專題14 模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題14模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一“獨(dú)立”型】 1【類型二“背靠背”型】 6【類型三“疊合”型】 13【類型四“斜截”型】 18【典型例題】【類型一“獨(dú)立”型】例題：（2023春·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，某校無人機(jī)興趣小組借助無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，無人機(jī)在離教學(xué)樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學(xué)樓頂處的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為米．（結(jié)果精確到米）【參考數(shù)據(jù)：，，】

【答案】【分析】過作于點(diǎn)，可得，根據(jù)題意可知米，米，由作圖知，米，在中利用三角函數(shù)可求出的長，即可求得的長【詳解】過作于點(diǎn)，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教學(xué)樓的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，借助仰角構(gòu)造出直角三角形，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行求解是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，

由題意得：米，米，，在中，，，，甲樓的高為（）米；故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握解法是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋·廣東佛山·九年級(jí)佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小明在公園放風(fēng)箏，拿風(fēng)箏線的手離地面高度為，風(fēng)箏飛到處時(shí)的線長為，這時(shí)測得，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度．（精確到，）

【答案】此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度為【分析】根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，，，

由圖可知，人垂直于地面，即垂直于地面，點(diǎn)到地面的高度為，即垂直于地面，且，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握以上知識(shí)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀理解】小寧學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，遇到一個(gè)這樣的問題：在中，，，求的值．【解題思路】小寧先畫出了幾何圖形（如圖1），他覺得雖然不是特殊角，但是的一半，于是他嘗試著在上截取，再連接，構(gòu)造出等腰（如圖2）．

【解題過程】在上截取，再連接，可證為等腰三角形，設(shè)，則．【嘗試應(yīng)用】（1）如圖3，求的值；【拓展應(yīng)用】（2）如圖4，某同學(xué)站在離紀(jì)念碑底距離5米的處，測得紀(jì)念碑頂點(diǎn)的仰角為，該同學(xué)的眼睛點(diǎn)離地面的距離為米，請幫助他求出紀(jì)念碑的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】（1）；（2）20米【分析】（1）先作出的中垂線，得出，進(jìn)而求出，再同材料的解題思路即可求出答案；（2）過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，進(jìn)而得出米，米，進(jìn)而求出，即可求出答案．【詳解】解：（1）如圖3，

作的中垂線交于，連接，則，，，設(shè)，在中，，，，，；（2）由題意得，則四邊形是矩形，米，米，在中，，，，，（米），答：紀(jì)念碑的高度為20米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了閱讀材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本題的關(guān)鍵．【類型二“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）．

【答案】B，C兩地的距離約是10千米．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，推出，再根據(jù)正切的定義求出的長．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C兩地的距離約是10千米．【點(diǎn)睛】此題考查了方向角問題．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是將方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

【答案】【分析】根據(jù)題意得，，，，過B作于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，過B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C兩港之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在建筑物上，掛著米長的宣傳條幅，從另一建筑物的頂端處看條幅頂端，仰角為，看條幅底端處，俯角為．求兩建筑物間的距離（參考數(shù)值：，）

【答案】兩建筑物間的距離是米【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，則，，在中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)，

∵仰角為，，∴，即是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴，即，∴，∴，∴兩建筑物間的距離是米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，記憶相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，該校數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備借助無人機(jī)來測量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機(jī)從地面點(diǎn)A處沿著與地面垂直的方向上升，至點(diǎn)B處時(shí)，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機(jī)保持航向不變繼續(xù)上升50米到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點(diǎn)在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點(diǎn)間的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）(3)求這座大樓的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根據(jù)俯角和仰角的定義求解即可；（2）設(shè)，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【詳解】（1）如圖，

由題意可得，，，，，，，∴,，故答案為：；；（2）設(shè)，則，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．4．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，某無人機(jī)興趣小組在操場上展開活動(dòng)，此時(shí)無人機(jī)在離地面30米的D處，無人機(jī)測得操控者A的俯角為，測得教學(xué)樓頂端點(diǎn)C處的俯角為，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓之間的距離為57米．（點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上，結(jié)果保留根號(hào)）

(1)填空：______度，______度；(2)求此時(shí)無人機(jī)與教學(xué)樓之間的水平距離的距離；(3)求教學(xué)樓的高度．【答案】(1)105，135(2)無人機(jī)與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的距離為米(3)教學(xué)樓BC的高度為米【分析】（1）延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，，則，再根據(jù)三角形的外角定理求出即可；（2）過點(diǎn)A作，垂足為F．根據(jù)題意可得，米，米，則，再根據(jù)即可求解；（3）在中，，則，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：延長交于點(diǎn)，

由題意得：，，，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，故答案為：105，135；（2）解：過點(diǎn)A作，垂足為F．

由題意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此時(shí)無人機(jī)與教學(xué)樓之間的水平距離BE的距離為米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教學(xué)樓的高度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．【類型三“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）文峰塔位于河南省安陽市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風(fēng)格獨(dú)特，具有上大下小的特點(diǎn)．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺(tái)、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)社團(tuán)的學(xué)生計(jì)劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點(diǎn)C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進(jìn)12m到達(dá)F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關(guān)數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【答案】文峰塔的高度約為38米【分析】延長交于點(diǎn)G，設(shè)米，在中，求出的長，進(jìn)而得出的長，中，利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：延長交于點(diǎn)G．

由題意得：米，米，．設(shè)米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度約為38米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍和小明在同一個(gè)班，他們都是數(shù)學(xué)愛好者，并且住在同一個(gè)小區(qū)的A棟樓，學(xué)完解直角三角形后，他們決定用所學(xué)知識(shí)來求距離，如圖：A、B兩棟樓，他們站在自家陽臺(tái)上測得對面B棟樓的樓頂P點(diǎn)的仰角分別為．已知小軍家與小明家陽臺(tái)垂直距離為30米．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求A、B兩棟樓的樓間距為多少米？（結(jié)果精確到米）(2)已知小明家陽臺(tái)與地面的垂直距離為6米，求對面B棟樓的高度．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)A、B兩棟樓的樓間距約為米；(2)對面B棟樓的高度約為米．【分析】（1）過點(diǎn)P作，交的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)題意得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：米，米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作，交的延長線于點(diǎn)E，

由題意得：，，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴A、B兩棟樓的樓間距約為米；（2）解：如圖：

由題意得：米，米，，在中，，∴（米），∴（米），∴對面B棟樓的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)樹的最高點(diǎn)．

(1)在圖1中，過點(diǎn)畫出水平線，并標(biāo)記觀測的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測的仰角為（1）中的，向前走米到達(dá)處，此時(shí)觀測點(diǎn)的仰角為，求樹的高度．（注：，，）【答案】(1)(2)樹的高度為5.25米【分析】(1)根據(jù)互余的性質(zhì)計(jì)算即可．(2)過點(diǎn)作，垂足為，則米．設(shè)米．解直角三角形求解即可．【詳解】（1）如圖1；；

（2）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則米．設(shè)米．在中，（米），在中，（米），（米），解得．答：樹的高度為米．

【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的基本步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測量物體高度”的活動(dòng)中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點(diǎn)處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，已知為米，且、、三點(diǎn)在同一條直線上．

(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時(shí)測角器的高度忽略不計(jì)）【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出結(jié)果（）在中，由正切函數(shù)的定義求出的長，最后解，即可求出的長，即古樹的高度．【詳解】（1）由題意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【類型四“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東方向上．

(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)200海里(2)無觸暗礁危險(xiǎn)【分析】（1）作于點(diǎn)E，設(shè)海里，則海里，根據(jù)可列出方程求得的值后即可求得的長；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論得出的長，再與100比較即可得到答案．【詳解】（1）解：作于點(diǎn)E，

由題意得：，，設(shè)海里，在中，，在中，，，解得：，，與C之間的距離等于（海里）；（2）解：由（1）知，（海里），，所以巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解、即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．則四邊形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，是某景區(qū)一段坡度的上坡路段，為豎直（與水平面垂直）的監(jiān)控立桿，點(diǎn)D處安裝了攝像頭，點(diǎn)A、B分別為攝像頭的測速起點(diǎn)與終點(diǎn)．安裝調(diào)試攝像頭時(shí)，在攝像頭D處測得點(diǎn)A的俯角為，點(diǎn)B的俯角為．已知米，點(diǎn)O、A、B、C、D、E、在同一平面內(nèi)．

(1)求桿的高度；（精確到個(gè)位）(2)一輛小汽車從A點(diǎn)駛向B點(diǎn)，攝像頭兩次測速抓拍的時(shí)間間隔為秒．若，此路段的限速是40千米/小時(shí)，試判斷這輛小汽車是否超速違章，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)桿的高度約為9米；(2)小汽車沒有超速違章，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)D作，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)M，設(shè)為x，則為7x，由勾股定理求得米，米，進(jìn)而得到為9米；（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，由推導(dǎo)出，進(jìn)而得到米，米，米，推導(dǎo)出小汽車的速度為千米/小時(shí)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)M，