專題7.5 數列的其他應用（原卷版）

專題7.5數列的其他應用題型一分段遞推數列求通項公式題型二公共項數列題型三插項數列題型四數列中的新定義問題題型五數列的結構不良題型六遞推數列的實際應用題型一 分段遞推數列求通項公式例1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知數列滿足，其中，則數列的前項和為______.例2．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中校考階段練習）（多選）已知數列滿足，，則（

）A．B．當為偶數時，C．D．數列的前項和為練習1．（2023·全國·高二專題練習）已知數列滿足，，記，求數列的通項公式．練習2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知數列滿足，數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和．練習3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知數列滿足，，，令.(1)寫出，，并求出數列的通項公式；(2)記，求的前10項和.練習4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知數列的首項為,數列的前項和小于實數，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習5．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知數列滿足：①；②.則的通項公式______；設為的前項和，則______.（結果用指數冪表示）題型二 公共項數列例3．（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學?？茧A段練習）數列的通項公式分別為和，設這兩個數列的公共項構成集合A，則集合中元素的個數為（

）A．167 B．168 C．169 D．170例4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數列是公差為3的等差數列，數列是公比為2的等比數列，且滿足．將數列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數列．(1)證明：(2)求數列的前n項和．練習6．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）將數列與的公共項由小到大排列得到數列，則數列的前n項的和為__________．練習7．（2023·全國·高三專題練習）已知，將數列與數列的公共項從小到大排列得到新數列，則__________.練習8．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校聯考階段練習）已知等差數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若數列由與的公共項按從小到大的順序排列而成，求數列落在區(qū)間內的項的個數．練習9．（2023·全國·高三專題練習）記為公比不為1的等比數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設，若由與的公共項從小到大組成數列，求數列的前項和．練習10．（2022秋·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數值剩二，七七數之剩二，問物幾何？”根據這一數學思想，所以被除余的自然數從小到大組成數列，所有被除余的自然數從小到大組成數列，把和的公共項從小到大得到數列，則（

）A． B． C． D．題型三 插項數列例5．（2023·全國·高三專題練習）若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數列，再把所得數列按照同樣的方法可以不斷構造出新的數列．現將數列1，3進行構造，第1次得到數列1，4，3；第2次得到數列1，5，4，7，3；依次構造，第次得到數列1，．記，若成立，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例6．（2023·安徽滁州·校考模擬預測）已知等比數列的前項和為，且(1)求數列的通項公式；(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．練習11．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學校聯考期末）已知數列的通項公式，在數列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記新數列的前n項和為，則的值為______．練習12．（2023·全國·學軍中學校聯考二模）設數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)在數列的任意與項之間，都插入個相同的數，組成數列，記數列的前項的和為，求的值.練習13．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)保持中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前n項和為，求的值（用數字作答）．練習14．（2023春·遼寧錦州·高三?？计谥校┯洖楦黜椌鶠檎龜档牡缺葦盗械那皀項和，，且，，成等差數列.(1)求的通項公式；(2)在和之間插入n個數，使得這個數依次組成公差為的等差數列，求數列的前n項和.練習15．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知數列的前項和，，且.數列滿足，.(1)求數列，的通項公式；(2)將數列中的項按從小到大的順序依次插入數列中，在任意的，之間插入項，從而構成一個新數列，求數列的前100項的和.題型四 數列中的新定義問題例7．（2023·全國·高三對口高考）對于數列，定義為數列的一階差分數列，其中(1)若數列的通項公式，求的通項公式；(2)若數列的首項是1，且滿足，證明數列為等差為數列.例8．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）（多選）所有的有理數都可以寫成兩個整數的比，例如如何表示成兩個整數的比值呢？代表了等比數列的無限項求和，可通過計算該數列的前項的和，再令獲得答案.此時，當時，，即可得.則下列說法正確的是（

）A．B．為無限循環(huán)小數C．為有限小數D．數列的無限項求和是有限小數練習16．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中n為正整數，(1)證明：數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；(2)設，定義，且記，求數列的前n項和．練習17．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數列，對任意，如果，那么稱數對構成數列的一個逆序對.若，則恰有2個逆序對的數列的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7練習18．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獢盗袧M足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數列”．以下結論中正確的個數是（

）①若，則為“回旋數列”；②設為等比數列，且公比q為有理數，則為“回旋數列”；③設為等差數列，當，時，若為“回旋數列”，則；④若為“回旋數列”，則對任意，總存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4練習19．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）（多選）在數列中，（，為非零常數），則稱為“等方差數列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數列B．若正項等方差數列的首項，且是等比數列，則C．等比數列不可能為等方差數列D．存在數列既是等差數列，又是等方差數列練習20．（2023·江蘇蘇州·校聯考三模）（多選）若數列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數列”.則下列數列是“數列”的有（

）A． B．C． D．題型五 數列的結構不良例9．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數列的前項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設__________，求數列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例10．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正項數列的前項和為，在①，且；②；③，，這三個條件中任選一個，解答下列問題：(1)證明數列是等比數列，并求其通項公式；(2)設，數列的前項和為，若恒成立，求的最小值.注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.練習21．（2023春·廣西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，在①且；②；③且，，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：(1)已知數列滿足______，求的通項公式；(2)已知正項等比數列滿足，，求數列的前項和．練習22．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知數列的各項均為正數，記為的前項和.(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；①；②；③.(2)在（1）的條件下，若，求.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.練習23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┰冖?；②這兩組條件中任選一組，補充下面橫線處，并解答下列問題.已知數列的前n項和是，數列的前n項和是，___________.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求.練習24．（2023秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）已知是數列的前項和，①，，②，且，③，請從①②③中選擇一個條件進行求解.注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.(1)求數列的通項公式；(2)數列的前項和為，是否存在正整數，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.練習25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大學附屬中學?？计谥校┮阎獢盗兄?，，_____，其中．從①數列的前項和，②，③且，這三個條件中一個，補充在上面的問題中并作答.注：若選作多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求數列的通項公式；(2)設，求證：數列是等差數列；(3)設數列，求數列的通項公式及前20項和．題型六 遞推數列的實際應用例11．（2023·全國·高三專題練習）農歷是我國古代通行歷法，被譽為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結晶”.它以月相變化周期為依據，每一次月相朔望變化為一個月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的需要，農歷設置“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因為天數的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸年相適應設數列滿足，其中均為正整數，且，，，，，，…，那么第n級修正是“平均一年閏個月”，已知我國農歷為“19年共閏7個月”，則它是（

）A．第3級修正 B．第4級修正 C．第5級修正 D．第6級修正例12．（2023·全國·高三專題練習）（多選）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21該數列的特點是前兩項為1，從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，19世紀以前并沒有人認真研究它，但在19世紀末和20世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數列的前項和，則下列結論正確的是（

）A． B．為偶數C． D．練習26．（2022秋·福建漳州·高三統(tǒng)考期末）（多選）被譽為“閩南第一洞天”的風景文化名勝——漳州云洞巖，有大小洞穴四十余處，歷代書法題刻二百余處.由于巖石眾多，造就了云洞巖石頭上開鑿臺階的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石頭上爬，旁邊有鐵索可以拉，十分驚險.某游客爬天梯，一次上1個或2個臺階，設爬上第個臺階的方法數為，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．練習27．（2021秋·重慶·高三校聯考階段練習）阿司匹林（分子式，分子質量180）對血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風險.對于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小時服用200.阿司匹林口服后經胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為主要代謝產物水楊酸（分子式，分子質量138），降解過程生成的水楊酸的質量為阿司匹林質量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質質量衰減一半所用的時間來描述衰減情況，這個時間被稱作半衰期）約為12小時.（考慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；(2)證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會超過230.練習28．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）某地出現了蟲害，農業(yè)科學家引入了“蟲害指數”數列{I}，