)配方：______；______；【知識運用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式有最小值，則最小值為______；(5)已知，則______，______．【答案】(1)C；(2)4；(3)，；(4)3(5)，；【分析】（1）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（2）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（3）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（4）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；（5）根據(jù)完全平方公式直接列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵多項式是一個完全平方式，∴，故選：C；（2）解：∵多項式是一個完全平方式，∴，故答案為：4；（3）解：由題意可得，，，故答案為：，；（4）解：∵，∴，∴最小值為：3；（5）解：∵，∴，∵，，∴，，∴，；【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．【類型八判斷代數(shù)式的正負或求最值】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是（

）A．8 B． C． D．9【答案】A【分析】由已知得，注意x的取值范圍，代入再配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，且即，∴，∵，∴當(dāng)時，的最小值是，故選：A．【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及確定x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時，為正數(shù) D．當(dāng)時，為負數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及時，用含的式子表示出，確定的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴；∴當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，即：，∴，∴，∴，即是非正數(shù)；故選項錯誤，選項正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東清遠·八年級?？计谥校┒囗検降淖钚≈凳莀____．【答案】3【分析】利用完全平方公式把多項式化成一個偶次方加常數(shù)的形式，偶次方為0時，代數(shù)式有最小值．【詳解】解：，∵，∴∴的最小值是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握如何化為完全平方式．4．（2023春·江蘇·七年級期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問題：(1)若a為任意實數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實數(shù)②已知，求．【答案】(1)(2)5(3)①A；②【分析】（1）對式子利用配方法求解即可；（2）對式子利用配方法求解即可；（3）①對式子中的利用配方法求解即可；②對式子進行配方，求得的值，然后代入求值即可．【詳解】（1）解：，∵，∴的最小值為；故答案為：；（2）解：，∵，∴，∴，即的最大值為5；（3）解：①，∵，，∴的最小值為，故A正確．故選：A．②∵，∴，∴，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式變形計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的應(yīng)用．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當(dāng)時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當(dāng)時，M有最小值．【點睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．【類型九比較兩個代數(shù)式的大小】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）若，，則A、B的大小關(guān)系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B【答案】A【分析】利用做差法求出，然后利用偶數(shù)次冪的非負性即可得出，即可得出，從而得出正確選項．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，故選：A．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，考查了通過做差法判斷式子的大小，熟練掌握配方法是本題的關(guān)鍵所在．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）若代數(shù)式，，則的值（）A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是負數(shù) D．一定不是正數(shù)【答案】B【分析】此題可直接用多項式減去多項式，然后化簡，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負．【詳解】解：由于，，則所以一定是正數(shù)．故選：．【點睛】本題考查了整式的加減，解題的關(guān)鍵是需注意整式的加減運算；另外題中含有的配方得完全平方式的思想，同學(xué)們也需要靈活掌握．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則AB（填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B的差，再將差用配方法變形為A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非負數(shù)性質(zhì)求解．【詳解