湖北省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年度年秋學(xué)期高三年級(jí)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等信息填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.擇如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定義求解.【詳解】集合，則.故選：D2.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48【答案】D【解析】【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D3.的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.2 B.8 C. D.-17【答案】D【解析】【分析】令得各項(xiàng)系數(shù)和，可求得，再由二項(xiàng)式定理求得的系數(shù)，注意多項(xiàng)式乘法法則的應(yīng)用．【詳解】令，可得，，在的展開(kāi)式中的系數(shù)為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，在二項(xiàng)展開(kāi)式中，通過(guò)對(duì)變量適當(dāng)?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，再令可得展開(kāi)式中偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和與奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開(kāi)，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開(kāi)，將換成，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值比較大小即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B6.謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，用上面的方法可以無(wú)限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是：.故選：C7.已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】找出與圓有四個(gè)公共點(diǎn)的等價(jià)條件，據(jù)此結(jié)合充分條件、必要條件概念判斷即可.【詳解】由圓的方程為可得圓心，半徑，若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，若函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，即，解得，綜上函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)則，所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的必要不充分條件，故選：B8.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在的條件建立不等式求解即可.詳解】函數(shù)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，令，得，所以，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)k=0時(shí)，得，解得，當(dāng)k=1時(shí)，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，或，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，.所以的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，選錯(cuò)不得分.9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】A選項(xiàng)，，故，正確；B選項(xiàng)，即.故，正確；C選項(xiàng)，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項(xiàng)，∵，故，正確.故選：ABD.10.某商場(chǎng)為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有8個(gè)大小形狀相同的小球，并標(biāo)注這八個(gè)數(shù)字，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球，事件A表示“取出球的編號(hào)為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號(hào)為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號(hào)大于5”，事件D表示“取出球的編號(hào)小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對(duì)立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對(duì)立事件【答案】AB【解析】【分析】分別求出樣本空間和事件、、、即可根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念去進(jìn)行判斷.【詳解】由題意抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對(duì)立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對(duì)立，故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（）A.若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線C.若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】記MN中點(diǎn)為P，DM中點(diǎn)為Q，連接PQ，計(jì)算出PQ可知P的軌跡為圓，然后可判斷A；根據(jù)拋物線定義可判斷B；根據(jù)已知算出DN，可判斷C；以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，將條件坐標(biāo)化可判斷D.【詳解】A中，記MN中點(diǎn)為P，DM中點(diǎn)為Q，連接PQ，易知，且，如圖，若MN=2，則DN=，則，所以點(diǎn)P的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A正確；B中，點(diǎn)N到直線的距離為NB，所以點(diǎn)N到定點(diǎn)B和直線DC的距離相等，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故B正確；C中，易知，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故C錯(cuò)誤；D中，過(guò)點(diǎn)N向AD作垂線，垂足為R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，則，整理得，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.【答案】##【解析】【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，所以.因?yàn)椋?，解?故答案為：.13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出離心率.【詳解】令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.故答案為：14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，，則__________.【答案】2024【解析】【分析】由可推出關(guān)于直線對(duì)稱，可得，再由可推出的最小正周期為8，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而，又因?yàn)?，令，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)，可求出角B的值；（2）根據(jù)條件，可求出角B的值以及角A的范圍，利用正弦定理可得到，將代入，用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合A的范圍即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.【小問(wèn)2詳解】∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，當(dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，即的取值范圍.16.已知雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）找出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件建立方程組解出即可（2）分析直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)公式建立方程組解出即可【小問(wèn)1詳解】由的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由雙曲線與有相同的焦點(diǎn)所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故，在雙曲線中：①又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以②解得：所以雙曲線的方程為：【小問(wèn)2詳解】由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)所以消去整理得：所以所以由的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以所以.17.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明異面直線的垂直；（2）求平面法向量，由二面角的余弦值為和平面，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，可求四面體的體積.【小問(wèn)1詳解】以A坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則取，得.又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí).設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，（?。┣笄€在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求證：，.（2）若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（?。┣芯€方程為；（ⅱ）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，即可得切線方程；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)極值點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行討論，確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)進(jìn)行判斷，即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，（?。?，所以切線方程為.（ⅱ），，因?yàn)椋?所以，所以所以在單調(diào)遞增，所以；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，所以，,由（1）知，，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c在單調(diào)遞增.所以在單調(diào)遞增.所以，.所以使得.所以當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，的取值范圍是.19.中國(guó)女排是中國(guó)各體育團(tuán)隊(duì)中成績(jī)突出的體育團(tuán)隊(duì)之一，曾是世界上第一個(gè)“五連冠”得主，并十度成為世界冠軍，2023年在杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)上女排再度獲得冠軍．她們那種團(tuán)結(jié)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的精神極大地激發(fā)了中國(guó)人的自豪、自尊和自信，為我們?cè)谛抡鞒躺蠆^進(jìn)提供了強(qiáng)大的精神力量．如今，女排精神廣為傳頌，家喻戶曉，各行各業(yè)的人們?cè)谂啪竦募?lì)下，為中華民族的騰飛頑強(qiáng)拼搏．某中學(xué)也因此掀起了排球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次排球訓(xùn)練課上，體育老師安排4人一組進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，其中甲、乙、丙、丁四人剛好圍成一個(gè)矩形（如圖），已知當(dāng)某人控球時(shí)，傳給其相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對(duì)角線上的同學(xué)的概率為，由甲開(kāi)始傳球．（1）求第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求第次傳球后排球傳到丙手中的概率；（3）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，，…，，則，記前次（即從第1次到第次傳球）中排球傳到乙手中次數(shù)為，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，得到，求出，從而得到第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求出之間的關(guān)系式，聯(lián)立后得到，，進(jìn)而得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，求出；（3）在（2）的基礎(chǔ)上求出，求出，利用等比數(shù)列求和公式得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，則．第2次傳球到乙手中的概率，所以第