2.3 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）（解析版）

2.3圓與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能將平面幾何關(guān)于圓與圓位置關(guān)系的定性描述，轉(zhuǎn)化為通過(guò)圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的定量刻畫(huà)，給出通過(guò)圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的基本步驟，并能用于解決給定圓的方程判斷位置關(guān)系的問(wèn)題.（2）能通過(guò)具體實(shí)例歸納出坐標(biāo)法解決圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的基本步驟，并能用于解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.1、了解圓與圓的位置關(guān)系.2、掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3、能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒(méi)有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過(guò)比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來(lái)確定，這種方法運(yùn)算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無(wú)解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來(lái)確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長(zhǎng)的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．【即學(xué)即練1】圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【解析】由題意得圓的圓心為，半徑為6，圓的圓心為，半徑為1，則，故兩圓內(nèi)切，故選：B題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系例1．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心與圓的圓心，所以兩圓的圓心距為3，又圓的半徑為1，圓的半徑為2，且圓心距等于圓與圓的半徑之和，所以圓與圓的位置關(guān)系為外切．故選：C.例2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交C．相切 D．內(nèi)含【答案】D【解析】，，所以，，，則，所以兩圓內(nèi)含.故選：D.例3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【解析】由圓的方程可得圓心，半徑，圓的方程化為，得圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：B．變式1．（2023·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含【答案】D【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1.圓的圓心為，半徑為3，因?yàn)樗詧A與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D變式2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡(jiǎn)捷些，但需要注意的是，我們這里所說(shuō)的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R+r、d與R―r的大小關(guān)系來(lái)判定即可．題型二：求兩圓的交點(diǎn)例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】和【解析】聯(lián)立，兩式相減得，將其代入中得或，進(jìn)而得或，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：和例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)及圓與圓的交點(diǎn)，求此圓的方程．【解析】聯(lián)立與，解得：或，即兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)為與，設(shè)圓的方程為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，所以此圓的方程為：.例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求圓與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】由題設(shè)，，相減可得，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以交點(diǎn)坐標(biāo)為、.變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）證明下列兩圓相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)：，．【解析】，所以圓心為，半徑為；，所以圓心為，半徑為；所以兩圓心間的距離為，且，因此，故兩圓相外切；，解得，故切點(diǎn)為.【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)．題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例7．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以，化簡(jiǎn)得．又動(dòng)點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知與的方程分別為，若兩圓相交，則的取值范圍是．【答案】【解析】所以，即，所以．故答案為：

.例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則的值是．【答案】1或25【解析】由，得，則圓心為，半徑為，由，得，則圓心為，半徑，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，所以或，解得或，故答案為：25或1變式4．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，且滿足，則．【答案】【解析】根據(jù)題意，圓，則，則或，其圓心為，且的坐標(biāo)為，即圓，根據(jù)表示的是圓，則恒成立，其圓心為，且的坐標(biāo)為，即，兩圓的相交于，兩點(diǎn)，則的垂直平分線為，又由，滿足，即，點(diǎn)也在直線上，則有，即，解可得，故答案為：.變式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C：和點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P滿足，則r的最大值為．【答案】6【解析】設(shè)，由，得，整理得，即點(diǎn)在圓上，其圓心為，半徑為，又點(diǎn)在圓上，圓心，半徑為，因此圓與圓有公共點(diǎn)，即有，且，解得，所以的最大值為.故答案為：6變式6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為【答案】2【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，．【答案】16【解析】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以，所以．故答案為：16變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓上有且只有一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為.（寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)即可）【答案】(答案不唯一)【解析】由題知，圓，即，圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，因，，則，，以為直徑的圓為，因?yàn)閳A上有且只有一點(diǎn)，使得，則圓與圓相切，又，即有或，解得或.故答案為：題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長(zhǎng)例10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【解析】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：例11．（2023·福建福州·高二福建省福州高級(jí)中學(xué)校考期中）圓：與圓：的公共弦長(zhǎng)為.【答案】【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心，半徑；圓心到公共弦的距離所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：例12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則【答案】【解析】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.變式9．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知圓與圓相交，則它們的公共弦所在的直線方程是．【答案】【解析】由題意，圓與圓相交，兩圓的方程作差得，即公式弦所在直線方程為.故答案為：.變式10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則兩圓相交，故將兩圓方程相減可得：，即，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，故答案為：變式11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線的方程為．【答案】【解析】聯(lián)立兩圓的方程得，兩式相減并化簡(jiǎn)，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．故答案為：.變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與交于兩點(diǎn).若存在，使得，則的取值范圍為.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑若兩圓相交，則，所以，即，又兩圓相交弦所在直線方程為：即所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)，所以，則，所以，若存在，使得，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.變式13．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┮阎獔A和圓，則圓與圓的公共弦的弦長(zhǎng)．【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以，滿足兩圓相交有公共弦，兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程作差得：，即，所以圓心到直線的距離，則公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個(gè)圓的方程相減即可．這是因?yàn)槿魞蓤A相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般方程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程，而在求兩圓的公共弦長(zhǎng)時(shí)，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用．題型五：圓的公切線條數(shù)例13．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，所以，，即圓與圓相交，故兩圓的共有條公切線.故選：C.例14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.例15．（2023·安徽合肥·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，則兩圓外切，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.變式14．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：和圓：，則圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】?jī)蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和，圓心分別為，，半徑分別為，，圓心距，故，所以圓與圓外離，所以圓與圓有4條公切線.故選：D變式15．（2023·福建廈門(mén)·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓可化為，圓心為，半徑為，圓可化為，圓心為，半徑為，又與有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得，故選：C變式16．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A到直線l的距離為1，點(diǎn)B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離為1，所以直線l為以為圓心，為半徑的圓的切線，同理直線l還是以為圓心，為半徑的圓的切線，即直線l為圓與圓的公切線，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)椋詢蓤A外切，所以兩圓的公切線有3條，即滿足條件的直線有3條.故選：C.題型六：圓的公切線方程例16．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）同時(shí)與圓和圓都相切的一條直線方程為．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，故，所以圓與圓兩圓外切，將兩個(gè)圓的方程相減即得，這是內(nèi)公切線方程．由于兩圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因?yàn)橹本€的方程為，即，設(shè)外公切線方程為，由，得或，即兩條外公切線方程分別為和．故答案為：（或或，答案不唯一）例17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個(gè)答案均可【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫(xiě)其它三條均可）例18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，圓.請(qǐng)寫(xiě)出一條與兩圓都相切的直線方程：.【答案】或【解析】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，由兩圓相交，所以兩圓有2條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點(diǎn)為，如圖所示，則，即，所以，解得，所以，設(shè)公切線l︰，所以圓心到切線l的距離，解得，所以公切線方程為，即或.故答案為：或變式17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】或或（三條中任寫(xiě)一條即可）【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過(guò)與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設(shè)，設(shè)兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫(xiě)一條即可）變式18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是.【答案】【解析】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以兩圓內(nèi)切，由解得，所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為，即故答案為：變式19．（2023·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公切線方程為．【答案】【解析】圓，即，得,所以故兩圓內(nèi)切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，由得所以切點(diǎn)為，故公切線方程為．故答案為：．題型七：圓系問(wèn)題例19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為．【答案】【解析】由已知可設(shè)經(jīng)過(guò)直線和圓的圓系方程為，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，故所求圓的方程為．故答案為：.例20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.例21．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意得到：，化簡(jiǎn)得到答案.，，故，化簡(jiǎn)整理得到：，即.故答案為：.變式20．（2023·安徽銅陵·高二銅陵一中校考期中）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)過(guò)已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：∵所求圓過(guò)點(diǎn)∴解得所以圓的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.變式21．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過(guò)兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.【答案】【解析】設(shè)所求圓的方程為：將代入得：所求圓的方程為：本題正確結(jié)果：變式22．（2023·浙江杭州·高二?？计谀┮阎粋€(gè)圓經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.【答案】【解析】可設(shè)圓的方程為,即,此時(shí)圓心坐標(biāo)為,當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，,解得,則所求圓的方程為，故答案為.變式23．（2023·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為【答案】【解析】由題可先設(shè)出圓系方程；，則圓心坐標(biāo)為；，又圓心在直線上，可得；解得.所以圓的方程為：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求過(guò)兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系一、單選題1．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓與圓外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】由化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心，半徑為，由知其圓心為，半徑為2，而兩圓外切則有：.因?yàn)閳A心到直線的距離，所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值為1＋3＝4.如圖所示：此時(shí)P、A兩點(diǎn)重合.故選：C.2．（2023·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩圓圓心距為，由于兩圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以.故選：D4．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知在圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，依題意可知，以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，與圓相交，，所以，即，所以.故選：C5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線滿足與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，因?yàn)椋瑒t兩圓相內(nèi)切，故兩圓的公切線有且僅有條，即，故在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有條.故選：A6．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為如圖所示，兩圓相離，有四條公切線.兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有兩條切線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切線，則圓心到直線的距離，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，A正確；當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，B正確；另兩條切線與直線平行且相距為1，又由，設(shè)切線，則，解得，即切線方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，所以C正確，D不正確.故選：D.7．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C的方程為，直線，點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意可知，所以，所以最小時(shí)，最小，此時(shí)，的斜率為，所以此時(shí)直線的斜率為，也即此時(shí)直線的方程為，由解得，則，以為圓心，半徑為的圓的方程為，即，與兩式相減并化簡(jiǎn)得：.故選：A8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由，得，圓心，半徑；由，得，圓心，半徑，所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過(guò)小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）圓與圓外切，則的值為（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【解析】圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為3，圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為2．依題意，即，解得或．故選：AC10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A圓心距，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的最大值等于，最小值為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，顯然直線與直線平行，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線，設(shè)直線為，則兩平行線間的距離為2，即，故，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，故當(dāng)時(shí)，，故D正確，故選：ABD.11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【解析】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為A，C，E，G；當(dāng)或時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項(xiàng)正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【解析】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對(duì)于C，圓心，圓心，則兩個(gè)圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.三、填空題13．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）同時(shí)與圓和圓都相切的一條直線方程為．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，故，所以圓與圓兩圓外切，將兩個(gè)圓的方程相減即得，這是內(nèi)公切線方程．由于兩圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因?yàn)橹本€的方程為，即，設(shè)外公切線方程為，由，得或，即兩條外公切線方程分別為和．故答案為：（或或，答案不唯一）14．（2023·云南保山·高二統(tǒng)考期中）若圓：與圓：相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)為．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）圓關(guān)于直線對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過(guò)定點(diǎn)，那么定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過(guò)圓的圓心，得，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，設(shè)，因?yàn)?，，所以四點(diǎn)共圓，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以該圓的方程為，即，又圓，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：16．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為．①軌跡的方程為.②在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得.③當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線.④在上存在點(diǎn)，使得.以上說(shuō)法正確的序號(hào)是．【答案】②③【解析】對(duì)于①，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得，設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得，由軌跡的方程為，代入上式有，可得，，聯(lián)立解得，或，（舍去），所以②正確；對(duì)于③，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，，可得射線是的角平分線，所以③正確；對(duì)于④，若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，得，解得，代入有，無(wú)實(shí)數(shù)解，則方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在點(diǎn)，所以④錯(cuò)誤．故答案為：②③．四、解答題17．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.【解析】（1）將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；（2）由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求過(guò)兩圓和圓的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)