專題9.5 拋物線（原卷版）

專題9.5拋物線題型一拋物線的定義與方程題型二拋物線方程與位置特征題型三距離的最值問題題型四實際問題中的拋物線題型五拋物線中的三角形和四邊形問題題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型一 拋物線的定義與方程例1．（2023秋·高二課時練習(xí)）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P，Q兩點，若P，Q在拋物線準線上的射影為，則等于（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線的焦點為，點，過點的直線交于兩點，直線垂直軸，，則________．練習(xí)1．（2023秋·高三課時練習(xí)）拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或練習(xí)2．（2021秋·高三課時練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,且過點;(2)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為.練習(xí)3．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)4．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）已知拋物線與圓，過拋物線的焦點作斜率為的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點（在軸的同一側(cè)），若，則的值是___________．練習(xí)5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若，則___________題型二 拋物線方程與位置特征例3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點順時針旋轉(zhuǎn)之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．-2 D．2例4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：(1)；(2)．練習(xí)6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）A． B．C． D．練習(xí)7．（2022·高三單元測試）已知，則方程與在同一坐標系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④練習(xí)8．（2022·高三課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程，并畫圖：(1)準線方程為；(2)焦點在x軸上且其到準線的距離為6；(3)對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2；(4)對稱軸是y軸，經(jīng)過點．練習(xí)9．（2023·全國·模擬預(yù)測）十一世紀，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾·海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學(xué)．奧馬爾采用了圓錐曲線的工具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解．在平面直角坐標系上，畫拋物線，在軸上取點，以為直徑畫圓，交拋物線于點．過作軸的垂線，交軸于點．下面幾個值中，哪個是方程的解？（

）A． B． C． D．練習(xí)10．（2022·高三單元測試）（多選）已知，則方程與在同一坐標系內(nèi)對應(yīng)的圖形可能是（

）A． B．C． D．題型三 距離的最值問題例5．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為______.例6．（2023秋·高三課時練習(xí)）若點的坐標為，F(xiàn)為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應(yīng)為__________．練習(xí)11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎菕佄锞€的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為_______．練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的一個動點，則點到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6練習(xí)13．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是拋物線上的動點，則的最小值為______.練習(xí)14．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：上的動點，關(guān)于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．練習(xí)15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級中學(xué)有限公司等）2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）（多選）拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，若點不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．題型四 實際問題中的拋物線例7．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米例8．（2023春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為______m.練習(xí)16．（2023春·廣西南寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點的拋物線的一部分（從點到點）.已知觀測點A的坐標，當航天器與點A距離為4時，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.(1)求航天器變軌時點的坐標；(2)求航天器降落點與觀測點A之間的距離.練習(xí)17．（2023·上海·高三專題練習(xí)）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形PQRS、內(nèi)部的拋物線以及水平的杠桿AB組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于A，B，A，B分別是PS和QR的中點.梯形的高和CD的長度都是4米.(1)求杠桿AB的長度；(2)求等腰梯形的周長.練習(xí)18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有一正方形景區(qū)，所在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于點的垃圾回收站或公路上的流動垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個區(qū)域和，其中中的垃圾送到流動垃圾回收車較近，中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)和的分界線為曲線，現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為．(1)求景區(qū)內(nèi)的分界線的方程；(2)為了證明與的面積之差大于1，兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線在點處的切線方程，借助于切線與坐標軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設(shè)直線：，分界線恒在直線的下方（可以接觸），求的最小值，借助于直線與坐標軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明．請選擇一個思路，證明上述結(jié)論．練習(xí)19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┤鐖D1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．練習(xí)20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（

）A． B． C． D．題型五 拋物線中的三角形和四邊形問題例9．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準線與坐標軸交于點是拋物線上一點，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2例10．（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準線為，、是上異于點的兩點（為坐標原點），若，過的中點作于點，則的最小值為_________．練習(xí)21．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線：（）焦點為，準線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點作的垂線，垂足為．設(shè)，與相交于．若，且的面積為，則拋物線的方程為________________.練習(xí)22．（2023春·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，過焦點F且傾斜角為的直線與拋物線C交于M，N兩點（點N在第一象限），當時，，則____________，練習(xí)23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與交于，兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為____．練習(xí)24．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點，點A，B在拋物線上，且的重心坐標為，則（

）A． B．6 C． D．練習(xí)25．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，準線l交x軸于點E，過F的直線與C在第一象限的交點為A，則的最大值為______．題型六 拋物線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上的兩個點，O為坐標原點，若且的垂心恰是拋物線的焦點，則直線的方程是（

）A． B． C． D．例12．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）已知，則方程表示的曲線可能是（

）A． B．C． D．練習(xí)26．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）對于拋物線，下列描述不正確的是（

）A．開口向上，焦點為