第54講 直線和平面所成的角的求法-高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練及詳細(xì)解析

【知識要點】一、直線與平面所成的角的定義平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條斜線和平面所成的銳角，如果這條直線垂直于平面，直線和平面所成角是直角，如果直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，直線和平面所成的角就是零度.二、直線和平面所成角的范圍當(dāng)直線在平面內(nèi)或和平面平行時，直線和平面所成的角為，直線和平面垂直時，直線和平面所成的角為，斜線和平面所成的角為所以直線和平面所成的角的范圍為.三、直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.四、求直線和平面所成的角體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想，就是把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，再利用解三角形的知識解答.【方法講評】方法一幾何法使用情景直線和平面所成的角存在或比較容易作出.解題步驟找作（定義法）證（定義）指求（解三角形）其關(guān)鍵是作出直線和平面所成的角和解三角形.【例1】如圖，在五棱錐中，⊥平面，，，，，，，三角形是等腰三角形．（Ⅰ）求證：平面⊥平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大??；（Ⅲ）求四棱錐的體積．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面⊥平面，所以在平面內(nèi)，過點作于，則，又，平面內(nèi)，所以平行于平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，過點作⊥平面于點，則為所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直線與平面所成角的大小為；另解：另解：（Ⅱ）因為為等腰三角形，所以又，所以點到平面的距離等于點到平面的距離.由平面，在中，所以.故邊上的高為2，即點到平面的距離，即點點到平面的距離為2.設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，所以.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又，所以四邊形是直角梯形，又容易求得，，所以四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為=.【點評】本題既可以利用向量法求解，也可以利用幾何法求解，但是相比之下，幾何法簡單一點.【反饋檢測1】如圖所示的幾何體中,是正三角形,且平面,平面,是的中點.（1）求證：；（2）若,求與平面所成角的正切值；（3）在（2）的條件下,求點到平面的距離.方法二向量法使用情景直線和平面所成的角不容易作出.解題步驟建立空間直角坐標(biāo)系求直線的方向向量求平面的法向量代入公式求出直線和平面所成的角.【例2】如圖，在四棱錐中,,且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．（2）以為原點，為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)角系，,，則【點評】本題由于直線與平面所成的角不容易作，本題已知條件也便于建立空間直角坐標(biāo)系，所以利用向量的方法簡單些.【反饋檢測2】如圖,在三棱錐中,底面,點、分別在棱、上,,且.（1）求證：平面；（2）當(dāng)點為的中點時,求與平面所成角的正切值；（3）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第54講:直線和平面所成的角的求法參考答案【反饋檢測1答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.（3）在四棱錐中,底面的面積為,高.而四棱錐的底面的三條邊,等腰的面積為.點到平面的距離為.【反饋檢測