4.3.1 對數的概念-2020-2021學年高一數學新教材配套學案（人教A版必修第一冊）

4.3.1對數的概念【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.理解對數的概念、掌握對數的性質(重、難點).2.掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方程(重點).1、直觀想象2、數學運算3、數學抽象【自主學習】1.對數(1)指數式與對數式的互化及有關概念：(2)底數a的范圍是.2.常用對數與自然對數3.對數的基本性質(1)負數和零對數.(2)loga1＝(a>0，且a≠1).(3)logaa＝(a>0，且a≠1).【小試牛刀】1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)logaN是loga與N的乘積．()(2)(－2)3＝－8可化為log(－2)(－8)＝3.()(3)對數運算的實質是求冪指數．()2．把指數式ab＝N化為對數式是()A．logba＝NB．logaN＝bC．logNb＝aD．logNa＝b3.若log3eq\f(2x－3,3)＝1，則x＝________；若log3(2x－1)＝0，則x＝________.【經典例題】題型一指數式與對數式的互化指數式與對數式互化的思路(1)指數式化為對數式：將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式.(2)對數式化為指數式：將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式.例1根據對數定義，將下列指數式寫成對數式：①3x＝eq\f(1,27)；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；③log16eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)；④ln10＝x.[跟蹤訓練]1將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(1)43＝64；(2)lna＝b；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n；(4)lg1000＝3.題型二利用指數式與對數式的互化求變量的值方法:①將對數式化為指數式，構建方程轉化為指數問題.②利用冪的運算性質和指數的性質計算.例2利用指數式、對數式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x＝－eq\f(1,2)；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.[跟蹤訓練]2(1)求下列各式的值.①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.(2)求下列各式中x的值.①log64x＝－eq\f(2,3)；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.題型三對數基本性質的應用利用對數性質求值的方法：(1)性質loga1＝0logaa＝1(a>0，且a≠1).(2)求多重對數式的值的解題方法是由內到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．例3求下列式子值。(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.(2)9＝________；[跟蹤訓練]3化簡求值(1)71－log75；(2)100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lg9－lg2))；(3)alogab·logbc(a，b為不等于1的正數，c>0).例4求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；[跟蹤訓練]4求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.【當堂達標】1．對于下列說法：(1)零和負數沒有對數；(2)任何一個指數式都可以化成對數式；(3)以10為底的對數叫做自然對數；(4)以e為底的對數叫做常用對數．其中錯誤說法的個數為()A．1B．2C．3D．42．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9寫成對數式，正確的是()A．log9eq\f(1,3)＝－2B．log9＝－2C．log(－2)＝9D．log9(－2)＝eq\f(1,3)3.使對數loga(－2a＋1)有意義的a的取值范圍為()A.a>eq\f(1,2)且a≠1 B.0<a<eq\f(1,2)C.a>0且a≠1 D.a<eq\f(1,2)4．3－27－lg0.01＋lne3等于()A．14B．0C．1D．65.方程lg(2x－3)＝1的解為________.6.在對數式y＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是________；7.把下列指數式化為對數式，對數式化為指數式.(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b；(3)lgeq\f(1,1000)＝－3；(4)ln10＝x.8.計算下列各式：(1)2lne＋lg1＋3log32；(2)3log34－lg10＋2ln1.【參考答案】【自主學習】a>0，且a≠1沒有01【小試牛刀】1.(1)×(2)×(3)√2.B解析：根據對數定義知ab＝N?logaN＝b.3.61解析若log3eq\f(2x－3,3)＝1，則eq\f(2x－3,3)＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，則2x－1＝1，即x＝1.【經典例題】例1解析(1)①log3eq\f(1,27)＝x；②log64＝x；③16＝eq\f(1,2)；④ex＝10.[跟蹤訓練]1解(1)因為43＝64，所以log464＝3；(2)因為lna＝b，所以eb＝a；(3)因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m；(4)因為lg1000＝3，所以103＝1000.例2解(1)由log2x＝－eq\f(1,2)，得2－eq\f(1,2)＝x，∴x＝eq\f(\r(2),2).(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.[跟蹤訓練]2(1)①2②0③2解析①設log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②設log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③設lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)解①由log64x＝－eq\f(2,3)得x＝64－eq\f(2,3)＝43×(－eq\f(2,3))＝4－2＝eq\f(1,16)；②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq\f(1,6)＝23×eq\f(1,6)＝eq\r(2)；③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.例3(1)0解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.(2)4解析9＝(9)＝3＝4.[跟蹤訓練]3解(1)原式＝7×7－log75＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5).(2)原式＝100eq\f(1,2)lg9×100－lg2＝10lg9×eq\f(1,100lg2)＝9×eq\f(1,102lg2)＝9×eq\f(1,10lg4)＝eq\f(9,4).(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.例4解析(1)因為log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因為log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.[跟蹤訓練]4解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.【當堂達標】C解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N?x＝logaN，故(2)錯誤．由定義可知(3)(4)均錯誤．只有(1)正確．2.B解析：根據對數的定義，得log9＝－2，故選B.3.B解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，))解得0<a<eq\f(1,2).B解析：3log34－27eq\f(2,3)－lg0.01＋lne3＝4－eq\r(3,272)－lgeq\f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.選B.5.eq\f(13,2)解析由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq\f(13,2).6.(2，3)∪(3，4)解析由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3.7.解(1)由2－3＝eq\f(1,8)可得log2eq\f(1,8)＝－3；(2)由eq\b\