《最短路徑問題》

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課題學習最短路徑問題導(dǎo)入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)最新版整理ppt2學習目標1.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.（重點）2.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）最新版整理ppt31.如圖，連接A.B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？②最短,因為兩點之間,線段最短AB①②③2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短,因為垂線段最短導(dǎo)入新課復(fù)習引入最新版整理ppt43.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系:兩邊之的和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何作點A關(guān)于直線l的對稱點？lAA′最新版整理ppt5牧人飲馬問題“兩點的所有連線中,線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱之為最短路徑問題.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題,本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史上著名的“牧馬人飲馬問題”.AB①②③PlABCD講授新課最新版整理ppt6如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？實際問題ABl抽象成ABl數(shù)學問題C作圖問題:在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.最新版整理ppt7問題1現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？連接AB,與直線l相交于一點C.ACB根據(jù)是“兩點之間,線段最短”,可知這個交點即為所求.最新版整理ppt8問題2如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？BA想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？利用軸對稱,作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.最新版整理ppt9方法揭曉作法:（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C最新版整理ppt10問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明:如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．ABlB′CC′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′.即AC+BC最短.最新版整理ppt11練一練:如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD最新版整理ppt12典例精析例1如圖，已知點D.點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析:△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B最新版整理ppt13方法總結(jié):此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.最新版整理ppt14例2如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A.（0，3）B.（0，2）C.（0，1）D.（0，0）解析:作B點關(guān)于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．AC′B′E最新版整理ppt15方法總結(jié):求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.最新版整理ppt161.如圖，直線m同側(cè)有A.B兩點，A.A′關(guān)于直線m對稱，A.B關(guān)于直線n對稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）A．P是m上到A.B距離之和最短的點，Q是m上到A.B距離相等的點B．Q是m上到A.B距離之和最短的點，P是m上到A.B距離相等的點C．P、Q都是m上到A.B距離之和最短的點D．P、Q都是m上到A.B距離相等的點A當堂練習最新版整理ppt172.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10.在OA上有一點Q，OB上有一點R.若△PQR周長最小，則最小周長是（）A.10B.15C.20D.30A最新版整理ppt183.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A.B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是米.ACBD河1000最新版整理ppt194.如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，點A.B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點P．xyOBAPB'最新版整理ppt20拓展提升5.（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D.P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．ABCDPOABNOABM最新版整理ppt21ABCDPC'圖①POABP'EF